Weekend Mathematicsコロキウム室1998.1〜6/NO.13


コロキウム室


NO.83     4/12   水の流れ  プレゼントの問題(10)

f(n)の一般項です。
数列はf(n)漸化式
f(1)=0、f(n+1)=(n+1)f(n)+(−1)(n−1)
で定まります。 NO.82で、「MK142857」さんが示してくれています。(2)の式です。
これより、
f(n+1)−(n+1)f(n)=(−1)(n−1)

ここで、a=f(n)/n!とおくと、

n+1−a=f(n+1)/(n+1)!−f(n)/n!
      =1/(n+1)!×{f(n+1)−(n+1)×f(n)}
      =1/(n+1)!×(−1)(n−1)

従って、階差数列の公式により。
=f(1)/1!=0

n≧2にたいしては、
=a+Σ(k=1..n-1)(−1)k−1×{1/(k+1)!}
  =Σ(k=1..n-1)(−1)k−1×{1/(k+1)!}
(Σの書き方が不自然でごめんなさい・・・junko)
つまり、
f(1)=0

n≧2にたいしては、
f(n)=n!×a
   =n!×Σ(k=1..n-1)(−1)k−1×{1/(k+1)!}
というわけです。


次にnがだんだん大きくなると、f(n)が1/eに近づくことです。

=f(n)/n!
 =Σ(k=1..n-1)(−1)k−1×{1/(k+1)!}
 =1/2!−1/3!+1/4!−1/5!+・・・+(−1)×1/n!(訂正4/16)
一方、eのマクロ−リン展開によれば、
=1+x+x/2!+x/3!+x/4!+・・・+x/n!+・・・
なので、x=−1とすれば、
=1/2!−1/3!+1/4!−1/5!+・・・+(−1)×1/n!+・・・(訂正4/16)

(これは、大学の1年で勉強します。・・・junko注)

従って、
lim(n→∽)f(n)/n!=lim(n→∽){1/2!−1/3!+1/4!−1/5!+・・・+(−1)×1/n!+・・・}(訂正4/16)
           =1/e

となります。

これは、手元にあったある研究冊子にありました。





NO.84     4/12   Junko  プレゼントの問題(11)

NO.82で、「MK142857」さんから出題された 問題について考えてみました。
高校生らしい現実的な問題ですね。
期待値で比較をします。

  1. 5つの空欄に全て同じ選択肢を書く。
    この解答の仕方では、必ず1題は正解となりますが、 それ以外は確実に得点できません。
    従って、こちらの期待値をE(n=5)とすると、
    (n=5)=1となります。
  2. 5つの空欄に全て異なる選択肢を書く。
    こちらの期待値をE(n=5)とします。
    5つの選択肢をでたらめに並べるとその並べ方は、
    5!=120通りあります。
    n個のうちj個だけが正解で、 それ以外は不正解な場合がg(n,j)通りあるとします。
    NO.81で、「水の流れ」さんが作ってくださった、 モンモールの三角形 を利用しました。
    (n=5)=5×g(5,5)/120+4×g(5,4)/120+3×g(5,3)/120
         +2×g(5,2)/120+1×g(5,1)/120+0×g(5,0)/120
      
        =5×1/120+4×0/120+3×10/120+2×20/120+1×45/120+0×44/120
       
        =(5+30+40+45)/120
    
        =1
    

というわけで、E(n=5)=E(n=5)=1という結果になりました。
ただし、「2」の解答の仕方の方がギャンブル性が高いということはいえますね。

   ところで、E(n=5)=1というのことですが、 これはn=5の場合に限った話しではないのではないかと思います。
NO.81で、「水の流れ」さんが作ってくださった、 モンモールの三角形 でn=7まで確認してみました。
一般に、
(n)=Σ(k=0..n)k×g(n,k)/n!

   =Σ(k=1..n)k×g(n,k)/n!
 
   =1
が言えるのではないかと思い、その証明を試みました。

まず、NO.81で、「水の流れ」さんが作ってくださった、 モンモールの三角形の 一番右の合計をみてください。
これは結局n個のものの並べ方ですから、n!になっています。
つまり、

 g(n,0)+g(n,1)+g(n,2)+・・・+g(n,n)

=Σ(k=0..n)g(n,k)

=Σ(k=0..n)f(n−k)

 (NO.78のg(n,k)=f(n−k)より)

=n!・・・(3)
ということです。これを証明で使います。

さて、

(n)=0×g(n,0)/n!+1×g(n,1)/n!+2×g(n,2)/n!+・・・+n×g(n,n)/n!
  
