Weekend Mathematics／コロキウム室／NO.164

コロキウム室



NO.1367 2003.3.1.kirkland四面体

本年度の京大・理系の問題です。
四面体ＯＡＢＣがあって、ＯＡ⊥ＢＣ、ＯＢ⊥ＣＡ、ＯＣ⊥ＡＢかつ４面の面積がすべて等しいとき、この四面体ＯＡＢＣは正四面体であることを示せ。
小学生でも解けそうですね。



NO.1368 2003.3.1.みきちい円周率(1)

「円周率は３．０５より大きいことを証明せよ」を教えて下さい。
今年の東大の理系の問題みたいです。昨日の読売新聞に載ってました。



NO.1369 2003.3.2.Junko円周率(2)

内接正多角形の外周の長さと、円周の長さを比較することで、πの近似値が求められると思います。（右の図は正１２角形で内接している様子です。）
円の半径の長さをｒとすると、内接正ｎ角形の外周の長さは、

　　　　２ｎｒ・sin(π/ｎ)

となりますから、円周の長さと比較して、

　　　　２ｎｒ・sin(π/ｎ)＜２πｒ

つまり、次の不等式を得ます。

　　　　ｎ・sin(π/ｎ)＜π






NO.1370 2003.3.3.水の流れチェビシェフの多項式

第１１５回数学的な応募問題

太郎さんは、奇妙な性質をもつ多項式を応募者の方から教えてもらい、改題して作問をしました。



この問題は　第71回の応募問題「余弦のｎ倍角」と関連しています。



NO.1371 2003.3.4.yokodon円周率(3)

1369 では円周の長さと内接する正多角形の周の長さの比較で解決しています が、他にこんな方針もあるでしょう。一行で書いてしまいます。

　　

上記の計算の進め方ですが、

  1. （最左辺）＝（第２辺）は置換積分；x ＝ tan(s) 。
  2. （第２辺）≧（第３辺）は、無限等比級数を考慮。

あとは数値計算です。また、

　　

・・・という有名な結果を利用して公比 -x2 の無限等比級数を考えても、題意の主張の成立を示すことが出来ます（有限の部分和を考え、項別積分し、有限和の数値計算をする；ただ、数値計算が、試験の会場ではちょっと大変かも）。

#というより、件の問題を初めて見たとき、僕はこっちを先に思いついたのですが。

##π≒ 3.14 ＞ 3.05 だと、ペケでしょうね（笑）。



NO.1372 2003.3.7.MagicianKuma立方体でないさいころ(1)

息子から次のような質問をうけて答えられない状態です。
確率を習っているところなんですが、さいころの各面のでる確率は１／６で等しい。

「じゃ、立方体じゃなかったらどうなるの？例えば３ｃｍｘ４ｃｍｘ５ｃｍのさいこ ろだと？」

面積比なのでしょうか？数学の分野？物理の分野？ モデル化はできないのでしょうか？



NO.1373 2003.3.10.kirkland立方体でないさいころ(2)

Ａ君「まず、投げ方とか床での跳ね返り方はどのように考えるんですか？よくイカサマ麻雀で『置きサイ』とかするし、 床にめり込んだりしたら大変だし、勢いが強すぎてサイコロが壊れちゃったら困っちゃうし……。」
先生「相変わらず、細かいねえ。投げ方はともかく、この際、跳ね返り方も無視しよう。要するに、投げたあと床に着地し たら跳ね返らずに、そのまま倒れるという感じでやってみよう。さて突然だが、直方体の重心は、３本の対角線の交 点と一致するんだけど。」
Ａ君「また、獣神サンダーライガーですか？」
先生「この場合、発泡スチロールでできた直方体のちょうどド真ん中に鉄の玉が埋め込んであるっていうような感じかな。」
Ａ君「何となくイメージできました。発泡スチロールは軽いので重さを無視できて、鉄の玉の重さだけ考えるんですね。」
先生「そうそう。とりあえずは、横から見た図というか、平面で考えてみよう。投げたあと【図１】のように床に着地する と、その後は、どうなるかは分かるかな？」
Ａ君「簡単っす！長方形ＩＷＧＰのど真ん中に鉄の玉があるんだから、そのまま真下に落ちてＧＰが床につきます【図２】。 【図３】のように着地するとＷＧが床につくんですね。」

　　

