コロキウム室
(オイラーの「無限解析入門（１）」・その２)

この２式を掛けると、明らかに右辺は１になります。
そして、当然　Ｂ_０＝１　であり、ｘ^ｎの係数は　０　です。
これを左辺で見ますと、

両辺に（ｎ＋１）！　を掛けて　、２項係数で表すと

_ｎ＋１Ｃ_１Ｂ_ｎ＋ _ｎ＋１Ｃ_２Ｂ_ｎ−１＋ _ｎ＋１Ｃ_３Ｂ_ｎ−２＋ ・・・＋ _ｎ＋１Ｃ_ｎＢ_１＋ _ｎ＋１Ｃ_ｎ＋１Ｂ_０＝０

これは　ｎ＋１　のところを　ｎ　で書き直し、さらに組合せの性質もつかって、

_ｎＣ_ｎ−１Ｂ_ｎ−１＋ _ｎＣ_ｎ−２Ｂ_ｎ−２＋ ・・・＋ _ｎＣ_２Ｂ_２＋ _ｎＣ_１Ｂ_１＋ _ｎＣ_０Ｂ_０＝０

これは（Ｂ＋１）^ｎ−Ｂ^ｎ＝０　と書けば分かり易いです。
ただし、展開後の　Ｂ　の指数を下の添え字にしてください。

ここで、ｎ＝２　を代入して　２Ｂ_１＋１＝０　　　　∴Ｂ_１＝−１／２
ｎ＝３　を代入して　　３Ｂ_２＋３Ｂ_１＋１＝０　　　　　　　　∴Ｂ_２＝１／６
ｎ＝４　を代入して　４Ｂ_３＋６Ｂ_２＋４Ｂ_１＋１＝０　　　　∴Ｂ_３＝０
ｎ＝５　を代入して　５Ｂ_４＋１０Ｂ_３＋１０Ｂ_２＋５Ｂ_１＋１＝０　∴Ｂ_４＝−１／３０
後は、読者に任せます。分かったことは

（Ｂ_１以外の奇数番号のＢ_ｎは０になっています）　

ここで、ゼーターの値 ζ（０）＝−１／２，ζ（−１）＝−１／１２，ζ（−２）＝０， ζ（−３）＝１／１２０，・・・を比較してください。　すると、

と簡単に書けることをオイラーは１７４９年に発見しました。
さて、ζ（２），ζ（３），ζ（４），・・・とＢ_２、Ｂ_３，Ｂ_４， ・・・の関係については、オイラーは すでに１７３５年に見つけていました。

ここの関係を発見するにはガンマ関数Γ（ｓ）の登場になります。

と書きます。

ここで、やっと、今夜の宿題です。
このガンマ関数Γ（ｓ）の下記の性質を示してください。
（１）　Γ（ｓ＋１）＝ｓΓ（ｓ）　　、Γ（１）＝１
（２）　Γ（ｓ＋１）＝ｓ！　

この先の展開に不安を持ちつつ、第６夜はゆっくりねましょう

オイラーの「無限解析入門（１）」の第７夜の始まり、始まり。
前夜、ガンマ関数Γ（ｓ）の話をしましたね。 もう一度、書いておきます。

を言います。

さて、いきなりですが、今夜の宿題です。
次の関数が、ゼーター関数ζ（ｓ）の積分における表現になっていること を示してください。

皆さん、この積分をしてみてください。今夜は短いお話でした。

リ−マンのゼ−タ関数は、積分によっても次のように表現できます。

「素数の不思議：好田順治著（現代数学社）」に載っていましたので、紹介します。

オイラーの「無限解析入門（１）」第８夜の始まり、始まり。
自然数全体の和はオイラーが１７４９年にゼーター関数を用いて、 奇妙な計算結果を導きました。

１＋２＋３＋４＋・・・＝−１／１２

そして、自然数の積はリーマンが１８５９年にゼーター関数を用いて、 次のような奇妙な計算結果を導きました。

そこで、今夜の宿題です。

を示してください。

オイラーの「無限解析入門（１）」第９夜の始まり、始まり。
今夜は「数学の宇宙（現代数学者：中村由子訳）」を読んで、 多くの引用をさせてもらいながら、お話をします。
オイラーは１７４０年の秋に、フランスの数学者フィリップ・ノードから、 「自然数を異なる自然数の和として表わす方法がいくるあるか？」 という手紙を受け取りました。これが、オイラーの興味を引きました。 数日後、彼は「ここ数週間苦しめられた視力の低下のせいで返事の遅れた」 ことを詫びる手紙を添えて解答を送りました。
解答の紹介は後にしまして、少し説明します。