   =Σ(k=0..n)k×g(n,k)/n!

   =Σ(k=1..n)k×g(n,k)/n!

   =Σ(k=1..n)k×f(n−k)/n!

   =Σ(k=1..n)k×n!/{k!×(n−k)!}×f(n−k)/n!

   =Σ(k=1..n)1/{(k−1)!×(n−k)!}×f(n−k)

   =Σ(k=1..n)(n−1)!/{(k−1)!×(n−k)!}×f(n−k)/(n−1)!

   =Σ(k=1..n)n−1k−1×f(n−k)/(n−1)!

   =1/(n−1)!×Σ(k=1..n)n−1k−1×f(n−k)

    ここで、Σの変数kを1つずらします。

   =1/(n−1)!×Σ(k=0..n-1)n−1×f(n−1−k)

    さらに、(3)の式 

    Σ(k=0..n)f(n−k)=n!

    のnを(n−1)で置き換えると
、
    Σ(k=0..n-1)n−1f(n−1−k)=(n−1)!

    となるので、 

   =1/(n−1)!×(n−1)!

   =1
となります。



NO.85     4/13   Junko  プレゼントの問題(12)

NO.81で、 「水の流れ」さんが g(n,j)の表に関して、
「g(n,0)とg(n,1) との差が 常に1のように思います。 さらに、その大小が交互にきています。」 とかいていらっしゃいます。 これの裏付けをしました。

 g(n,0)−g(n,1)

=×f(n)−×f(n−1)

=f(n)−n×f(n−1)

ここで、NO.82で、 「MK142857」さんが示してくださった
f(n+1)=(n+1)f(n)+(−1)(n−1)・・・(2)
この式において、n+1をnで置き換えると、
f(n)=n×f(n−1)+(−1)(n−2)となります。
従って、
 g(n,0)−g(n,1)

=(−1)(n−2)

=(−1)
よって、nの偶奇により1または−1となるわけです。




NO.86     4/13   水の流れ  愛(?)のある問題(2)

の値はヒントとして、 複素数に関してのオイラーの定理から入ります。

オイラーの定理

iθ=cosθ+isinθ




NO.87     4/14  みかん  愛(?)のある問題(3)

前段  オイラーの公式より
        e=cosθ+ isinθ

 |e|=root(e×e−iθ)=1

(絶対値・・共役複素数の積)となるので、
eは複素平面上で単位円周上に あることが分かる。

そこで、任意の整数kに対して、
 ei2kπ=cos(2kπ)+isin(2kπ)=1がなりたつことがわかる。
つぎに、n を自然数とし
  x=ei2kπ/n おくと、
指数法則より
  (x)n=(ei2kπ/n)n=ei2kπ=1
となり、(x)n−1=0 となる。
すなわち、1のn乗根は
=ei2kπ/n= cos(2kπ/n)+isin(2kπ/n)と解ける。
(k=0,1,2・・・,n−1)


解答 x−1=0 の解を求める。

=e(i2×0×π/4)=cos(0)+isin(0)=1………………………1
x=e(i2×1×π/4)=cos(2π/4)+isin(2π/4)=i……………2
x=e(i2×2×π/4)=cos(4π/4)+isin(4π/4)=-1 …………3
x=e(i2×3×π/4)=cos(6π/4)+isin(6π/4)=−i…………4
となるので、2より eiπ/2=i
この両辺を i乗する。
  i=(eiπ/2)
となり、
=ei×i×π/2=e−π/2
となる。
ゆえに、i=e−π/2



NO.88     4/14   水の流れ  平方の問題(1)

