Colloquium

NO.1627　　約数の個数(4)　　2006.11.17.　　K.F.

問題１：

自然数ｎの正の約数の個数（d(n)で表すこととする。）と、 a_nの値を実際に求めてみると、tab.1のようになる。

tab.1

n	１	２	３	４	５	６	７	８	９	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
d(n)	１	２	２	３	２	４	２	４	３	４	２	６	２	４	４	５	２	６	２	６
an	１	０	０	４	０	０	０	０	９	０	０	０	０	０	０	16	０	０	０	０

n	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
d(n)	４	４	２	８	３	４	４	６	２	８	２	６	４	４	４	９	２	４	４	８
an	０	０	０	０	25	０	０	０	０	０	０	０	０	０	０	36	０	０	０	０

n	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
d(n)	２	８	２	６	６	４	２	10	３	６
an	０	０	０	０	０	０	０	０	49	０

問題２：

tab.1から、ａ_ｎ＝ｎとなるようなｎは平方数であることが類推できる。

証明
仮に n が平方数であるとする。 すると、n は素因数p₁、p₂、・・・、p_m、および自然数 k₁、k₂、・・・、k_mにより、

　　　n=(p₁^k₁・p₂^k₂・・・ p_m^k_m)² =p₁^2k₁・p₂^2k₂・・・ p_m^2k_m　　　（式.1）

と表される。このとき、nの正の約数の個数d(n)は、

　　　d(n)=(2k₁+1)・(2k₂+1)・・・(2k_m+1)　　　（式.2）

である。さらに、

　　　(奇数)×(奇数)×・・・×(奇数)=(奇数)　　　（式.3）

となるから、式.2、3より、

　　　「nが平方数であれば、nの正の約数の個数は奇数である。」(命題.A）

は正しい。
一方、式.3からわかるように、逆に奇数を因数分解すると、それらの因数はすべて奇数となる （偶数の因数が入っていれば、奇数にならない。）から、命題.Aの「逆」も成り立つ。
故に、正の約数の個数が奇数であるnは、必ず平方数である。
　　　　　　　　　　　　　　　（証明終わり）

問題３：

であるから、2006以下の最大の平方数は、 44²=1936である。
平方数の和の公式：　　（式.4）

より、

問題４：
式.4より、　が、 それぞれ求まる。

　　　18²＝324、1+4+9+・・・+324=2109

よって、　が、2006以下となるような nの最大整数は、323

NO.1626　　連続根号数と連分数の不思議な関係(2)　　2006.11.16.　　夜ふかしのつらいおじさん

次のようにおきます。

　　　

Ｘは、次の式から再帰的に導けます。　　・・・(1)

右辺のＸに右辺全体を代入することを繰り返します。

Ｙは、次の式から再帰的に導けます。　　・・・(2)

右辺のＹに右辺全体を代入することを繰り返します。

(1)を整理し、　Ｘ²−Ｘーｘ＝０

Ｘについて解くと、　　・・・(3)

(2)を整理し、　Ｙ²−ｘＹーｘ＝０

Ｙについて解くと、　　・・・(4)

(3)、(4)についてｘのいろいろな値に対するＸ、Ｙの値を調べてみると次のグラフになります。
(3)、(4)においてｘ＝１とすると、Ｘ＝Ｙ＝Ａとなります。

さて、黄金比を調べます。
長方形から正方形を切り取ると長方形が残ります。
この長方形の縦横の長さの比が、元の長方形の縦横の比と同じになるとします。

　　　ａ：ｂ＝ｂ：(ａ−ｂ)　　全体をｂでわります。

　　　

　　　α：１＝１：(αー１)　　α(αー１)＝１　α²＝１＋αなので

　　　・・・(5)　または ・・・(6)

(1)でｘ＝１とおくと(5)、(2)でｘ＝１とおくと(6)と同じ形になります。 だから、Ｘ(ｘ＝１)＝Ｙ(ｘ＝１)となるのは必然です。
Ｘ＝Ａ、Ｙ＝Ａとなるのは偶然です。

NO.1625　　群数列　　2006.11.13.　　水の流れ

第１８２回数学的な応募問題

皆さん、過去の宮崎大学の入試問題を参考して出題します。是非チャレンジください。

数列｛ａ_ｎ｝は、ａ_ｎ＝［ｌｏｇ_２ｎ］で定義されている。 ただし、［ｘ］は、ｘを超えない最大整数を表すものとする。

問題１：初項ａ_１から第８項ａ_８までの値を求めよ。

問題２：ａ_ｎ＝ｋ（ｋ≧０）となるような｛ａ_ｎ｝をｋ群とするとき、 ｋ群に含まれる数列の項数と和をｋで表せ。

問題３：初項ａ_１から第２^ｍ−１項までの和をｍで表せ。 ただし、ｍは自然数

注：この記事に関する投稿の掲載は、１２月４日以降とします。

NO.1624　　約数の個数(3)　　2006.11.13.　　夜ふかしのつらいおじさん

問題１：

ａ₁＝１、ａ₂＝０、ａ₃＝０、ａ₄＝４、 ａ₅＝０、ａ₆＝０、ａ₇＝０、ａ₈＝０、 （ａ₉＝９）

問題２：

ａ_ｎ＝ｎとなるようなｎは平方数です。
ある自然数ｎを素因数分解して

　　　ｎ＝ｐⁱ×ｑ^j×ｒ^k

となったとします。ｎの約数は、(ｉ＋１)×(ｊ＋１)×(ｋ＋１) 個あります。 この値が奇数になるためにはすべての因数が奇数です。 つまり、ｉ，ｊ，ｋそのものは偶数である必要があります。
ｉ＝２ｉ'、ｊ＝２ｊ'、ｋ＝２ｋ' とおくと

