NO.1709 無限次代数方程式と超越数 2008.1.28 K.F.
一部修正 1.29.23:00
実数が有理数と無理数からなることは、高校生なら知っています。無理数が代数的(無理)数と
超越数からなることは、理科系の数学が好きな大学生なら知っています。
ここで代数的数とは、有理係数代数方程式
anxn+an-1xn-1+･･･+a1x+a0=0(n≧1,an≠0かつ各aiは有理数） ・・・式.1
の解となる数のことで、全ての有理数および 
などの無理数がそれにあたります。
一方、超越数とは、式.1の代数方程式の解とならないような実数(正確にいえば複素数)のことで、
代表的な超越数には、ネイピア数ｅや円周率πがあります。
また、高校で学ぶ 
も超越数です。
ところが、ここでいう代数的数とは、あくまで式.1の代数方程式の次数が「有限」の場合の解となる
数のことであって、次数が「無限大」の場合には、その解が超越数となる場合があります。
例をあげると、三角関数 sin x をTaylor展開すれば、
となりますが、 sin x=0 という方程式を考えると、その解は、
x=0,±π,±２π,±３π,・・・
となります。といことは、
という次数が無限大の代数方程式の解は、±π,±２π,±３π,・・・ということになり、
全て超越数になります。
有限集合で成り立つことが、無限集合では成り立たないことは、
カントールの集合論により、よく知られています。
また、無限回の操作を許せば、定規とコンパスだけで与えられた角の３等分もできます。
こうしてみると、無限という概念は、人間が考えた最も興味深い概念だとつくづく思います。
ところで、この問題の「逆」は成り立つのでしょうか？ すなわち、「全ての超越数」は次数が無限大の
代数方程式の解として表されるのでしょうか？ 興味深い問題です。
＜追記＞
式.2〜式.3の結果から、
と書き表されることがわかります。ここで、式.4の右辺を展開し、x2の項を比較すると、
であることがわかり、
が成り立つことから、
であることがわかります。
これも非常に興味深いことです。
NO.1708 ガウスの格子点問題 2008.1.28 水の流れ
一部修正 1.31.23:00
第２０３回数学的な応募問題
皆さん、2007年度大学入試問題集（数研出版）にある首都大東京大学の入試問題を
参考にして次の問題を作りました。
なお、３大数学者の一人であるドイツのカール・フリードリヒ・ガウス（1777〜1855年）
がこの極限値を求めています。
注：この記事に関する投稿の掲載は、２００８年２月１８日以降とします。
NO.1707 トリチェリの問題(2) 2008.1.28 夜ふかしのつらいおじさん
この問題のヒントは、問題７６の解答・その15（ペンネ−ム：Toru）さんの補題です。
補題
三角形ＡＢＣで角Ａ,角Ｂ,角Ｃ＜１２０度の時、
ＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰが最小になるような三角形の内部の点Ｐは、
角ＡＰＢ＝角ＢＰＣ＝角ＣＰＡ＝１２０度となる点である。
問題１
図１で△A’BP’はBを中心として△ABPを左へ６０°回転したものです。
ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣが最小となる場合は、Ａ’Ｐ’ＰＣが一直線になる場合です。
なぜなら、△PP’Bが正三角形なので
PA＋PB＋PC＝A’P’＋P’P＋PCとなるからです。
(1)Ｐを簡単にとる方法は、Ａ’とＣとを結び∠ＢＡ’Ｃと等しくＡＢを基準として
角をとり直線Ａ’Ｃとの交点をＰとする方法です。
(2)A次の方法は、ＢからＡ’Ｃに垂線ＢＨをおろします。（図２）
そして、ＢＨの長さを 
とし正三角形を２つ重ねて菱形をかき（図３）
その長いほうの対角線の三等分の長さだけＨからＣに進んだ点をＰとする方法です。(図４）
なぜなら、正三角形BPP’はBHを とすると図１より１辺の長さが２となるからです。
図４でXを通る適当な直線XZをかき、等間隔に３つの点を取り
XYと平行に等間隔の点を通る直線を引けばXW＝１の大きさを得られる。
(3)解答らしい答えは、点Ｐを△ＡＢＣの各辺を１辺とする正三角形の外接円の交点とする方法です。（図５）
正三角形ＡＢＪの外接円と正三角形ＡＣＨの外接円の交点でＡでない方の点をＰとします。
四角形ＪＢＰＡは円に内接するので∠ＢＰＡ＝１２０°です。
四角形ＨＡＰＣは円に内接するので∠ＣＰＡ＝１２０°です。
すると、四角形ＧＣＰＢの内角ＣＰＢも１２０°になります。
四角形ＧＣＰＢは向かい合う２つの内角の和が１８０°になるので円に内接します。
以上から△ＡＢＣの各辺を１辺とする正三角形の３つの外接円は１点で交わります。
∠ＪＰＢは弧BＪにたつ円周角なので６０°です。
すると、∠ＪＰB＋∠BＰＣ＝１８０°となり、３点Ｊ、Ｐ、Ｃは同一直線上にあります。
