コロキウム室

第６８回数学的な応募問題

太郎さんは、先日１年生対象に実力テスト問題を作りました。 そこで、同じような問題を作りました。

数字１，２，３，４，５，６，７，８，９の９個から異なるｋ個の整数を選んで並べた ｋ桁の整数を作ったとき、 次のように桁数に応じて、３の倍数ができる確率を求めよ。

問題１：ｋ＝１、２、３のとき、

問題２：ｋ＝４，５，６のとき、

問題３：ｋ＝７，８，９のとき

問題４：何か発見できたことを教えてください。

問題５：トランプのダイヤのカード１３枚 （ただし、Ｊ、Ｑ、Ｋは１１，１２，１３と考える）から、同時に３枚を取り出すとき、 その３枚のカードの和が１３の倍数になる確率を求めよ。
（ヒント：問題４で発見したことを利用すると鮮やかに解けます。 勿論、場合分けしても良いです。）

５つのコンパスのみによる作図ですが、 一応こうやるとコンパスのみで作図することができます。 それでは順にやっていきましょう。

１．直線上の任意の点が取れることと言い換えました。

これは比較的簡単にできると思います。
AB上に無い点Cを任意に取り、ABに関して対称な点Dをとります。 これはできるでしょう。後は、点C、Dから同じ長さの半径で書けばAB上の点となります。 この半径の長さを換えることによって、AB上の任意の点をとることができます。

２．３．は省略します。

４．与えられた円と与えられた２点で定まる直線との交点を求める。
これは２点が円上に無いこととします。

• 中心がAB上に無いとき。
  ABに関して中心と対称な点をとる。対称な点を中心として同じ長さの半径で円を描くとその交点が求める点。
  

  
  

• 中心がAB上のとき。
  Aを中心として任意の半径で円を書き、円との交点をD、Eをする。 弧DEの２等分点が求める点。

５．それぞれ与えられた２点で定まる２つの直線の交点を求める。
２つの直線をAB、CDとします。ちなみに平行ではない。
C、DのABに関して対称な点をC₁、D₁とします。D₁中心、 半径CC₁の円とD中心CD半径の円の交点をEとします。
最後にDE：DD₁=CD：DXとなるようにXをとるとXが求める点。
ここに書いた書き方ではまだ2か所ほど求められないと思います。
とても書きにくいので後に回したいと思います。
４．５はそのときに改めて載せた方が良いと思われます。

最後にある本にこんなことが載っていました。
「コンパスと定木によってできるすべての作図問題は、 その図の平面内に1つの定円とその中心が与えられれば、定木だけで解くことができる。」 ということです。
世の中にはできないと思うようなことでも、不思議とできてしまうことがあるのですね。 常識が覆された感じがします。

第６９回数学的な応募問題

先日、太郎さんは、勤務している硬式野球の監督から、 「野球競技場の内野に書いてあるインフィールドライン（扇形の円弧）の長さを知りたいので、 求めていただけませんか」を課題をもらいました。誰か教えてください。図の青の円弧の長さです。

数字１，２，３，４，５，６，７，８，９の９個から異なるｋ個の整数を選んで並べた ｋ桁の整数を作ったとき、３の倍数ができる確率をＰ(k)とします。

問題１〜４：

• k=1のとき、
  {３}，{６}，{９}より、Ｐ(1)＝3/9＝1/3

ある自然数が３の倍数かどうかということは、 各桁の数字をたして３の倍数になるかどうかということと同値です。 従ってこの問題は、１〜９までの９個の数字の中から同時 にｋ個の数を取り出し、その和が３の倍数となっている確率を出せということになります。

• k=2のとき、
  {３，６},{６，９},{３，９},
  {１，２},{１，５},{１，８},{４，２},{４，５},{４，８},{７，２},{７，５},{７，８},より、
  Ｐ(2)＝12/₉Ｃ₂＝12/36＝1/3