1桁の整数1,5,6を平方すると、 1,25,36となって下1桁は変わりません。 そこで、問題です。
  

  1. 2桁の整数Nを平方しても下2桁が同じNとなる 数字Nを見つけましょう。
     
  2. 3桁の整数Nを平方しても下3桁が同じNとなる 数字Nを見つけましょう。
     
  3. 4桁の整数Nを平方しても下4桁が同じNとなる 数字Nを見つけましょう。

★次ぎに、整数Nの桁数を5桁、6桁、・・・ とした場合、 このような整数は果たしてあるのでしょうか? 誰か考えて、教えてください。




NO.89     4/16   水の流れ  1998の問題

1より小さい正の分数があります。 分母と分子の公約数が1だけのとき(既約分数)、 分母が1998である分数は全部で何個ありますか。
また、これらをすべて加えるといくらになりますか。



NO.90     4/16   水の流れ   硬貨の問題

100円硬貨3枚、10円硬貨4枚、 1円硬貨5枚の全部または一部で支払うことのできる 金額の合計額はいくらか。
ある公式に気がつくと早いよ。



NO.91     4/16 影法師  愛(?)のある問題(4)

オイラーの公式
      e=cosθ+ isinθ において、

θ=πとおくと、
e=cosπ+ isinπ=−1

この式の両辺を1/2乗、つまりル−トをとります。
(e)1/2=(−1)1/2=√(−1)=i

従って、e1/2×πi=i

さらに、この式の両辺をi乗します。
(e1/2×πi)=i

=e1/2×πi×i=e−1/2×π 



NO.92     4/17   Junko   平方の問題(2)

まず、合同式の書き方を確認しましょう。
たとえば、7≡17(mod 10)つまり、 10の剰余類で同じグル−プに属するということ、 もう少し平たく言うと10で割ったあまりが同じということ、 つまり1の位が同じということ。
4月1日≡4月8日(mod7) つまり、同じ曜日だということ。

0および下の桁に0が並ぶものは除外して考えました。





NO.93     4/18   水の流れ  愛(?)のある問題(5)

i=e−π/2 =0.20787958・・・  となります。

私にとって、ii=e−π/2は 今の数の美しさを象徴しているように思います。
  π(円周率)、e(超越数)、i (虚数単位)の 3つの偉大な数が出現します。
数のロマンみたいなものを感じます。 オイラーの偉大な定理の美しさ鑑ます。
実は eπi=−1 も同じですが。



NO.94     4/21   水の流れ  プレゼントの問題(13)

(n)=1の証明を書きます。
集合{1,2,3,・・・,n}(n≧1)上の置換を考えます。 ちょうどj(j=0,1,2,・・・,n)個の不動点を もつものの個数をg(n,j)で表すことにする。
(注:集合{1,2,3,・・・,n}上の置換を (a,a,・・・,a)とするとき、 a=iを満たす要素iをその置換の 不動点と言う。)
このとき、Σ(j=0...j=n)j× g(n,j) =n!   を証明します。
j× g(n,j) は、不動点の総数を表しています。

証明
集合{1,2,3,・・・,n}上の置換は全部でn!通りああります。
それらをf,f,f、・・・、fn! とします。
写像 f(i)で置換f による iの像を下記のように並べます。

                                  例 n=3のとき
          
         1列   2列  ・・・    n列                  1,2,3
f :(a1112 ・・・ a1n)      f: (@,A,B)
f :(a2122  ・・・ a2n)        f: (@,3,2,)
     ・                                       f:  (2,1,B)
      ・                                   f: (2,3,1)
      ・                                       f: (3,1,2)
fn!:(an!1n!2  ・・・ an!n )    f: (3,A,1)
            ↑    ↑              ↑                  ↑ ↑ ↑  
          (n-1)! (n-1)! ・・・    (n-1)!               2個2個2個
                                                 

ここで、1列を考えると、像が@である個数は 1以外の(n−1)個を並べた個数、 すなわち、(n−1)!に等しい。
2列を考えると、像がAである個数は 2以外の(n−1)個を並べた個数、(n−1)!に等しい。 ・・・・
n列を考えると、像がnであるのは n以外の(n−1)個を並べた個数、(n−1)!に等しい。
よって、不動点の総数は、n×(n−1)!=n!
すなわち、 Σ(j=0...j=n)j× g(n,j) =n!

  したがって、

E2(n)= Σ(j=0...j=n)j× g(n,j) /n!
       =1 
                   証明終
 

*不動点の総数を今までは、横で数えていましたが、 この証明は縦方向で数えました。



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