点Pは三角形ABCの各頂点と結ぶと、３６０°を３等分しそれぞれの角は１２０°になります。
問題２
ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣの長さの最小値は、点Ａを左へ６０°回転移動した点Ａ’とＣとの距離を求めればよい。
点Ａ’は
よってＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣの長さの最小値は
問題３
△ＡＢＣの内部の点Ｐから各辺におろした垂線の足を結んだ△ＤＥＦは正三角形にはなりません。
ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣの値が最小になる場合は、∠ＡＰＢ＝∠ＢＰＣ＝∠ＣＰＡ＝１２０°のときです。
△ＰＡＢ、△ＰＢＣ、△ＰＣＡは頂点Ｐのところの内角は１２０°なので、他の内角の和は６０°です。
図で同じ色の角（○と●）の和は６０°です。
△ＤＥＦの内角は図のような様子になっています。（頂点に集まる角の色が違う）
だから一般には△ＤＥＦの内角はそれぞれ６０°にはなりません。
そうなるのはもともとの△ＡＢＣが正三角形のときです。
改題の方は簡単です。
例えば、四角形MBPAは∠Aと∠Bの和が１８０°なので円に内接します。
∠APB＝１２０°なので∠Mは６０°となります。
問題４
正方形の場合、ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣ＋ＰＤ（･･･あ）の値が最小になるのは点Ｐが対角線の交点になる場合です。
点Ｐが対角線の交点をはずれると、対角線を底辺とする三角形を考えて、（あ）より必ず大きくなります。
Ｐ’Ａ＋Ｐ’Ｂ＋Ｐ’Ｃ＋Ｐ’Ｄ
＝Ｐ’Ａ＋Ｐ’Ｃ＋Ｐ’Ｂ＋Ｐ’Ｄ
＞ＡＣ＋ＢＤ
＝ＰＡ＋ＰＣ＋ＰＢ＋ＰＤ
＝ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣ＋ＰＤ
NO.1706 トリチェリの問題 2008.1.7 水の流れ
一部修正 1.8.20:30
第２０２回数学的な応募問題
皆さん、パズルでひらめく補助線の幾何学（中村義作著）「講談社」を読んでいたところ、
次のような問題を見つけたので、参考にして問題を作りました。
イタリアの物理学者で、ガリレオ・ガリレイの弟子だったトリチェリ（1608から1647）
は幾何学者
としても有名であったことをご存知でしたか。フランスの代数学者フェルマーはトリチェリに
「三角形の各頂点からの和が最小になる点を求めよ」という問題を出したことがあり、
以後これをトリチェリの問題と読ばれています。ここからが、問題です。
三角形ＡＢＣがある。この内部に点Ｐをとって、
点Ｐと３つの頂点Ａ，Ｂ，Ｃを図のように結びます。
このとき、距離の和ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣを最小にする点をＰとする。
ただし、三角形ＡＢＣが鈍角三角形の場合、鈍角の大きさは１２０度未満とする。
問題１：点Ｐをどこにとればよいでしょうか。
ヒント：ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣと同じ長さの折れ線を作るように、
頂点Ｂを中心にして、三角形ＡＰＢを６０度回転させてください。
もちろん、他の解法もあります。
問題２：３つの頂点の座標をＡ（ａ，ｂ）、Ｂ（０，０）、Ｃ（ｃ、０）としたとき、
ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣの最小値をａ、ｂ、ｃで表せ。
問題３：点Ｐから３辺へ垂線を下ろしたときの足を図のように、Ｄ、Ｅ，Ｆとしたとき、
垂足三角形ＤＥＦが正三角形になるとあるサイトに書いてありました。
その証明が分かりません教えてください。
注）
問題3に関して、△DEF正三角形にならないのではないかと、指摘があり、
私自身も間違っているのではないかと、思い始めました。
詳しくはこちらを見てください。（水の流れ）
さらに、
問題４：1辺の長さが１０ｃｍである正方形ＡＢＣＤがる。
４頂点に至る距離の和が最小になるような経路を図で示してください。
また、その最小値を求めてください。
研究：三角形ＡＢＣが鈍角三角形で、鈍角の大きさが１２０度以上のとき、
ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣが最小となる点Ｐはその鈍角である頂点になります。
注：この記事に関する投稿の掲載は、２００８年１月２８日以降とします。
NO.1705 算額in宮城(3) 2008.1.7 夜ふかしのつらいおじさん
答えを見つけるだけなら、そんなに難しくありません。
△ABCと△Q１R１Cは相似です。
その△Q１R１Cと△S２R２Cも相似で、相似の比 p も同じです。
