コロキウム室(リングセオリー・その１)

（はじめに）
代数方程式の代数的解法シリーズ(テ−マ別の部屋)では体と群について、特に群は基本とはいえ、やや 深く理論を展開しました。これから気楽に群や体とは一味違った「環」について、紹 介したいと思います。

２０００年になって、いろいろな問題が取り立たされているようですけど、さしあ たって興味ある問題はやはり代数方程式の代数的解法についてなのですが、体と群に よく似ている概念である環は実はその理論が現代語で展開されてからまだ１００年も たっておらず、そのためか極めて抽象的です。抽象的とは自由という言葉と表裏一体 なのですが、あまりに自由すぎて我々の常識をはみ出している感があり、自分が納得 するまでは多少の忍耐が必要かもしれません。（書道などの作品がなかなか理解され ないのと似ているかもしれません） しかし、とはいっても、やはり面白いものであると思います。まずは環の定義を書い ておきましょう。

（定義）
集合Rが環であるとは、R≠φであって、写像ｍとｎが次のように与えられているとす る。

ｍ：R×R → R
ｎ：R×R → で対応は次の通り
ｍ（（a、ｂ））＝a＋ｂ
ｎ（（a、ｂ））＝aｂ
（このｍをR上の足し算（あるいは和）、ｎをR上の掛け算（あるいは積）という）
そして、次の４つの性質を満たす。

1. Rは＋でアーベル群
2. a（ｂｃ）＝（aｂ）ｃ
3. a（ｂ＋ｃ）＝aｂ＋aｃ
   （a＋ｂ）ｃ＝aｃ＋ｂｃ
4. Rの中には１（いち）と呼ばれる特別な元があり、a１＝１a＝aを満たす。 この１を単位元という。
   （ただし∀a、b、ｃ∈Rで１≠０を仮定する）

（定義）
Kが環Rの部分環であるとはK⊆Rであって、次の３つを満たすものとする。

1. K≠φ
2. ∀a、ｂ∈K⇒a＋ｂ、aｂ、−a∈K
3. １∈K　　（ただしこの１はRの１。つまりKはRの単位元を共有する）

さて、ここで環写像の例を２つほど挙げてみます。それぞれ確かめてみてください。

（例１）
ｆ：C → C
を複素数から複素数への写像とする。
ただし対応はｆ（a＋bi）＝a−biとする。
また、これは環同型か？

（例2）
ｆ：M（ｎ） → M（ｎ）
を成分を実数とするｎ次正方行列の集合から、その集合への写像とする。
ただし対応はｆ（A）＝P^‐AP
（P∈M（ｎ）でその行列式が０でないとする。P^‐はPの逆行列）
環写像（準同型写像）について忘れた方は 代数方程式の代数的解法シリーズの（３）を見てくださ い。
さて、環写像を用いて環の内部にある部分集合を定めることができます。

（定義）
ｆ：R → Sを環写像とする。Ker（ｆ）とIm（ｆ）を次で定義する。
Ker（ｆ）＝｛a∈R｜ｆ（a）＝０｝
Iｍ（ｆ）＝｛ｆ（a）∈S｜a∈R｝

さあ、この定義を吟味してみましょう。
Ker（ｆ）というのは言葉でいうとｆで移し て０∈Sへ行くようなRの元の集合という事ですね。
Iｍ（ｆ）はRの元の像の集合という事でしょう。 このIｍ（ｆ）をｆ（R）とも書きます。 どちらでも自分にあった方を 使ってください。人によってはｆ（R)の方がイメージが湧くかもしれません。
代数方程式の代数的解法シリーズの（２） で写像の種類について定義しました。
単射、全射、全単射でし たが、上のKer（ｆ）とIm（ｆ）を用いて、単射と全射の定義を改良しましょう。
すぐにわかる事ですが、ｆが全射⇔Im（ｆ）＝Sということです。
これは代数方程式の代数的解法シリーズの（２）で定義した全射の定義と同値です。
また、ｆが単射⇔Ker（ｆ）＝｛０｝が成り立ちます。
これは少しわかりずらいかもしれませんが、定義（ルール） に従って考えていけば簡単です。

