Colloquium

NO.231
Weekend Mathematics／コロキウム室／NO.231

NO.1725　　　奇数乗和　　2008.5.19　　水の流れ

第２０８回数学的な応募問題


皆さん、累乗和（奇数乗）の公式を導き方法をご存知ですか。 過去の大学入試問題を見ていたら、北見工業大学の2002年に下のような問題がでていました。 一部改題しています。生徒には教えたい解法です。

問題２０８の問題

注：この記事に関する投稿の掲載は、２００８年６月16日以降とします。

NO.1724　　　ニュートン線(2) 　　2008.5.19　　夜ふかしのつらいおじさん

図１において、MはBDの中点なので、△ABM＝△ADM、△CBM＝△CDMです。
だから、「あ＋う＝い＋え」です。（「あ＋い＝う＋え」でもあります）
図２において、NはACの中点なので、△BAN＝△BCN、△DCN＝△DANです。
だから、「か＋く＝き＋け」です。（「か＋け＝き＋く」でもあります）

ニュートン線
図３において、四角形が円に外接しているので、AB+CD＝BC+DAです。
各頂点と円の中心とを結んでできる４つの三角形の高さは全部等しくなります。
だから、△OAB+△OCD＝△OBC+△ODA
つまり、「さ＋す＝し＋せ」です。
図１、２、３において、同じ色をつけた部分の面積の合計は、それぞれ等しくなります。

ニュートン線
図４において、△ABM+△CDMを考えます。
図１よりこの和は□ABCDの半分です。
次に点Mを、直線MN上にずらし、その点をXとします。
△ABX＝△ABM＋△AMX＋△BMX　・・・　（１）
△CDX＝△CDM−△DMX−△CMX　・・・　（２）
ここで、△AMXと△CMXとは、底辺MXが共通で、高さが等しいので、
△AMX＝△CMX
また、△BMXと△DMXとは、底辺MXが共通で、高さが等しいので、
△BMX＝△DMX
だから、（１）、（２）を加えると
△ABX＋△CDX＝△ABM＋△CDM　　（つまり、□ABCDの半分の値）
だから、点Oも直線MN上になければなりません。

NO.1723　　　血液型と確率の問題(2) 　　2008.5.19　　夜ふかしのつらいおじさん

この問題で難しいのは、そもそもの血液型の確率です。

インターネットに次のような比率が出ています。
血液型の比率（％）

　ABABO計
日本9382231100
中国6232546100
インド9214129100
アメリカ4401145100
フランス346942100
アルゼンチン05392100
インディオ000100100
ナイジェリア6212944100

そこで、この比率は無視して次のように仮定して考えてみます。
血液型の因子、A、B、Oに区別がないとしてこの世に全部同じ割合で存在するとしてみます。

　母方
ABO
父方AAAABAO
BABBBBO
OAOBOOO

つまり

AA1/9
AO2/9
BB1/9
BO2/9
AB2/9
OO1/9

次に父親がそれぞれの血液型のとき、子供がA型である確率を調べます。

　AB子供がA型の確率 子供が3人ともA型の確率
　父親の
血液型		ＡＡＡＡＡＡＡＡＢＡＢ2/48/64
ＡＯＡＡＡＯＡＢＢＯ2/48/64
ＢＢＢＡＢＡＢＢＢＢＢ0/40/64
ＢＯＡＢＡＯＢＢＢＯ1/41/64
ＡＢＡＡＡＢＡＢＢＢ1/41/64
ＯＡＯＡＯＢＯＢＯ2/48/64

P(X)を父親がＸ型の確率、P(AAA/Ｘ)を父親がＸ型のとき子供が３人ともＡ型の確率とします。 求める確率Pは

血液型と確率の問題

NO.1722　　　血液型と確率の問題 　　2008.5.1　　K.F.

人の血液型は遺伝によって決まります。例えば、Ｏ型の母親とＯ型の父親からは、Ｏ型の子供しか 生まれません。
そこで問題です。ここに両親と子供３人の５人家族がいるとします。 このとき、母親がＡＢ型で、３人の子供が全てＡ型のとき、 父親がＡ型である確率を求めてください。

血液型と確率の問題

この問題を解くには、血液型の遺伝についての生物学の知識が 必要なので、母親の血液型がＡＢで、父親の血液型がそれぞれ Ａ、Ｂ、ＡＢ、Ｏ型の場合について、生まれる子供の血液型の可能な組み合わせを tab.1に記しておきます。 ちなみに、Ａ型、Ｂ型には、それぞれＡＡ型、ＡＯ型、ＢＢ型、ＢＯ型がありますので注意してください。 tab.1で、ＡＡ、ＡＯの組み合わせのとき、生まれる子供の血液型はＡ型になります。

tab.1　　生まれる子供の可能な血液型の組合せ
父親の
血液型		ＡＡＡＡＡＡＡＡＢＡＢ
ＡＯＡＡＡＯＡＢＢＯ
ＢＢＢＡＢＡＢＢＢＢＢ
ＢＯＡＢＡＯＢＢＢＯ
ＡＢＡＡＡＢＡＢＢＢ
ＯＡＯＡＯＢＯＢＯ

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