円O１と円O２は相似です。
その円O２と円O３も相似で相似比は上の三角形と同じ p です。
だから 25p2＝16 より p＝0.8 なので、Ｏ2の直径は、25×0.8＝20cm
また、ｒ１、ｒ２、ｒ３ はこの順に等比数列をなすので、
（ｒ２）2＝ｒ１×ｒ３
さて、O１の直径が25cmとなるのはどんな場合か調べてみます。
三角形の縦横の長さの比が分かればよいので、図２のように横を１、縦をｘとします。
ここで BE＝ｃ とすると、DB＝ｃｘ
DE2=DG2 より
整理して
ｃ＞０ に注意して（１）を ｃ について解くと
すると、CE=1-c 、相似比を 0.8 として
整理して
この方程式の解のうち正の実数を求めると
ｘ＝ 0.2297766
すると
BE=ｃ＝0.17915272
BD=cx=0.041165103
DE=0.183821279
ここで直角三角形に内接する円の半径 ｒ について調べます。
面積を二通りで表してみると（図３）
整理して
（つまり、縦横の和から斜辺を引いたもの）
図２の直角三角形に対しては、
2ｒ＝ 0.036497(およその値）
これが25cmになるのだから、実際の横の長さをLとすると
0.25：L＝0.036497：1
L=6.849964(およその値）
縦＝1.573961(およその値）
実際には次のような感じの直角三角形になります。
NO.1704 算額in宮城(2) 2008.1.7. teki
図の円O１、O２、O３は全て正方形と相似になっており、
その面積はO１：O２＝O２：O３ です。
よって、O２×O２＝O１×O３ の関係が成立します。
つまり赤い円の直径は２０ｃｍということがわかります。
一般的には直径をｒ１、ｒ２、ｒ３とすると、
という関係が成立します。
NO.1703 「数学ガール」 2008.1.3. Junko
本やさんで目にした結城浩著「数学ガール」を読んでいます。
真剣に問いを投げかけてくる後輩の元気少女テトラちゃんと、
エレガントな解法で主人公を打ちのめす才媛ミルカちゃん、
そして高校生の主人公が、様々な数学と出会い、
その秘密を解き明かしていきます。
物語もさることながら、フィボナッチ数列やゼータ関数など、魅力的に語られていきます。
それにしても、テトラちゃんとミルカちゃん、最後はどうなるのかなと気になるところです。
NO.1702 NO.1695は何故？ 2008.1.3. ＤＤＴ
NO.1695の答えは、ＡＰ：ＰＢは黄金比が正解と思いますが、何故なんでしょう？
後知恵の小賢しさでもいいから、なんらかの理由が見つからないものか？と、やってみました。
NO.1697と同様に、ＡＢをベクトルa，ＡＣをベクトルbとし、
a，bを平面の基底にとります。ＡＰ＝ka，ＡＱ＝kb，0＜k＜1とします。まず基底(a，b)を座標軸とする、
座標空間に移ってみます。
もとのユークリッド空間（平面）における基底は、
とおけます。
もとのユークリッド空間における座標値（表現ベクトル）を(x，y)とし、
基底(a，b)に移ったときの座標値を(k，l)とすると、
です。問題は面積比なので、(a，b)が数ベクトルとして、
(e1，e2)によって表せる事に注意すると、ヤコビアンにより、
と表せる事がわかります。ここで、|det(a，b)|は、(k，l)によらない定数です。
従って、次図のような状態に移っても、△ＡＢＣと△ＰＱＲの面積比は変わりません。
次図において、(x，y)空間から(k，l)空間に移っても、線分ＡＢ，ＢＣ，ＰＱなどが直線であり続けるのは、
上記基底変換が、二つの定数基底の間の線形変換であるからです。
従って面積間でも、定数比を保ちます。
ここでＲの(k，l)座標ですが、NO.1697より、
です（(k，l)空間の座標を使って直接計算しても同じです）。
次にＰＱの中点Ｓの(k，l)座標は、(k，l)空間で直接計算して明らかに、
となります。(k，l)空間にいるので、ＰＱとＲＳは直交します。
よって、△ＰＱＲの面積は、
より、
とする。
を計算できます。ここでは、0＜k＜1を使っています。
g(k)＝log f(k)として、f(k)の最大値を見つけるために、g(k)をkで微分すると、
なので、
が得られます。この結果と、NO.1697のg'(k)を比較すると実質的に同じであり、
△ＰＱＲの面積を最大化する1：kの値は、△ＡＢＣの形に由らない事は、これで明らかにはなりますが、
何故黄金比になるかは、やっぱり謎です。
dg/dkの分子において、k2−k−1＝0が現れるためには、
例え条件を直角三角形に標準化したとしても、問題文に現れる全ての条件が必要です。
直角三角形に標準化すれば、どれかの条件は外れるのではないか
（標準形に条件の一部に解消できるのではないか？）と期待したのですが、駄目でした。
でも理由はあるはずです。皆さんの意見を聞きたいです。駄目でしょうか？