例えば、ｎ＝６のとき、異なる自然数の和として、次の４通りがあります。

６，５＋１、４＋２，３＋２＋１　です。

６を構成している数字は１回だけしか使えません。 だから、異なっている数字なら、数字はいくつ使ってもよいです。
ここで、ある自然数ｎを異なる自然数の和で表わす方法をＡ（ｎ）とします。
つまり、Ａ（６）＝４　です。

次に、６を構成している数字が奇数だけになっている方法を考えて見ます。

５＋１，３＋３，３＋１＋１＋１，１＋１＋１＋１＋１

の４通りです。奇数という制限はありますが、 同じ数字を繰り返して使ってもよいです。
ある自然数を奇数の和で表す方法をＢ（ｎ）とすれば、 Ｂ（６）＝４となります。

皆さん、Ａ（６）＝４　、Ｂ（６）＝４　が偶然に一致したかどうか、 これから、２，３調べてください。
これが今夜の宿題です。
ｎ＝７，８，・・・を調べてください。

• n=7のとき
  異なる自然数による和は、７，６＋１，５＋２，４＋３，４＋２＋１の５通り。
  Ａ(７)＝５
  一方奇数による和は、７，５＋１＋１，３＋３＋１，３＋１＋１＋１＋１，１＋１＋１＋１＋１＋１＋１の５通り。
  Ｂ(７)＝５
  従って、Ａ(７)＝Ｂ(７)
  
  
• n=8のとき
  異なる自然数による和は、８，７＋１，６＋２，５＋３，５＋２＋１，４＋３＋１の６通り。
  Ａ(８)＝６
  一方奇数による和は、７＋１，５＋３，５＋１＋１＋１，３＋３＋１＋１，
  ３＋１＋１＋１＋１＋１，１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋１の６通り。
  Ｂ(８)＝６
  従って、Ａ(８)＝Ｂ(８)
  
  
• n=9のとき
  異なる自然数による和は、９，８＋１，７＋２，６＋３，６＋２＋１，５＋４，
  ５＋３＋１，４＋３＋２の８通り。
  Ａ(９)＝８
  一方奇数による和は、９，７＋１＋１，５＋３＋１，５＋１＋１＋１＋１，３＋３＋３，
  ３＋３＋１＋１＋１，３＋１＋１＋１＋１＋１＋１，１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋１の８通り。
  Ｂ(９)＝８
  従って、Ａ(９)＝Ｂ(９)
  
  

オイラーの「無限解析入門（１）」第１０夜の始まり、始まり。
昨晩、ある自然数ｎを異なる自然数の和で表わす方法をＡ（ｎ）として、 ２，３調べてくださいと、言って床につきましたが、 この数列はいちいち計算しなければならないのでしょうか？ いえいえ、当然ある関数の係数として表れてきます。これが、母関数です。
そこで、皆さん、今夜の宿題です。
次の関数を展開してくださいね。 当然係数に注目ください。 そして、この係数がどうして、数列｛Ａ（ｎ）｝なのかも考えてください。

Ｆ(ｘ)＝(１＋ｘ)(１＋ｘ^２)(１＋ｘ^３)(１＋ｘ^４)・・・・・・

この式は初めて見たので驚きました。 早速証明に取り掛かりましたがまだ出来ていません。 そのかわりこの式を仮定して別の奇妙な式が得られました。

２×３×５×７×１１×・・・＝1/４π²

左辺は素数の無限積です。

証明）

証明終）