（Ker（ｆ）＝｛０｝⇔ｆが単射の証明）
まずKer（ｆ）＝｛０｝を仮定する。この仮定のもとにｆが単射である事を示す。 定義に従いｆ（a）＝ｆ（ｂ）とする。 するとｆ（a）−ｆ（ｂ）＝０であるから、ｆ は環写像なのでｆ（a−ｂ）＝０であり、Ker（ｆ）の仮定からa−ｂ∈Ker（ｆ）である。 よっていまKer（ｆ）＝｛０｝と仮定しているのだからa−ｂ＝０であり従ってa ＝ｂを得る。ゆえにｆは単射。
今度はｆが単射である事を仮定してKer（ｆ）＝｛０｝を示す。 ∀aをKer（ｆ）からとってこれが０である事をいえば題意は満たされる。 ∀a∈Ker（ｆ）を取ってくればKer（ｆ）の定義からｆ（a）＝０でである。いまｆは 環写像なのだから、
ｆ（０）＝０　・・・・・（１）
である。よってｆ（a）＝ｆ（０）で仮定よりｆは単射であるからa＝０．従って任意 のKer（ｆ）の元は０ということなのでKer（ｆ）＝｛０｝
さて、この証明の中にある（１）について考えてみましょう。ｆが環写像ならばほん とに０が０へ移るのでしょうか？
環Rは和でアーベル群でした。 ですから、a＋０＝０＋a＝aが任意のRの元aについて成り立ちます。 この式をｆでそれぞれ移して見ましょう。すると
ｆ（a＋０）＝ｆ（０＋a）＝ｆ（a）
です。さらにｆは和を和に移すので（なぜならばｆは準同型写像なので）
ｆ（a）＋ｆ（０）＝ｆ（０）＋ｆ（a）＝ｆ（a）・・・・（２）
となります。aはRの任意の元だったのでｆ（a）もSの任意の元としてもいいでしょ う。（多少乱暴な言い方ですが）
してみると上の（２）の式をよく見てみるとｆ（０）はS内で０の役割をしていますよね。 任意のｆ（a）∈Sを和で変化させていないのですから。 つまりｆ（０）＝０です。これで証明のなかの（１）がいえました。
それから、Ker（ｆ）はカーネルエフと読んで、Im（ｆ）はイメージエフと読みます。 これが一般的な呼び名とされているようです。しかし英語で書かれた本を読むと いろいろと書いている人によって呼び名が（ほとんど統一されているとはいえ）微妙 に異なっている事があります。注意してください。
またIm（ｆ）はSの部分環となっています。確かめてみてください。
ただしKer（ｆ）はRの部分環にはなっていません。これもその理由を考えてみてください。 最後に問題を出しておきましょう。なかなかの良問です。

（問題）
R〜Sは環RとSが環同型で結ばれているという事でしたが、この〜はある集合上の同値 関係になっています。それがどんな集合かを決定し、〜が同値関係になっている事を 確かめてください。
解けても、解けなくても構いません。自分の頭を頼りにあれこれ創造してみてくださ い。
次回は環構造を解析するうえで欠かす事のできない「イデアル」について考えてみま しょう。

NO.717で宿題になっていました、 「∀a∈Rに対して、a０＝０a＝０」の証明をしてみようと思います。

a０	＝a(０＋０)	・・・０は加法の単位元であることから
	＝a０＋a０	・・・分配法則より

これより、「a０＝０」であることがわかります。
「０a＝０」も同様です。

まずは前回(NO.717)の補足をします。以下環と書いたら可換環とします。
集合Rを環としましょう。このとき次が成り立ちます。

1. ０a＝a０＝０　（∀a∈R、０はもちろんRの０）
2. （−a）ｂ＝a（−ｂ）＝−aｂ
3. −a＝（−１）a
4. （−a）（−ｂ）＝aｂ
5. a（ｂ−ｃ）＝aｂ−aｃ

