重複組み合わせについて

ｎ個の異なるものの中から重複を許して、ｒ個のものを 選ぶ重複組み合わせの数を
_nＨ_rで表します。

例えば、りんご、柿、みかんの中から、とにかく５つの果物を買いたい。 買わない物があってもいい、どんな買い方があるか？　 というような問題がこれにあたります。
これは３種類のものの中から重複を許して （それぞれの果物はふんだんにあるので、極端な話し、５個ともりんごでもいい） ５つ選んでくるわけですから、その総数は₃Ｈ₅となります。

このとき、こう考えます。
５つのものを買うので５つの○、そして３種類を仕切るための棒を２つ用意します。
「○○○○○｜｜」です。そして、これの並べ方を考えます。
果物の順番は予め決めておきます。 例えば、左からりんご、柿、みかんというように・・・。

「○○｜○｜○○」なら、りんご２個、柿１個、みかん２個
「○○｜｜○○○」なら、りんご２個、柿０個、みかん３個
「｜○○○｜○○」なら、りんご０個、柿３個、みかん２個
といった具合です。

ですから、問題は「○○○○○｜｜」の並べ方です。
これは、○が５個、｜が２個の合計７個のうち、 ○の置き場所を５つ選んでくればいいので、
₇Ｃ₅となります。 すなわち、₃Ｈ₅=₇Ｃ₅=21です。

一般に、_nＨ_rを考えるときは、 ｒ個の○とｎ個を仕切るための(n-1)個の｜の並べ方を考えればいいわけですから、
_nＨ_r=_n+r-1Ｃ_rで計算することができます。

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