ColloquiumNO.269
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AとBを比べ2行目について、
(1) Aは1が二つ、Bは4が二つです。（互換、(1 4)が必要です）
(2) Aは3があって0がなく、Bは0があって3がないことです。（互換、(0 3)が必要です）
これで、2行目の数がBと同じになりました。
2行目に3がないので、3を使わないような互換でBに近づけます。
これで上下の組み合わせがBと同じになりました。
あとは列の入れ替えでBにします。
「大学への数学」のショートプログラムを読んでいたら面白い問題がありました。
紹介します。
問題１：二次の係数がそれぞれ２、−１の２次関数のグラフを下図のようにそれぞれ
ｙ＝ｆ（ｘ）、ｙ＝ｇ（ｘ）とする。図でＣＤＥはｙ軸に平行な線分とする
とき、ＣＤ：ＤＥ比を求めよ。
問題２：下図で、ｙ＝２ｘ２･･･(1) ｙ＝−ｘ２＋４ｘ−５・・・(2)と直線ｘ＝ｋの交点を
Ｐ，Ｑとする。Ｐにおける(1)の接線とＱにおける(2)の接線の交点をＲとするとき、
Ｒの軌跡の方程式を求めよ。ただし、軌跡の限界は求めなくて良い。
注：この記事に関する投稿の掲載は、2011年６月13日以降とします。
(1)下のグラフを見れば、方程式の解の個数は2k個であることが分かります。
赤： ｙ＝ｘ、
青： ｙ＝２πsinｘ (k＝1)、緑： ｙ＝４πsinｘ (k＝2)、紫：ｙ＝６πsinｘ (k＝3)、空色： ｙ＝８πsinｘ (k＝4)、
(2) (1)の図をみると、ｙ＝２πｋsinｘ と ｙ＝ｘ のグラフは一つの山で2ヶ所ずつ交わっています。
解を小さい順に ｘｎとすると、i 番目の山では、ｘ２i−１ｎ とｘ２i の2個の解があります。
この2個は、２π(i−１)＝２πi−２π と ２π(i−１)＋π＝２πi−π の間にあります。
よって、
これらの式を辺々加えると、
以下の数の並びがある。次の条件(1)(2)で、Ａの並びをＢの並びにしなさい。
(1)横に、上下一緒に交換することができる。
(2)数字を交換することができる。
23が不可能であることの証明
相加相乗平均の不等式から、一般に
が成り立つので、n が５以上のとき
なので、２３は不可能です。
たけちゃんの証明（帰納的に求める方法）完璧な解答です。
分母の和がN(＞55)となる解が欲しいとき，
24からN-1までについての解が得られているならば，
Nが偶数のとき，
1/2+(1/2)*(分母の和が(N-2)/2の単位分数の和),
Nが奇数のとき，
1/3+1/6+(1/2)*(分母の和が(N-9)/2の単位分数の和)
「２３より大きな数は、適当な分割が存在し、その逆数の和を１にすることができる」
５≦ｎ のとき、ｎ２≦ｋ≦(ｎ＋１)２ならば、
ｋ は ｎ 個以下の分割で逆数和を１にすることが可能であることがわかりました。