ｆ：R → Sを環写像とする。このとき

1. ｆ（−a）＝−ｆ（a）
2. ｆ（a−ｂ）＝ｆ（a）−ｆ（ｂ）

また、環の例を少し紹介したいと思います。
R＝Z×Qを整数と有理数の直積とします。
このRに次で演算を入れて見ましょう。
まず和を次で定めます。
（a、ｘ）＋（ｂ、ｙ）＝（a＋ｂ、ｘ＋ｙ）
但しa、ｂは整数でｘ、ｙは有理数です。また右辺の括弧の中の＋は数の＋です。
そして積を次で定めましょう。
（a、ｘ）（ｂ、ｙ）＝（aｂ、aｙ＋ｂｘ）
やはり右辺の積は数の積、和は数の和です。
まずこれが演算になっている事はいいでしょう。
a＋ｂは整数同士の足し算ですから やはり整数でｘ＋ｙも有理数同士の掛け算なのでやはり有理数です。
ですから（a、ｘ）＋（ｂ、ｙ）∈Rです。
積のほうも明らかにR上の演算になっています。 またこれが環の定義を満たす事は腕力（計算力）です。 全てきちんとやっておきましょう。
（a、ｘ）＋（（ｂ、ｙ）＋（ｃ、ｚ））＝（（a、ｘ）＋（ｂ、ｙ））＋（ｃ、ｚ）
はZもQも和でアーベル群だから自明。
（０、０）∈Rで∀（a、ｘ）∈Rに対して
（a、ｘ）＋（０、０）＝（０、０）＋（a、ｘ）＝（a、ｘ）はやはり自明。
よって（０、０）がRの０となっている。
（a、ｘ）＋（ｂ、ｙ）＝（ｂ、ｙ）＋（a、ｘ）もZとQが和でアーベル群であること からOK。
また∀（a、ｘ）∈Rに対して（−a、−ｘ）∈Rで両者足すと（０、０）となる。
以上よりRは上で定めた和によってアーベル群。

	（（a、ｘ）（ｂ、ｙ））（ｃ、ｚ）
＝	（aｂ、aｙ＋ｂｘ）（ｃ、ｚ）
＝	（（aｂ）ｃ、（aｂ）ｚ＋ｃ（aｙ＋ｂｘ））
＝	（aｂｃ、aｂｚ＋ｃaｙ＋ｃｂｘ）（a、ｘ）（（ｂ、ｙ）（ｃ、ｚ））
＝	（a、ｘ）（ｂｃ、ｂｚ＋ｃｙ）
＝	（a（ｂｃ）、a（ｂｚ＋ｃｙ）＋（ｂｃ）ｘ）
＝	（aｂｃ、aｂｚ＋aｃｙ＋ｃｂｘ）

よって、結合律はOK
また

	（a、ｘ）（（ｂ、ｙ）＋（ｃ、ｚ））
	（a、ｘ）（ｂ＋ｃ、ｙ＋ｚ）
	（a（ｂ＋ｃ）、a（ｙ＋ｚ）＋（ｂ＋ｃ）ｘ）
	（aｂ＋aｃ、aｙ＋aｚ＋ｂｘ＋ｃｘ）（a、ｘ）（ｂ、ｙ）＋（a、ｘ）（ｃ、ｚ）
	（aｂ、aｙ＋ｂｘ）＋（aｃ、aｚ＋ｃｘ）
	（aｂ＋aｃ、aｙ＋aｚ＋ｂｘ＋ｃｘ）

よって分配律が成り立っている。
また（a、ｘ）（ｂ、ｙ）＝（aｂ、aｙ＋ｂｘ）で
（ｂ、ｙ）（a、ｘ）＝（ｂa、ｂｘ＋aｙ）＝（aｂ、aｙ＋ｂｘ）より積について可 換であるから、
（（a、ｘ）＋（ｂ、ｙ））（ｃ、ｚ）＝（a、ｘ）（ｃ、ｚ）＋（ｂ、ｙ）（ｃ、ｚ）は確かめることなく成り立つ。
さらに、（１，０）∈Rで∀（a、ｘ）∈Rについて、
（１，０）（a、ｘ）＝（１a、１ｘ＋a０）＝（a、ｘ）
よって（１、０）がRの１となっている。 ですから、Rは環です。

