Colloquium

NO.1677　　 勝敗の差　　2007.6.11　　水の流れ

第１９２回数学的な応募問題

皆さん、プロ野球はセパ交流戦の後半に入り、勝敗が気になります。6月9日現在次の成績です。

順位	球団名	試合数	勝数	負け数	引分け数	勝敗の差
１	日本ハム	１３	１２	１	０	１１
２	ロッテ	１３	１０	３	０	７
３	オリックス	１４	９	４	１	５
４	巨人	１３	８	５	０	３
５	楽天	１３	７	６	０	１
６	中日	１４	７	７	０	０
６	ヤクルト	１４	７	７	０	０
８	ソフトバンク	１４	６	８	０	２
９	阪神	１４	５	９	０	４
１０	横浜	１２	４	８	０	４
１１	広島	１４	３	１０	１	７
１２	西武	１４	２	１２	０	１０

どのチームも最初は勝ち数と負け数の差がなく、 いわゆる貯金が０です。1試合ごとに勝つと貯金が1つ増え、 負けると借金が１つ増えます。ここで、勝ち数と負け数の差を考えました。 例えば上の成績の場合はロッテも広島も勝敗の差は同じ７のことをいいます。 さて、次のような問題を作成しました。皆さん！考えてください。

あるチームがｎ（ｎ≧１）試合、野球を行ったとき、勝敗の差の期待値をＥ_ｎとして、 Ｅ_２ｎ　についてです。 ただし、勝敗の起こる確率は5分5分とし、引き分けはないものとします。

問題１：Ｅ_２ｎ＝Ｅ_２ｎ−１となることを説明しなさい。

問題２：問題１から、偶数試合終了だけを考えて２、４、６試合終了したときの期待値Ｅ_２ｎを求めよ。

問題３：２ｎ試合終了したときの期待値Ｅ_２ｎをｎで表せ。 ただし、組み合わせの記号Ｃを用いても良い。

問題４：1年間に１４４試合行いますから、一体どのくらいの貯金または借金が妥当か、 ウォーリスの公式を利用して、Ｅ_１４４の近似値を求めてください。

注：この記事に関する投稿の掲載は、２００７年７月２日以降とします。

NO.1676　　連勝連敗の平均(2)　　2007.6.11　　夜ふかしのつらいおじさん

問題１：
ｎ＝１のときは、勝つにしても負けるにしても連続数の平均の期待値は１です。

ｎ＝２のときは、
「○○、××」の連続数の平均は２／１＝２
「○×、×○」の連続数の平均は２／２＝１
だから期待値は、（２×２＋１×２）／４＝３／２

ｎ＝３のときは、
「○○○、×××」の連続数の平均は３／１＝３
「○○×、○××、××○、×○○」の連続数の平均は３／２
「○×○、×○×」の連続数の平均は３／３＝１
だから期待値は、（３×２＋３／２×４＋１×２）／８＝７／４

ｎ＝４のときは、
「○○○○、××××」の連続数の平均は４／１＝４
「○○○×、○○××、○×××、×××○、××○○、×○○○」の連続数の平均は４／２＝２
「○○×○、○×○○、○××○、××○×、×○××、×○○×」の連続数の平均は４／３
「○×○×、×○×○」の連続数の平均は４／４＝１
だから期待値は、（４×２＋２×６＋４／３×６＋１×２）／１６＝１５／８

問題２：
「勝ち○」と「負け×」のパターンが正反対のものがペアであります。
だから「勝ち○」で始まるものだけで考えても十分です。
ｎのとき勝ち負けの変化は、０回からｎ−１回の場合があります。
ｎ個の○や×を並べるとき、間がｎ−１個あります。
勝ち負けの変化がｋ−１回起こるとすると、ｎ−１個の間があるので、_n-1Ｃ_k-1通りの場合の数があります。
このときの連続数の平均は、

　　　ｎ／ｋ×_n-1Ｃ_k-1 ＝ｎ／ｋ×(ｎ−１)！／{(ｎ−ｋ)！×(ｋ−１)！}＝ｎ！／{(ｎ−ｋ)！×ｋ！}＝_nＣ_k

勝ち○から始まるとすると、残りｎ−１個の並び方は、全部で ２n-1 通りあります。
だから期待値は次の計算で求まります。
　[ｎ／１×_nｰ1Ｃ₀＋ｎ／２×_nｰ1Ｃ₁＋ｎ／３×_nｰ1Ｃ₂＋・・・・・・＋ｎ／(ｎ−１)×_n-1Ｃ_n-2＋ｎ／ｎ×_n-1Ｃ_n-1]／２^n-1
＝(_nＣ₁＋_nＣ₂＋_nＣ₃＋・・・・・・＋_nＣ_n-1＋_nＣ_n）／２^n-1
＝(_nＣ₀＋_nＣ₁＋_nＣ₂＋_nＣ₃＋・・・・・・＋_nＣ_n-1＋_nＣ_n−_nＣ₀）／２^n-1
＝(２n−１)／２^n-1