　　　ｎ＝ｐ^2ｉ'×ｑ^2ｊ'×ｒ^2ｋ' ＝（ｐ^ｉ'×ｑ^ｊ'×ｒ^ｋ'）²

問題３：

２００６より小さい最大の平方数は、１９３６＝４４²です。（２０２５＝４５²） だから、１から１９３６までの平方数（４４個）の和は、

　　　１／６×４４×（４４+１）×（２×４４+１）＝２９３７０

問題４：

１／６×ｋ×（ｋ+１）×（２×ｋ+１）≦２００６ を解くと、ｋ＝１７です。
１７²＝２８９、１８²＝３２４なので ２８９項までで項の和が２００６に一番接近します。 次の平方数が３２４なので２９０項から３２３項までは値が０だから、 答えはｎ＝３２３です。

NO.1623　　約数の個数(2)　　2006.11.13.　　teki

１

ａ_１＝１，ａ_２＝０，ａ_３＝０， ａ_４＝４，ａ_５＝０，ａ_６＝０，ａ_７＝０， ａ_８＝０

２

平方数
理由：一般に奇数個の約数を持つのは平方数のみです。（証明は以下の通り。）
　　　Ｎ＝ａ^ｐ＊ｂ^ｑ＊ｃ^ｒ・・・　　

とすると、Ｎの約数の個数は、

　　　（ｐ＋１）＊（ｑ＋１）＊（ｒ＋１）・・・・。

これが奇数となるには、ｐ，ｑ，ｒ，・・・・が全て偶数の場合。 よって

　　　Ｎ＝ａ^２ｐ’＊ｂ^２ｑ’＊ｃ^２ｒ’・・・・

と書け、これは平方数です。

３

２より、２００６以下の平方数の合計を求めればいいので、
４４^２＝１９３６、４５^２＝２０２５　より

�煤iｋ＝１→４４）ｋ＾２＝２９３７０・・・答え

４

　�煤iｋ＝１→１７）ｋ^２＝１７８５、�煤iｋ＝１→１８）ｋ^２＝２１０９　よ り　Ｎ＜３２４　→　３２３・・・答え

NO.1622　　連続根号数と連分数の不思議な関係　　2006.11.5.　　K.F.

各項が未知数ｘであるような連続根号数（式．１）と連分数（式．２）をそれぞれ考えます。

　　　　　　（式．１）

　　　　　　（式．２）

いま、式．１と式．２の極限値が存在し、かつそれらの値が等しいとすると、 ｘを未知数とする方程式（式．３）がつくれます。

　　　　　　（式．３）

式．３の方程式は、理科系の大学生でも解けないかもしれません。 ところが、中学生でも解けます。式．１の極限値をＸとすると、

　　　　　　（式．４）

式．４の二次方程式を解くと、

　　　　　　（式．５）

一方、式．２の極限値をＹ(≠０)とすると、

　　　　　　（式．６）

式．６の二次方程式を解くと、

　　　　　　（式．７）

式．３より、Ｘ＝Ｙ　よって、式．５、７より、

　　　

故に、式．３の方程式の解は、x=1
さらに付け加えると、極限値Ｘ(＝Ｙ)の実数値は、

　　　

この値は、ギリシア時代から最も調和のとれた比といわれる黄金比に等しいです。すなわち、

　　　

これは偶然でしょうか？

NO.1621　　半整数四角形の問題(3)　　2006.11.1.　　夜ふかしのつらいおじさん

答えは、(55/2)°です。
方法は少しも華麗ではなく、腕力の行使ですが三角関数の良い復習になります。
まず、三角形の内角の和が180°であることを使って求まる角をすべて求めます。
次に、正弦定理や余弦定理を用いて、AD,BD,ADの長さを求め、∠BAD(図の青い角)の大きさが 150°であることを調べます。
そして、△PADの内角を考えて問題の∠ADB(図の赤い角)を決めます。

　　　

さて、線分ACとBDの交点をPとします。
∠BAC=65/2°、∠BPC=35°、∠BDC=30°は、三角形の内角の和が180°より求まります。
∠APDは∠BPCの対頂角です。

BCの長さを１とします。（数式中では角の単位「°」は省略します)

よって△ABDについて余弦定理より

ここで、分子は負なので

NO.1620　　半整数四角形の問題(2)　　2006.11.1.　　teki

NO.1616にラングレーの問題の記述がありましたが、 実は、このタイプのラングレー問題はすでに解決してるんです。
ある方のHPの「計算の小道具」 というCGIを用いたプログラム で問題の４つの角度を入力すれば、答えが自動的に出てきます。 （本問題では３０度と出てきます。） よろしければ、遊んでください。