先生「その通り。鉄の重さを表す矢印が横切る辺が、床につくわけだが、さりげなくギャグを入れてるんじゃないよ！ さて、いちいち長方形を傾けるのは面倒なので、長方形ＶＳＯＰを固定して、矢印を回すことにしよう。それと、鉄 の玉も省略しよう。例えば、【図４】だと矢印は辺ＶＰを横切っているので、ＶＰが床につくことになる。」
Ａ君「またまた見栄張っちゃって！いつもＶＯしか飲んでないくせに……。適当な方向に矢印を描いたとき、どの辺を横切 るかで確率が決まるわけですね。それって、辺の長さの比じゃないんですか？」
先生「【図５】のように、長方形の４頂点を通る円を描くと。」
Ａ君「おおっ納得！中心角に比例するんですね。360°に対する水色の扇形の中心角の割合が、ＶＰが床につく確率です。」
先生「円周に対する弧ＶＰの長さの割合を考えた方が、あとが楽だ。さて、いよいよ立体的に考えよう。」
Ａ君「例えば、【図６】のように直方体ＣＯＬＴＲＡＮＥが頂点Ｎで床に着地したとすると、重さを表す矢印は面ＬＮＥＴ を横切るので、この面を下にして倒れます。今度は、矢印が横切る面を考えればいいんですね。２頂点が同時に着地 したときも同じように考えれます。４頂点が同時に着地したときは、言うまでもありませんね。」

　　

先生「分かりにくいギャグを入れるなよ！今度は、直方体ＡＢＣＤ−ＥＦＧＨのすべての頂点を通る球で考えよう【図７】。 球の中心（これは直方体の重心と一致する）をＯ、矢印が球の表面と交わる点をＰとすると」
Ａ君「例えば、矢印が面ＡＢＣＤと交わるときに点Ｐが球の表面を通る部分の面積をＳとすると、球の表面積に対するＳの 割合＝面ＡＢＣＤが下になる確率っていうことになりますね。でも、点Ｐは実際どのような範囲を動くんですか？」
先生「境界だけ考えていこう。【図８】は４頂点Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆを通る円を書き加えたものだ。矢印がこの円の弧ＣＤより 上だと面ＡＢＣＤと交わるし、下だと面ＣＧＨＤと交わる。よって弧ＣＤは境界の一つだね。」
Ａ君「同じように考えると、４点Ｃ、Ｂ、Ｅ、Ｈを通る円の弧ＢＣも境界ですね。矢印が弧ＢＣより手前にあると矢印は、 面ＢＦＧＣと交わってしまいますよね【図９】。しかし、急展開ですね。心なしか、説明も雑なような……。」
先生「図を描くだけで６時間もかかっているんだから、さすがに疲れたよ。」

　　

Ａ君「同様に４点Ａ、Ｂ、Ｇ、Ｈを通る円と４点Ａ、Ｄ、Ｅ、Ｈを通る円も描き込むと…【図10】。ダメだこりゃ。描いて いる本人ですら分からないや。必要なところだけを描き出すと【図11】の水色の部分が点Ｐの動く範囲です。とこ ろで先生、この部分の面積ってどうやって求めるんですか？」
先生「重積分を使えば求められるが、面倒なのでまた今度。」
Ａ君「重責といいつつ無責任、その心は？ところで先生、ずっと疑問に思ってたんですけど、例えば点ＰがちょうどＣに来 たときって、どうなるんですか。１点でバランスを保って、倒れずにいるんですか？今の考え方だと、確率は０になりますが、実際問題うまくいけばそういうこともあり得るんじゃないんですか？」
先生「それを言い出したら、立方体のサイコロの話もおかしくなってしまうだろ！６分の１じゃなくなってしまうぞ。 そもそも、今回の問題は正直言って自信ないんだよ。重心とか重力とかの考え方がそもそも間違ってるかもしれん。 とにかく物理は分からん！……さようなら。」
Ａ君「あっ、逃げたな！誰か〜まともな考え方を教えてくださ〜い。」

　　





NO.1374 2003.3.19.KAZUTOYO積分式の解

私は、水産試験場で深層水利用に関する研究を行っています。研究の中で深層水（その中の食塩）の マグロ肉への浸透速度を測定し、実測値と理論値を比較、評価することとしました。 浸透の理論値を計算する計算式に誤差関数があります。この積分式の解を求めることに苦労しています。 解の求め方、その解を教えていただければ幸いです。

魚肉内の浸透物質の濃度分布

　　

Ｃ ･･･魚肉内の食塩濃度
Ｃ0 ･･･魚肉表面濃度
Ｃi ･･･魚肉内の初濃度
ｘ ･･･浸透面(x=0)から浸透方向にとった距離
Ｄ ･･･拡散係数
（　　・・・無次元量）





