Weekend Mathematicsコロキウム室/NO.201

コロキウム室



NO.1577 2006.2.28.水の流れ平方数の和と差

第168回数学的な応募問題

皆さん、次のような自然数Nに関する定理を知っていますか。

定理1:自然数N=2(k=0,1,2,・・・)は連続する自然数の和で表されない。 これを証明せよ。

定理2:自然数Nを連続する自然数の和で表す方法の数は、その自然数の奇数の約数の個数である。 これを証明せよ。

問題1:例えば、

1=1−4+9−16−25+36
2=−1−4−9+16
3=−1+4
4=−1−4+9
・・・
ようにある自然数は連続する平方数の和と差で表すことができます。 では、5から10までの自然数を連続する平方数の和と差で表すことができるかどうか調べてください。

問題2:すべての自然数は連続する平方数の和と差で表すことができるかどうか。正しければ証明を、正しくなければ反例を挙げてください。

問題3:特に、自然数2006は平方数の和と差で表すことができるかどうか。教えてください。



注:この記事に関する投稿の掲載は、3月13日以降とします。





E-mail 戻る