| NO.1553 | 2005.9.5. | 佐野允信 | 綺麗な不等式(2) |
ｚ1,ｚ2,・・・,ｚn＞０とする。
ただし、ｎ≧２とする。
| (ｚ1-ｚ2)2 | +(ｚ1-ｚ3)2 | +(ｚ1-ｚ4)2 | +・・・ | +(ｚ1-ｚn)2 | |
| +(ｚ2-ｚ3)2 | +(ｚ2-ｚ4)2 | +・・・ | +(ｚ2-ｚn)2 | ||
| ・・・ | |||||
| +(ｚn-1-ｚn)2 | ｎ≧０ ・・・(1) | ||||
が成り立つ。等号の成立は、
ｚ1＝ｚ2＝ｚ3＝・・・＝ｚn ・・・(2)
のときである。
(1) ←→(ｚ12＋ｚ22＋・・・ ＋ｚn2)(n-1)
−２(ｚ1ｚ2＋ｚ1ｚ3＋・・・＋ｚ1ｚn＋ｚ2ｚ3＋ｚ2ｚ4＋・・・＋ｚ2ｚn＋・・・＋ｚn-1ｚn)≧０
←→(ｚ12＋ｚ22＋・・・ ＋ｚn2)(n-1) ≧２(ｚ1ｚ2＋ｚ1ｚ3＋・・・ｚn-1ｚn) ・・・(3)
また、
(ｚ1＋ｚ2＋・・・＋ｚn)2＝(ｚ12＋ｚ22＋・・・ ＋ｚn2)
＋２(ｚ1ｚ2＋ｚ1ｚ3＋・・・＋ｚ1ｚn＋ｚ2ｚ3＋ｚ2ｚ4＋・・・＋ｚ2ｚn＋・・・＋ｚn-1ｚn) ・・・(4)
より、
ｚ12＋ｚ22＋・・・ ＋ｚn2＝(ｚ1＋ｚ2＋・・・＋ｚn)2−２ (ｚ1ｚ2＋ｚ1ｚ3＋・・・ｚn-1ｚn) ・・・(5)
(3)＋(5)より、
ｎ(ｚ12＋ｚ22＋・・・ ＋ｚn2)≧ (ｚ1＋ｚ2＋・・・＋ｚn)2 ・・・(6)
が成り立つ。
問題４
を(6)に代入すると、
が成り立つ。(2)より、等号の成立は、、
のときである。また、
が成り立つ。等号の成立は、
ａ1＝2＝・・・＝ａｎ ・・・(11)
のときである。(8)(10)より、
(9)(11)より、等号の成立は、
以上より、求めるNの最大値は、
である。
問題１ (12)に、ｎ＝２を代入すると、
(13)より、等号の成立は、
のときである。ここで、
ａ1＝ａ、ａ2＝ｂ
とした。
問題２ (12)に、ｎ＝３を代入すると、
(13)より、等号の成立は、
のときである。ここで、
ａ1＝ａ、ａ2＝ｂ、ａ3＝ｃ
とした。
問題３ (12)に、ｎ＝４を代入すると、
(13)より、等号の成立は、
のときである。ここで、
ａ1＝ａ、ａ2＝ｂ、ａ3＝ｃ、ａ4＝ｄ
とした。したがって、求めるＮの最大値は、
289/4
である。
参考文献
「新装版 数学発想ゼミナール３」
L.C.ラーソン著 秋山仁/飯田和 訳
p.342、p.375
| NO.1554 | 2005.9.8. | 水の流れ | ２桁の自然数 |
皆さん、今回は今年度行われた「皇學館大学」の入試問題です。
２桁の正の整数10a＋ｂがある。この整数の十の位の数aと一の位の数ｂとの和a+bと、
もとの２桁の整数との積はａ３＋ｂ３に等しい。このとき、次の問に答えよ。
（１）aとｂの間の関係式を求めよ。
（２）aとｂの大小関係を調べよ。
（３）もとの２桁の整数を求めよ。
注）この記事に関する投稿の掲載は、９月２６日以降とします。
| NO.1555 | 2005.9.25. | 水の流れ | 宝さがし |
ＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形ＡＢＣの土地があります。太郎さんはＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰの長さが最小になる点Ｐに宝物を埋めました。
宝物が埋まっている点Ｐがどこか考えてください。ただし、頂角∠ＢＡＣは１２０°以内とします
注）この記事に関する投稿の掲載は、１０月２４日以降とします。
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