この例のように環とは創ろうと思えば結構創る事ができる対象で、自分の手に触れる 事ができる貴重な数学的対象といえるでしょう。 上の例は基本的には数の和と積を用いています。 ですから、本質的には数の世界にある環といえます。 （もしかしたら上の例で計算ミスをしているかもしれません。 自分で確かめる際は注意してください）
ここで皆さんも自分で環を創ってみてください。 いろいろできるかと思います。 我々がよく知る環（整数や有理数、実数、行列など）の部分環を創ってみてもいいと思います。 部分環ならば環となりますし、（ただし母体としている環の和と積で）部分環 の定義は環の純粋な定義よりも簡単ですからね。 （従って、部分環を考える事は環論では非常に重要になってきます）

さて、ここでイデアルについて考えてみましょう。まずはイデアルの定義です。

（定義）
Ω（オメガと読みます）が環ＲのイデアルであるとはΩは空でないＲの部分集合で次 の２つを満たす事を言う。

1. ∀ａ、ｂ∈Ωに対して、ａ＋ｂ∈Ωである。
2. ∀α∈Ｒ、∀ａ∈Ωに対してαａ∈Ωである。

余談ですが、イデアルというのは横文字で書けばｉｄｅａｌですが、これは英語の発 音によるとアイデアルとか言います。しかし数学ではドイツ語風にイデアルと読みま す。これを創った人がドイツ人だったのでしょうか？僕はどうもそんな気がします。
１９９４年に解決されたフェルマー予想の歴史でこのイデアルという概念が生まれた のだそうです。フェルマー予想についてはいろいろな本が出版されていますので興味 のある方は読んでみるといいかと思います。 （このフェルマー予想の正しい証明は現在たった１つしか知られていません）

NO.717 リングセオリー（１）では環写像ｆを用いて環Ｒの中にＫｅｒ（ｆ）を定義しました が、実はこれはＲのイデアルになっています。確かめてみてください。
それから次の補題を証明しておきましょう。

（補題）
１∈Ω⇔Ω＝Ｒ 但し、Ｒは環でΩはＲのイデアルとする。

（証明）
１∈Ωを仮定する。Ωはイデアルなので∀α∈Ｒを取ってくると１α＝α∈Ωである から、Ｒ⊆Ωである。またイデアルの定義からΩ⊆ＲだったのでＲ＝Ω 逆は１∈Ｒ＝Ωから自明。
イデアルの定義だけからは１∈Ωはわからないわけですが、もしイデアルが１を含め ば母体のＲと一致してしまうというのです。これを用いると環Ｒの部分集合であるＫ ｅｒ（ｆ）の大きさが大体わかります。
もし１∈Ｋｅｒ（ｆ）ならば、定義よりｆ（１）＝０ですが、ｆは環写像なのでｆ （１）＝１です。
よって１＝０となり、環の定義（１≠０）に矛盾します。
だから、１はＫｅｒ（ｆ）に入っておらず、補題からＫｅｒ（ｆ）≠Ｒとなり、Ｋｅ ｒ（ｆ）はＲの真の部分集合という事がわかります。つまりＫｅｒ（ｆ）⊂Ｒです。

次回はこのイデアルをじっくりと味わって、さらに環論を展開していきましょう。

NO.717 リングセオリー（１） の中の例１について考えてみます。

（例１）
ｆ：C → C
を複素数から複素数への写像とする。
ただし対応はｆ（a＋bi）＝a−biとする。
また、これは環同型か？

f(α)f(β)	=f(a＋bi)f(c＋di)
	=(a-bi)(c-di)
	=(ac-bd)-(ad+bc)i

f(αβ)	=f{(a＋bi)(c＋di)}
	=f{(ac-bd)+(ad+bc)i}
	=(ac-bd)-(ad+bc)i

これより、f(αβ)=f(α)f(β)であることがわかります。

全単射であることは、 ｆ（a＋bi）＝a−bi より、複素平面で上下をひっくり返すということで 、厳密にやらずに許してもらいましょう。

従って、これは環同型であるといえます。

NO.717 リングセオリー（１） の中の

ｆ(R)（Im(ｆ)ともかきます。）はSの部分環となっていますが、Ker（ｆ）はRの部分環にはなっていません。

ｆ(R)についてです。 NO.717 リングセオリー（１）の中にある部分環の定義に従って示していきます。

1. Ｒ≠φ ならば、当然ｆ(R)≠φ です。
   
2. ∀a、ｂ∈ｆ(R)とすると、
   ｆ(α)＝ａ、ｆ(β)＝ｂなるα、β∈Rが存在する。
   
   ｆは準同型写像であるから、
   ｆ(α＋β)＝ｆ(α)＋ｆ(β)＝ａ＋ｂ
   ａ＋ｂの逆像 α＋β∈R　が存在するから、ａ＋ｂ∈ｆ(R)
   
