コロキウム室

十進ベーシック(1000桁モード)で実行してよろしかったら見てください。

REM ２乗すれば
DIM F(50)
DIM S(50)
REM ５の系統
LET  Y=5
FOR N=1 TO 50
   LET  I1=Y
   LET  I2=10^N-1
   LET  M=10^N
   LET  M1=10^(N-1)
   FOR A=I1 TO I2 STEP M1
      LET  X=A*(A-1)
      IF MOD( X , M) =O THEN
         LET  Y=A
         LET  F(N)=A
         REM 桁数の調整
         LET  A1$=STR$(A)
         LET  A2=LEN(A1$)
         DO WHILE A2<N
            LET  A1$="0"&A1$
            LET  A2=A2+1
         LOOP
         PRINT A1$;A^2
         EXIT FOR
      END IF
   NEXT A
NEXT N
PRINT
REM ６の系統
LET  Y=6
FOR N=1 TO 50
   LET  I1=Y
   LET  I2=10^N-1
   LET  M=10^N
   LET  M1=10^(N-1)
   FOR A=I1 TO I2 STEP M1
      LET  X=A*(A-1)
      IF MOD( X , M) =O THEN
         LET  Y=A
         LET  S(N)=A
         REM 桁数の調整
         LET  A1$=STR$(A)
         LET  A2=LEN(A1$)
         DO WHILE A2<N
            LET  A1$="0"&A1$
            LET  A2=A2+1
         LOOP
         PRINT A1$;A^2
         EXIT FOR
      END IF
   NEXT A
NEXT N
PRINT
REM F(n)+S(n)=10^n+1
FOR N=1 TO 50
   PRINT F(N)+S(N)
NEXT N
END

数列サイトの検索で以下のＨ.Pを見つけました。

Automorphic Number

The first few 1-automorphic numbers ending with 5 are 5, 25, 625, 0625, 90625, ... (Sloane's A007185),
and the first few ending with 6 are 6, 76, 376, 9376, 09376, ... (Sloane's A016090).
The 1-automorphic numbers a(n) ending in 5 are idempotent (mod 10ⁿ) since (A(n))²==A(n) (mod 10ⁿ)

n=1,A(1)=1をのぞけば、５の系列をF(n)と６の系列S(n)をとしたとき、 F(n)+S(n)=10ⁿ+1

数学の部屋に「わかさひ君」さんの証明がありますが、上記サイトではこのことが触れられていません。 私は証明に誤りはないと思います。

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