Weekend Mathematicsコロキウム室テーマ別/31.素数・△数・□数



コロキウム室(素数・△数・□数)


NO.632 '99 10/25水の流れ素数・△数・□数(1)

第32回数学的な応募問題

「0から9までの数字を1列に並べ、隣り合う2数から9つの2桁の整数を作る。
このとき、この2数が整数が、素数なら3点、四角数なら2点、 三角数なら1点のように得点が与えることにする。
できるだけ高い得点が得られるように、0から9までの数字を1列に並べてください。
例えば、1234567890の場合、左から順にできる9個の2桁の整数を調べると、
12…0点、
23…素数なので3点、
34…0点、
45…三角数なので1点
56…0点、
67…素数なので3点、
78…三角数なので1点、
89…素数なので3点、
90…0点
したがって、合計11点となる。ただし、次のことに注意してください。

  1. たとえば、「02」は「2」とみなす。
  2. 四角数かつ三角数のときは、2+1=3点とする。
  3. 三角数とは、1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91 です。
  4. 四角数とは、1,4,9,16,25,36,49,64,81 です。
  5. 素数は自分で考えてください。


<参考文献>:数とその歴史53話(上垣渉 何森仁 共著):三省堂 

太郎さんは、一番高得点の並び方を実際知りません。 生徒に、並べてもらって、得点を調べてもらおうと考えています。



 
NO.635 '99 10/27Junko素数・△数・□数(2)

「0297831645」という数を考えました。
02…素数なので3点
29…素数なので3点
97…素数なので3点
78…三角数なので1点
83…素数なので3点
31…素数なので3点
16…四角数なので2点
64…四角数なので2点
45…三角数なので1点
というわけで合計21点です。

素数、四角数、三角数を並べて、それを横目にチェ−ンをつなぐように 作って行きました。
得点の高い素数を最優先にするのですが、偶数の処理に苦心します。
これはただ「見つけた」というだけですから最高得点だという保証はないし、 21点になる組み合わせもこれだけとは限りません。
高々有限の組み合わせ(10!)であることですし、 ここはコンピュ−タ−に検証してもらうのがいいと思います。





 
NO.639 '99 10/29kiyo素数・△数・□数(3)

「0253641789」
02...素数で+3
25...□数で+2
53...素数で+3
36...△数かつ□数で+3
64...□数で+2
41...素数で+3
17...素数で+3
78...△数で+1
89...素数で+3

3×6+2×2+1×1=23
23点が最高点だと思います。



 
NO.640 '99 10/29ふじけん素数・△数・□数(4)

「8364102597」,「8364710259」,「8973641025」,「8971025364」
「0253641789」,「0253641978」,「0259783641」

この7つで23点になります。これより高い点数は取れません。

証明:
9つの2桁の数字がすべて素数である27点から減点方式で考えていきます。
下1桁が0,2,4,5,6,8の2桁の数字は素数にならないので この6つの減点材料をいかに扱うかを考えます。
まず、6は36と並ぶように取ることによって 三角数+四角数で3点となり素数と同じ扱いとなり減点されません。
また、2と5は02,05と並ぶように取れば素数となるので減点されません。
これ以上は3点を取る方法はないので、これで減点材料が0,4,8,2or5となりました。
次に減点が少ない四角数を考えると下1桁が4,5の四角数が存在するので 4,5を四角数になるように64,25と並ぶように取ります。
そうすると0の後には2が来ることになります。
この時点で364,025という並び方が決定しました。
後は残りの0,8の内どちらかを先頭に持っていけば減点されないので 一方は先頭に、残りの一方を三角数となるように取ります。
(0を先頭にするなら2はもう使用しているので78のみ、8を先頭にするなら10のみ)
そして、他の並び方を全て素数となるようにつなげられれば 減点されるのは四角数2つ分と三角数1つ分の計4点となり24点以上は取れません。

また、03を素数+三角数で4点としたとき、 上と同じように考えると、0364,25という並び方が決定します。
ここで2を下1桁とする三角数、四角数が存在しないことから、 2は先頭にすると一番減点が少なくなります。
すると、25を先頭にして10364,25,78,9の4つの並び方が決定します。
しかし、この時点で27点から-5点の減点ができているので23点には達しない。




 
NO.641 '99 10/29kiyo素数・△数・□数(5)

十進ベーシックでプログラミングして、10!=3628800(通り) 全検索しました。
報告されている結果を確認しました。

0253641789
0253641978
0259783641
8364102597
8364710259
8971025364
8973641025




 
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