   また、ｆ(αβ)＝ｆ(α)ｆ(β)＝ａｂ
   ａｂの逆像 αβ∈R　が存在するから、ａｂ∈ｆ(R)
   
   更に、ｆ(−α)＝−ｆ(α)＝−ａ・・・(注)
   −ａの逆像 −α∈R　が存在するから、−ａ∈ｆ(R)
   
   
3. ｆは準同型写像であるから、ｆ(１)＝１
   １∈ｆ(R)
   

Ker（ｆ）はRの部分環にはなっていません。
なぜなら、ｆは準同型写像であるから、ｆ(１)＝１≠０です。
従って、１はKer（ｆ）の元ではありません。
単位元を持ちませんから、部分環とはいえません。

(注)については、次のNO.725にて。

NO.722 リングセオリー（３）の中の

ｆ：R → Sを環写像とする。このとき

1. ｆ（−a）＝−ｆ（a）
2. ｆ（a−ｂ）＝ｆ（a）−ｆ（ｂ）

が正しい。

1. ｆは準同型写像であるから、
   ｆ(ａ)＋ｆ(−ａ)＝ｆ(ａ＋(−ａ))＝ｆ(０)＝０
   従って、ｆ(−ａ)＝−ｆ(ａ)
   
2. 同様に、
   ｆ(ａ−ｂ)＋ｆ(ｂ)＝ｆ((ａ−ｂ)＋ｂ)＝ｆ(ａ)
   ｆ(ａ−ｂ)＝ｆ(ａ)−ｆ(ｂ)
   

NO.722 リングセオリー（３）の中の

環写像ｆを用いて環Ｒの中にＫｅｒ（ｆ）を定義しました が、実はこれはＲのイデアルになっています。

1. ∀ａ、ｂ∈Ｋｅｒ（ｆ）とすると、 ｆ(ａ)＝０、ｆ(ｂ)＝０であり、ｆは準同型写像だから、
   ｆ(ａ＋ｂ)＝ｆ(ａ)＋ｆ(ｂ)＝０＋０＝０
   従って、ａ＋ｂ∈Ｋｅｒ（ｆ）である。
2. 同様に
   ｆ(ａｂ)＝ｆ(ａ)ｆ(ｂ)＝０・０＝０
   従って、ａｂ∈Ｋｅｒ（ｆ）である。

NO.726 リングセオリー（７）でJunko先生は環写像のカーネルが環Rのイデアルであること を調べてくれました。それについての僕の考えです。
解く方法は全く申し分ありませんが、イデアルの定義に従って、一応カーネルエフが 空集合でない事を確認しておきましょう。
まず、ｆ：R → Sを環写像としましょう。
Ker(f)＝｛a∈R｜f（a）＝０｝でした。
環写像の性質からｆ（０）＝０です。 ですから、０∈Ker(f)となって、Ker(f)は空ではないことがわかります。
また、イデアルの定義の２番目をよく見てください。
スカラーは広いRから取らねばなりません。 Junko先生は惜しい事にKer(f)の中だけで考えてしまいました。
∀α∈R、∀a∈Ker(f)を取ってきます。そしてαaをｆで移してみます。
ｆ（αa）＝ｆ（α）ｆ（a） となり、a∈Ker(f)ですからｆ（a）＝０従って上の式は
ｆ（αa）＝f（α）ｆ（a）＝ｆ（α）０＝０　　（０には何を掛けても０なので）
よってｆ（αa）＝０となり、αa∈Ker(f)です。
和のほうはJunko先生のやり方で申し分ありません。ですからKer(f)はRのイデアルで ある事がわかります。

今回の目標はイデアルを味わった後に群論からの追加項目を踏まえてファクターリン グの概念を得る事にあります。
まずイデアルの復習ですが、イデアルとは可換環Rの空でない部分集合で和について 閉じていてかつ、環Rから取った勝手な元についての積について閉じているという事 でした。
イデアルの定義は非常に簡単ですが、この定義の成す単純さと、それから出 てくるイデアルの多様性は不思議な対象性を成しています。 イデアルの定義から次の事がすぐにわかります。

