ColloquiumNO.254
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確率の問題を見ていると、その結果に驚く場合があります。次の問題を考えてください。
問題１：一つのサイコロを繰り返し振って、出た目の和が６を超えるまで振り続ける。
サイコロを振る回数の期待値を求めよ。
問題２：１からnまでの自然数を一つずつ書いたカードが計n枚あって、そこから無作為に1枚抜き取っては元に戻す。抜き取ったカードに書かれた数の和がnを超えるまで繰り返すとき、カードを抜き取る回数の期待値をEnとする。
ｎを無限大にしたとこのEnの極限値を求めよ。
＜水の流れ：詳細な解答には至っていませんが＞
注：この記事に関する投稿の掲載は、2010年4月19日以降とします。
（０）
事前に次の式を確認しておきます。
１．連続する自然数の積からできている数列の和の式（数学的帰納法で簡単に確認できます）
２．二項定理
（１）
ｋ回目に直前のカードの数以下の数のカードを出す場合の数を数えます。
ｋ−１回目までは数が増え続けます。
ｋ回目はｋ−１回目に出たカードの数と同じだけの場合の数があります。
ｋ−１回目のカードの数は、ｋ−１からｎまでの場合があります。
その直前のｋ−２回目のカードの数は、ｋ−１回目より１だけ少ないｋ−２からｎ−１の場合があります。
ｋ−２回目までの数の並べ方の場合の数は、
最小のときは、１からｋ−２のｋ−２個の数の中からｋ−２個の数を組み合わせる
k-2Ck-2と同じです。
最大のときは、１からｎ−１のｎ−１個の数の中からｋ−２個の数を組み合わせる
n-1Ck-2と同じです。
ｋ−１回目のカードの数をｍとします。（ｍは、ｋ−１からｎまでの場合があります）
以上から得点がｋとなる場合の数は、
よって得点がｋとなる確率は、ｋ回カードを取り出すとｎk通りの場合があるので
（２）
期待値ｆ（ｎ）の計算は、
よってその極限値は、
2005年に東北大学の入試問題は結果がいい話になる有名な問題でした。
ここに紹介します。
注：この記事に関する投稿の掲載は、2010年3月29日以降とします。
札幌医科大学
（１）まず、Rn(x)を変形します。
積分区間が、［０，１］なので次の不等式が成り立ちます。
次に、Rn（ｘ2）について考えます。
積分区間が、［０，１］なので次の不等式が成り立ちます。
（２） （１）において、ｎ→∞のときRn（ｘ）もRn（ｘ2）も０に収束します。
つまり、ｎ→∞のときには、
（ａ）の両辺を別々に積分すると
よって
（ｂ）の両辺を別々に積分すると
よって
同志社大学
（１）
これは、初項１、公比（−ｘ2）の等比数列（公比の絶対値は１より小さい）なので、
ｎ→∞なら、無限等比級数になるので、ｆn（ｘ）は、次の式に収束します。
（２） 札幌医科大学の（２）の（ｂ）の積分でθ：０→π／６となればよいので
（３）
だから積分の値も正になります。
（４）
（５） （３）の右辺はｎ→∞のとき０に収束します。
だから、ｎ→∞のとき、
これと（４）の結果とを比べて（ｎ→∞のとき）
