コロキウム室

第５４回数学的な応募問題

太郎さんの机には、デジタル時計が置いてあり、一日を、00：00〜23：59というように表示します。
このデジタル時計の表示に数字ｎが現れている時間を、太郎さんは気にしています。
ここで、４つの数字からなる表示の中の少なくとも１つがｎであるときの時間の総和を求めたいのです。
例えば、22：00　という表示の場合は　ｎ＝０が１分、ｎ＝２が１分と数えて下さい。
さて、問題です。

問題１：
ｎ＝０〜９までの数字で一番表示時間の長い数字とその表示時間の総和を教えてください。

問題２：
ｎ＝０〜９までの数字で一番表示時間の短い数字とその表示時間の総和を教えてください。

問題３：
上の２つの問題以外で、現れてくる数字の表示時間の総和も教えてください。

マッチ棒の問題ですが、これは、次のような簡単な問題が発端にあります。
勿論、マッチ棒は折らないでください。

1. マッチ棒で３辺が３，４，５本の直角三角形を作ります。
   この三角形を２本のマッチ棒で２つの面積が等しい部分に分けて下さい。
   さらに、３本のマッチ棒で２つの面積が等しい部分に分けて下さい。
   
   
2. マッチ棒で３辺が２，３，４本の三角形を作ります。
   この三角形を２本のマッチ棒で２つの面積が等しい部分に分けて下さい。
   

「日本数学コンクール」と「日本ジュニア数学コンクール」について紹介します。 紹介文の許諾は頂いています。

２１世紀の新しい科学・技術の基盤を担う夢とロマンを秘めた若者の才能を発掘し、 育成していくために1990年度から日本数学コンクールを、 1997年度から日本ジュニア数学コンクールを開催しています。

1. 自由にゆったりと考える
   
   解答時間は約5時間、途中で昼食や飲み物などは自由に取ることができます。 また、参考書やノート、電卓などの持ち込みも自由です。
   
   
2. 新しい数学の発見
   
   学校における教育課程、教科書にとらわれず、数学的な本質に根ざした、 考えて楽しい問題を提供します。
   
   
3. 多彩な才能の発見
   
   優秀な才能を持った生徒、ユニークな発想を持った生徒など、 様々な参加者の才能を多面的に評価するために、たくさん解いた生徒だけでなく、 １題に集中して素晴らしい発想を出した生徒にも賞を与えます。
   
   
4. 人材の育成
   
   コンクール参加者の数学的能力をさらに高めるため、 コンクールの表彰式の後、講評会を行います。

「第11回日本数学コンクール募集要項」

1. 開催日時：平成１２年８月１９日（土）１０時受け付け 解答時間は１０時３０分から１６時まで
   
2. 会　場　：名古屋大学情報文化学部（詳細は参加証にて提示）
   
3. 参加資格：高校生、高校生相当年齢の者
   
4. 応募方法：下の要領に従って往復葉書で平成１２年７月１４日（金） ＜必着＞までに申し込むこと
   
5. 参加料　：２０００円　当日会場にて集めます。
   
6. その他　：
   
   1. 昼食は各自で持参すること。昼食時間は、各自が自由に設定し、その時も解答にあたってよい。ただし、会場から　　　　外へでることはできない。
   2. 参考書、ノート、電卓等の持ちこみは自由とする。ただし、問題に関する私語は禁止する。
   3. 往復葉書は次の�@〜�Hをもれなく記入すること。往信、返信の位置を間違えないこと。 また、申し込みは、１通につき一人のみとする。
      �@　郵便番号、住所　�A　電話番号　�B　学校名（フリガナ）　�C　学年　 �D　学校所在地（都道府県及び市町村まで）
      �E　氏名（フリガナ）　�F　性別　　�G　生年月日　�H　保護者氏名（保護者直筆　、捺印）
   4. コンクールに関する問い合わせは、名古屋大学総務課内、日本数学コンクール係
      電話　０５２−７８９−２０１１ 時間　９：００〜１２：００と１３：００〜１７：００（土、日は除く）
   　

表にしてみました。
時(a)については00〜23まで、分(b)については00〜59までに登場する回数を数えます。
合計回数については、a×60+(24-a)×b で算出します。