NO.1375 2003.3.21.水の流れ絵画鑑賞

第１１６回数学的な応募問題

太郎さんは、以前次のような入試問題を生徒と一緒に考えました。

問題１．
縦１．４ｍの絵が垂直な壁に掛かっていて、絵の下端が目の高さより１．８ｍ上方の位置にある。 この絵を、縦方向に見込む角が最大となる位置は、壁から何ｍの所か。
求められた答えが一体どんな数字か知りたくて、文字に置き換えて考えました。

問題２．
縦（ｂ−ａ）ｍの絵が垂直な壁に掛かっていて、絵の下端が目の高さよりａｍ上方の位置にある。 この絵を、縦方向に見込む角が最大となる位置は、壁から何ｍの所か。 ただし、ｂはａより大きい数とする。また、参考に下のような画像を作ってあります。







NO.1376 2003.3.21.浜田　明巳問題74面積の等しい三角形・その後

問題74面積の等しい三角形について、Visual Basic で考えてみました。 



Option Explicit
Const BC As Double = 15
Sub Form_Load()
    Picture1.BackColor = vbWhite
    Picture1.Scale (-8, 26)-(23, -5)
    Picture2.BackColor = vbWhite
End Sub
Sub Command1_Click()
    Dim Ax As Double, Ay As Double
    Dim Bx As Double, By As Double
    Dim Cx As Double, Cy As Double
    Dim Dx As Double, Dy As Double
    Dim Ex As Double, Ey As Double
    Dim Fx As Double, Fy As Double
    Dim Gx As Double, Gy As Double
    Dim Dx_min As Double, Dx_max As Double
    Dim Dxx As Double
    Dim AE As Double
    Dim AE_min As Double, AE_max As Double
    Dim AEE As Double
    Dim Exx As Double, Eyy As Double
    Dim Fx_min As Double, Fx_max As Double
    Dim Fxx As Double
    Dim EG As Double
    Dim EG_min As Double, EG_max As Double
    Dim EGG As Double
    Dim Gxx As Double, Gyy As Double
    Dim AC As Double
    Dim EC As Double
    Dim a As Double, b As Double, c As Double 'AC:a*x+b*y+c=0
    Dim h As Double 'ACを底辺としたときの高さ
    Dim dankai As Integer
    Dim kizami As Double
    Dim min As Double
    Dim sa As Double
    Dim S As Double '△ABCの五等分
    Dim S1 As Double
    '
    Randomize Timer
    Bx = 0: By = 0
    Cx = BC: Cy = 0
    Ax = Cx * (Rnd * 2 - 0.5): Ay = Cx * Rnd
    Dy = 0
    AC = Sqr((Cx - Ax) * (Cx - Ax) + (Cy - Ay) * (Cy - Ay))
    kizami = (Cx - Bx) * 0.01
    S = 0.5 * Cx * Ay * 0.2 '△ABCの五等分
    'AC:a*x+b*y+c=0 -> y=(Cy-Ay)/(Cx-Ax)*(x-Ax)+Ay
    a = Ay - Cy: b = Cx - Ax: c = Ax * Cy - Cx * Ay
    min = 10000
    Picture2.Cls
    For dankai = 1 To 14 'Dの決定
      If dankai = 1 Then
        Dx_min = kizami: Dx_max = Cx - kizami
      Else
        Dx_min = Dxx - kizami: Dx_max = Dxx + kizami
        kizami = kizami * 0.1
      End If
      For Dx = Dx_min To Dx_max Step kizami
        S1 = 0.5 * (Dx - Bx) * Ay '△ABD
        sa = Abs(S - S1)
        If min > sa Then
          min = sa
          Dxx = Dx
        End If
        Picture1.Cls
        Picture1.Line (Ax, Ay)-(Dxx, Dy), vbGreen
        Call ABC(Ax, Ay)
        Picture1.Line (Ax, Ay)-(Dx, Dy), vbRed
      Next Dx
    Next dankai
    Dx = Dxx
    Picture1.Cls
    Call ABC(Ax, Ay)
    Picture1.Line (Ax, Ay)-(Dx, Dy), vbRed
    '
    kizami = AC * 0.01
    min = 10000
    h = Abs(a * Dx + b * Dy + c) / Sqr(a * a + b * b) 'AEを底辺としたときの高さ
    For dankai = 1 To 14 'Eの決定
      If dankai = 1 Then
        AE_min = kizami: AE_max = AC - kizami
      Else
        AE_min = AEE - kizami: AE_max = AEE + kizami
        kizami = kizami * 0.1
      End If
      For AE = AE_min To AE_max Step kizami
        Ex = ((AC - AE) * Ax + AE * Cx) / (AE + (AC - AE))
        Ey = ((AC - AE) * Ay + AE * Cy) / (AE + (AC - AE))
        S1 = 0.5 * AE * h '△ADE
        sa = Abs(S - S1)