対称性から、この確率はすべて1/3なのでしょうか？
でも少なくとも、Ｐ(9)＝１ですよね・・・。
これは１〜９までのすべての数を選ぶ以外にないわけですから、確実に３の倍数です。
もう少し調べてみましょう。

ここで、１〜９までの数を３による剰余類に分類しましょう。
０＝{３，６，９}
＋＝{１，４，７}
−＝{２，５，８}とします。

• k=3のとき、
  
  {０，０，０}　→　１通り
  {０，＋，−}　→　３×３×３＝２７通り
  {＋，＋，＋}　→　１通り
  {−，−，−}　→　１通り
  
  以上、１＋２７＋１＋１＝３０通り
  Ｐ(3)＝30/₉Ｃ₃＝5/14

やはりすべて1/3なんて、単純ではありませんでした。 以下同様に調べてみます。

• k=4のとき、
  
  {＋，＋，＋，０}　→　３通り
  {−，−，−，０}　→　３通り
  {＋，＋，−，−}　→　３×３＝９通り
  {＋，−，０，０}　→　３×３×３＝２７通り
  
  以上、３＋３＋９＋２７＝４２通り
  Ｐ(4)＝42/₉Ｃ₄＝1/3
  
  
• k=5のとき、
  
  {＋，＋，＋，０，０}　→　３通り
  {−，−，−，０，０}　→　３通り
  {＋，＋，−，−，０}　→　３×３×３＝２７通り
  {＋，−，０，０，０}　→　３×３＝９通り
  
  以上、３＋３＋９＋２７＝４２通り
  Ｐ(5)＝42/₉Ｃ₅＝1/3
  
  
• k=6のとき、
  
  {＋，＋，＋，０，０，０}　→　１通り
  {−，−，−，０，０，０}　→　１通り
  {＋，＋，−，−，０，０}　→　３×３×３＝２７通り
  {＋，＋，＋，−，−，−}　→　１通り
  
  以上、１＋１＋２７＋１＝３０通り
  Ｐ(6)＝30/₉Ｃ₆＝5/14
  
  
• k=7のとき、
  
  {＋，＋，−，−，０，０，０}　→　３×３＝９通り
  {＋，＋，＋，−，−，−，０}　→　３通り
  
  以上、９＋３＝１２通り
  Ｐ(7)＝12/₉Ｃ₇＝1/3
  
  
• k=8のとき、
  
  {＋，＋，＋，−，−，−，０，０}　→　３通り
  
  Ｐ(8)＝3/₉Ｃ₈＝1/3
  
  
• k=8のとき、
  
  {＋，＋，＋，−，−，−，０，０，０}　→　１通り
  
  Ｐ(9)＝1/₉Ｃ₉＝1
  
  

問題５：
対称性を考慮すると、確率はＰ＝1/13のようにも思います。
１３の倍数として考えられるのは、１３と２６です。
すべて数え上げてみました。

和が１３				和が２６
{１，２，１０}	{１，３，９}	{１，４，８}	{１，５，７}	{１，１２，１３}
{２，３，８}	{２，４，７}	{２，５，６}		{２，１１，１３}
{３，４，６}				{３，１０，１３}	{３，１１，１２}
				{４，９，１３}	{４，１０，１２}
				{５，８，１３}	{５，９，１２}	{５，１０，１１}
				{６，７，１３}	{６，８，１２}	{６，９，１１}
				{７，８，１１}	{７，９，１０}

以上、２２通りとなります。
従って、確率Ｐ＝22/₁₃Ｃ₃＝22/(13・11・2)＝1/13

インフィールドラインは、投手板を中心とした扇形の円弧ととらえます。
∠ＡＰＯ＝θとし、△ＡＯＰ(or△ＡＯＱ)において余弦定理を使うと、

これより、θ≒２７ﾟ
従って、∠ＰＯＱ≒(４５ﾟ＋２７ﾟ)×２＝１４４ﾟ

弧ＰＱ＝２πｒ×(144/360)≒７２．７４･･･(m)

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