数字	時(a)	分(b)	合計回数
０	１２	１５	９００
１	１２	１５	９００
２	６	１５	６３０
３	３	１５	４９５
４	２	１５	４５０
５	２	１５	４５０
６	２	６	２５２
７	２	６	２５２
８	２	６	２５２
９	２	６	２５２

太郎さんの住んでいる衆議院小選挙区では二人の候補者が立候補しています。
２５日の開票結果は，Ａ候補者がａ票を、Ｂ候補者がｂ票を得ました。 （ここで、ａ＞ｂとします。）
票の数え方の起こりうる方法はすべて同じとして、 開票中ずっとＡ候補者の得票がＢ候補者の得票を上回る確率を求めてください。

「日本数学コンクール論文賞」について紹介します。 紹介文の許諾は頂いています。

「第1回日本数学コンクール論文賞募集要項」

1. 応募資格：
   �@日本数学コンクール論文賞　高校生以上（一般の方も可）。共著論文も歓迎します。
   �A日本ジュニア数学コンクール論文賞　中学生以下。共著論文も歓迎します。
   ただし、共著論文の場合も中学生以下であることを要します。
   
   
2. 論文テーマ：
   次の論文テーマから、ひとつを選んで、論文にして下さい。
   

   �@【宇宙の人口密度】
   ある国の人口密度は、１平方キロメートルあたり何人というように　、 密度は日常的に使われる数学的概念です。 ところで、空間内に散財する無限個の点に対しても 密度が考えられるでしょうか。 もしできるとしたら、そのような密度を定義する考え方、 定義された密度の基本的な性質、さらに、その応用などについて論じて下さい。
   
   

   �A【不思議な星の地図】
   世界地図には、用途に応じてメルカトール図法、モルワイデ図法など いろいろな種類があります。
   ところで、２人乗りの浮き袋のような形をした星（後で、画像を書きます）があって、 もしあなたがその星に住んでいて、そこの世界地図を作って欲しいと頼まれたとしたら、 あなたはどんな世界地図をどんな方法で作るか論じてください。
   
   

3. 応募方法　：
   論文はＡ４版横書き原稿用紙（２０×２０）を用いること。 数式は文章と分け、行を改めて書くこと。
   必要に応じて図を入れても構わない。長さの制限はとくにない。
   

   ◎　論文送付先　郵便番号４６４−８６０１　名古屋市千種区不老町
   　　　　　　　　　　　　名古屋大学総務課内、日本数学コンクール担当
   ☆　封筒に「論文賞」と朱書きのこと
   
   

4. 締め切り：平成１２年８月１９日（土）必着
   なお、当日は日本数学コンクール、日本ジュニア数学コンクールが名古屋大学で開催されますので、 論文を会場で提出してもかまいません。
   
   
5. 審査方法：
   日本数学コンクール論文賞、日本ジュニア数学コンクール論文賞ともに、応募論文それぞれに、 ２名の査読者が査読結果をレポートにまとめ、審査員の合議により入選論文を決定します。
   ◎　審査会　伊藤　正之（名古屋大学教授、日本数学コンクール委員会会長）
   　　　　　　大沢　健夫（名古屋大学教授、日本数学コンクール委員会問題委員会委員長）
   　　　　　　その他日本数学コンクール委員会問題委員会委員若干名
   
   
6. 表彰式：
   表彰は数学コンクール表彰式当日に行い、最優秀論文に対しては日本数学コンクール論文賞、 日本数学ジュニア数学コンクール論文賞とも数学コンクール大賞と同等の記念品および賞品を贈呈します。 優秀論文に対する表彰も数学コンクールに準じます。 また、最優秀論文の結果については、中日新聞に紹介します。
   
   　　　　　　
7. 論文に関する問い合わせは、名古屋大学総務課内、日本数学コンクール担当
   　　　　　　　電話　０５２−７８９−２０１１
   　　　　　　　時間　９：００〜１２：００と１３：００〜１７：００（土、日は除く）
   ＊表彰式は11月３日（水）祝日に名古屋大学シンポジオンで行います。
   

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