Weekend Mathematics／コロキウム室／1998.7〜12／NO.30

コロキウム室

NO.230 　　　 12/14 　　水の流れ 　　　 長方形の問題（８）

NO.196で、提起した問題です。
このＭ×Ｎの長方形（Ｍ≧Ｎとする）の中に正方形は 一体いくつありますか？
”Ｈｏｗ　ｍａｎｙ　ｒｉｇｈｔ　ａｎｇｌｅ　ａｒｅ　 ｔｈｅｒｅ　ｉｎ　ａ　Ｍ　ｔｉｍｅｓ　Ｎ　ｒｅｃｔａｎｎｇｌｅ？”

最初は順に数えてみましょう。

以上を、全部足して
注：
1+2+3+･･･+n=n(n+1)/2
12+22+32+・・・+ｎ2＝n(n+1)(2n+1)/6
となる公式は知っていますか？ これを利用します。

求める正方形の個数は 
 N×MN-{1+2+3+･･･+(N-1)}(M+N)+{12+22+32+･･･+(N-1)2}
=N(N+1)(3M-N+1)/6　  　（答）
また、M=Nのとき、２乗の公式
12+22+32+・・・+ｎ2＝ n(n+1)(2n+1)/6 になっています。



NO.231 　　　 12/14 　　Junko 　　　 三角錐の体積（４）

今年の夏にNHK教育テレビで、「ワンダ−数学ランド」という番組をやっていました。 講師は秋山仁さんです。その中で、三角錐の体積が話題になっています。
テキストはNHK出版から\900で出ていますが、 三角柱を体積が等しい３つの三角錐に分割するという模型の型紙が おまけについています。(私はさっそく作ってみました。) これはかなり説得力があると思います。



NO.232 　　　 12/14 　　水の流れ 　　　 クリスマスケ−キの問題（１）

２４日に、太郎さんは洋菓子店でクリスマスケーキを買って家に帰りました。 箱の中を開けてみると、今日は正方形のチョコレートケーキで、 まわりにもコーティングしてありました。 まわりのチョコレートの量も同じになるように公平に分ける 方法を考えてください。 真上からで良いですから、切り方を教えてください。

問１　太郎さんの家族は３人です。どう分けたら良いでしょうか。

問２　太郎さんの家族は５人です。どう分けたら良いでしょうか。

問３　太郎さんの家族は６人です。どう分けたら良いでしょうか。

問４　太郎さんの家族はｎ人です。どう分けたら良いでしょうか。

問５　明くる日太郎さんは、何と三角形の同じようなまわりまで コーティングしてあるケーキを買ってきました。 家族３人で公平に分ける方法を考えてください。



NO.233 　　　 12/17 　　Junko 　　　 クリスマスケ−キの問題（２）

  1. 問１(３人で分ける場合)について考えました。

    １辺の長さが２の正方形を座標系の上に置きます。
    この時、各頂点の座標は(1,1)、(-1,1)、(-1,-1)、(1,-1)となります。
    問題は、面積(これはケ−キの分量にあたります。)が３分割されいる上に 周囲の長さ(これはチョコレ−トでコ−ティングされた側面にあたります。) も３分割されていればいいわけです。

    全体の面積は２×２＝４ですから、１人分は(4/3)となります。
    全体の周の長さは２×４＝８ですから、１人分は(8/3)となります。

    切り始めを、原点(0,0)と点(1,a)を結ぶ線分で切るとします。 (０゜〜４５゜で一般化できます。)
    ２本目のナイフは、点(-1,1)超えるかどうかで場合分けをします。

    • (1-a)+2>(8/3)のとき、すなわち(1/3)>aのとき
      ２本目のナイフは原点(0,0)と点(-b,1)を結ぶ線分で入れるとします。(b>0)
      (1-a)+1+b=(8/3)より、b-a=(2/3)
      このとき、面積S=1+(1/2)b-(1/2)ａ=1+(1/2)(b-a)=1+(1/2)･(2/3)=(4/3) となり条件に合います。
    • (1-a)+2＜(8/3)のとき、すなわち(1/3)＜aのとき
      ２本目のナイフは原点(0,0)と点(-1,c)を結ぶ線分で入れるとします。(c>0)
      (1-a)+2+(1-c)=(8/3)より、a+c=(4/3)
      このとき、面積S=2-(1/2)c-(1/2)ａ=2-(1/2)(a+b)=2-(1/2)･(4/3)=(4/3) となり条件に合います。
    つまりどこで切り始めても、周の長さが(8/3)のところで２本目のナイフを 入れれば、そこまでの面積は必ず(4/3)となるわけです。