        If min > sa Then
          min = sa
          AEE = AE
          Exx = Ex: Eyy = Ey
        End If
        Picture1.Cls
        Picture1.Line (Dx, Dy)-(Exx, Eyy), vbGreen
        Call ABC(Ax, Ay)
        Picture1.Line (Ax, Ay)-(Dx, Dy), vbRed
        Picture1.Line -(Ex, Ey), vbRed
      Next AE
    Next dankai
    Ex = Exx
    Ey = Eyy
    Picture1.Cls
    Call ABC(Ax, Ay)
    Picture1.Line (Ax, Ay)-(Dx, Dy), vbRed
    Picture1.Line -(Ex, Ey), vbRed
    '
    kizami = (Cx - Dx) * 0.01
    min = 10000
    For dankai = 1 To 14 'Fの決定
      If dankai = 1 Then
        Fx_min = Dx + kizami: Fx_max = Cx - kizami
      Else
        Fx_min = Fxx - kizami: Fx_max = Fxx + kizami
        kizami = kizami * 0.1
      End If
      For Fx = Fx_min To Fx_max Step kizami
        S1 = 0.5 * (Fx - Dx) * Ey '△EDF
        sa = Abs(S - S1)
        If min > sa Then
          min = sa
          Fxx = Fx
        End If
        Picture1.Cls
        Picture1.Line (Ex, Ey)-(Fxx, Fy), vbGreen
        Call ABC(Ax, Ay)
        Picture1.Line (Ax, Ay)-(Dx, Dy), vbRed
        Picture1.Line -(Ex, Ey), vbRed
        Picture1.Line -(Fx, Fy), vbRed
      Next Fx
    Next dankai
    Fx = Fxx
    Picture2.Print "答:"; Fx - Dx; "cm"
    Picture1.Cls
    Call ABC(Ax, Ay)
    Picture1.Line (Ax, Ay)-(Dx, Dy), vbRed
    Picture1.Line -(Ex, Ey), vbRed
    Picture1.Line -(Fx, Fy), vbRed
    '
    EC = Sqr((Cx - Ex) * (Cx - Ex) + (Cy - Ey) * (Cy - Ey))
    kizami = EC * 0.01
    min = 10000
    h = Abs(a * Fx + b * Fy + c) / Sqr(a * a + b * b) 'EGを底辺としたときの高さ
    For dankai = 1 To 14 'Gの決定
      If dankai = 1 Then
        EG_min = kizami: EG_max = EC - kizami
      Else
        EG_min = EGG - kizami: EG_max = EGG + kizami
        kizami = kizami * 0.1
      End If
      For EG = EG_min To EG_max Step kizami
        Gx = ((EC - EG) * Ex + EG * Cx) / (EG + (EC - EG))
        Gy = ((EC - EG) * Ey + EG * Cy) / (EG + (EC - EG))
        S1 = 0.5 * EG * h '△EFG
        sa = Abs(S - S1)
        If min > sa Then
          min = sa
          EGG = EG
          Gxx = Gx: Gyy = Gy
        End If
        Picture1.Cls
        Picture1.Line (Fx, Fy)-(Gxx, Gyy), vbGreen
        Call ABC(Ax, Ay)
        Picture1.Line (Ax, Ay)-(Dx, Dy), vbRed
        Picture1.Line -(Ex, Ey), vbRed
        Picture1.Line -(Fx, Fy), vbRed
        Picture1.Line -(Gx, Gy), vbRed
      Next EG
    Next dankai
    Gx = Gxx
    Gy = Gyy
    Picture1.Cls
    Call ABC(Ax, Ay)
    Picture1.Line (Ax, Ay)-(Dx, Dy), vbRed
    Picture1.Line -(Ex, Ey), vbRed
    Picture1.Line -(Fx, Fy), vbRed
    Picture1.Line -(Gx, Gy), vbRed
End Sub
Sub Command2_Click()
    Unload Me
End Sub
Sub ABC(ByVal Ax As Double, ByVal Ay As Double)
    Picture1.Line (Ax, Ay)-(0, 0), vbBlack
    Picture1.Line -(BC, 0), vbBlack
    Picture1.Line -(Ax, Ay), vbBlack
    Picture1.CurrentX = Ax: Picture1.CurrentY = Ay
    Picture1.Print "A"
    Picture1.CurrentX = 0: Picture1.CurrentY = 0
    Picture1.Print "B"
    Picture1.CurrentX = BC: Picture1.CurrentY = 0
    Picture1.Print "C"
End Sub








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