    次に３本目のナイフですが、これは最初に位置から逆回転して 点(0,-1)超えるかどうかで場合分けをします。

    • 2+a>(8/3)のとき、すなわちa>(2/3)のとき
      ３本目のナイフは原点(0,0)と点(d,-1)を結ぶ線分で入れるとします。(d>0)
      2+a-d=(8/3)より、a-d=(2/3)
      このとき、面積S=1+(1/2)a-(1/2)d=1+(1/2)(a-d)=1+(1/2)･(2/3)=(4/3) となり条件に合います。
    • 2+a＜(8/3)のとき、すなわちa＜(2/3)のとき
      ３本目のナイフは原点(0,0)と点(-e,-1)を結ぶ線分で入れるとします。(e>0)
      2+a+e=(8/3)より、a+e=(2/3)
      このとき、面積S=1+(1/2)a+(1/2)e=1+(1/2)(a+e)=1+(1/2)･(2/3)=(4/3) となり条件に合います。
    つまりどこで切り始めても、周の長さが(8/3)のところで３本目のナイフを 入れれば、そこまでの面積は必ず(4/3)となるわけです。


    以上の結果をまとめると、どこで切り始めても、 周の長さが(8/3)になるごとにナイフを入れれば、面積も等分されるというわけです。 左の図は０゜の位置から切り始めた時の図です。


  2. 問２．次に、これは３等分に限ったことではないのではないかと思い、 ５等分についてもやってみました。
    まず５等分ですが、０゜の位置から切り始めて 周の長さが(8/5)になるごとにナイフを入れていくと、 確かに面積が等分されています。

  3. 問３．６等分についても同様です。
  4. 問４．これはｎ等分まで一般化できるのではないかと考えました。 つまり、０゜の位置から切り始めて 周の長さが(8/ｎ)になるごとにナイフを入れていくと、 確かに面積が等分されるのではないでしょうか？
    これを裏付けるためには、周の長さと面積が比例関係にあるということが 証明できればいいわけです。


    そこで、０゜の位置(実はどこから切りはじめてもいい)の次に ナイフを入れるところまでの周の長さｌ、 面積Ｓとします。
    左の図のように４５゜ずつ切り開くと、 いくつかの三角形の和になります。 高さは常に１、底辺の和は周に長さｌに一致しますから、 常にｌ＝２Ｓという関係がなりたつことがわかります。
    周の長さと面積は常に比例関係にあるわけですから、任意の場所から切り始めて、 周の長さが(8/ｎ)になるごとにナイフを入れていくと、 面積も等分されるというわけです。



  5. さて次は三角形です。 これも同じように考えられるとしたら、 きっと内心に違いない！　と思ったわけです。
    ３辺の長さをそれぞれa,b,c、周囲の長さをｌとすると、 l=a+b+cとなります。
    三角形の面積Ｓ、内心から各辺までの距離をhとすると、
    Ｓ＝(1/2)ah＋(1/2)bh＋(1/2)ch＝(1/2)･h･(a+b+c)＝(1/2)･h･l
    となるので、面積Ｓと周囲の長さlが比例関係にあります。



    ですから、次のように切ればいいと思います。
    必ず内心を通ように切る。 周囲の長さを測り、その1/3になるごとにナイフを入れていく。
    これは３等分に限ったことではありませんね。





NO.234 　　　 12/19 　　Idaho Potato   リンクバナ−（１）

私からのクリスマスプレゼントとして、 「Weekend Mathematics」のリンクバナーを作りましたので、お送りします。

   




NO.235 　　　 12/19 　　Junko   リンクバナ−（２）

素敵なプレゼントをどうもありがとうございます！！！
このペ−ジにリンクを張ってくださる方が使っていただけるととってもうれしいです。 よろしくお願いします。　



NO.236 　　　 12/20 　　水の流れ 　　　 三角錐と四角錐（１）

１辺の長さが同じ正三角錘と正四角錐を、 合同な面で合体されたら、何面体の立体ができるでしょうか。 面の数をみてください。 ４＋５＝？　の問題です。
　 さらに、正四角錐を中央にして、左右に２つの正四面体を 合体されると、面の数はどうなるでしょうか？



NO.237 　　　 12/21 　　水の流れ 　　　 黄金比（１）

問題　＜元旦に　黄金比　を作ろう＞

  1. 黄金比（１＋√５）／２を、４を４個使って表してください。 もちろん無理数ですから、いろいろな関数を使用しても良いです。
  2. 黄金比（１＋√５）／２を、５を５個使って表してください。 もちろん無理数ですから、いろいろな関数を使用しても良いです。
  3. 黄金比（１＋√５）／２を、元旦 （平成１１年１月１日午前　　１１時１１分１１秒１１・・・）までに １を何回か使って、表してください。








E-mail 戻る