（イデアルの基本性質）
Ωを可換環Rのイデアルであるとすれば、次が正しい。

1. ０∈Ω
2. ∀a∈Ω⇒−a∈Ω
3. ∀a、ｂ∈Ω⇒a−ｂ∈Ω
4. ∀α、β・・・・γ∈R、∀a、ｂ・・・・ｃ∈Ω⇒αa＋βｂ＋・・・・・＋γｃ∈Ω

ここでイデアルの例を考えてみましょう。
整数全体をＺで表します。 Ｚは数の足し算と掛け算で環でした。 ここで環であることを強調するためにＺのことを「整数環」と呼ぶ事にしましょう。 我々が知っている環はそう多くありません。 ですからこの整数環は今のところ我々にとって命綱のようなものですから 大切にしなくてはなりません。 今後抽象的な環がいくつか登場してきますが、我々は抽象化されすぎてよくわか らなくなったときには常にこの整数環に立ち戻って考える事にしましょう。
さて、（ｎ）＝｛ｎχ｜ｎ∈Ｚ、χ∈Ｚ　ｎ≧２｝と定義します。
もちろんｎχは数の掛け算ですが、この（ｎ）は良くわかるようにｎ の倍数の集合ですね。
また、ｎは２以上の整数ですから１は（ｎ）には入っていません。
従って、NO.722 リングセオリー（３）の補題によると、これは全体（すなわちＺ）と一 致しないという事もわかります。 かつ、この（ｎ）はＺのイデアルになっています。
なぜならば、もちろん（ｎ）≠φであって、∀ａ、ｂ∈（ｎ）を取ると（ｎ）の定義 からａ＝ｎχ、ｂ＝ｎｙという顔をしていて
ａ＋ｂ＝ｎχ＋ｎｙ＝ｎ（χ＋ｙ）
となり、χもｙも整数ですから括弧の中も整数です。 ですからａ＋ｂもｎの倍数となり、（ｎ）の元です。
一方、∀α∈Ｚに対して、αａ＝α（ｎχ）＝（ｎχ）α＝ｎ（χα）∈（ｎ）　　 （χα∈Ｚなので）
よって（ｎ）はＺのイデアルです。 ですから上に書いたイデアルの基本性質は全て満たします。

ここでイデアルの基本性質の（３）を見てください。 何か思い出す事はないでしょうか？
環Ｒと言うのは和でアーベル群でした。代数方程式シリーズでも説明しましたが 群には部分群という大事な概念がありました。
ΩをＲのイデアルとするとΩは空でなくて、かつ∀ａ、ｂ∈Ωに対して、 基本性質の（３）から、ａ−ｂ∈Ωです。
これはイデアルΩが環Ｒの部分群である事を言っています。 ただし演算は和です。
（NO.706 代数方程式の代数的解法（４）では演算は積で表していましたが、 それを和に変えただけです）
部分群を用いる事で母体の群に２つの同値関係を定める事ができました。再掲してお きますと、
Ｒ１＝｛（ａ、ｂ）｜−ａ＋ｂ∈Ω｝
Ｒ２＝｛（ａ、ｂ）｜ａ−ｂ∈Ω｝
です。但し今は可換環Ｒを群と見なしています。注意してください。（定義から環は 和でアーベル「群」なのですから、そう見なしても何ら矛盾は生じません）
このＲ１とＲ２をよくよく眺めてみるとＲ１＝Ｒ２となっている事に気が付くと思い ます。

さあ、代数方程式シリーズでは不本意ながら書くことができなかった正規部分群につ いて書くときが来ました。

（定義）
群Ｇに対してその部分群Ｈが正規部分群（normal sub group）であるとは
∀ａ∈Ｇに対してａＨ＝Ｈａが成り立つ事を言う。

復習ですがａＨ＝｛ａｈ｜ｈ∈Ｈ｝でした。 Ｈａについても同様です。
上の定義はａＨとＨａが集合として等しいとき、ＨをＧの正規部分群であると呼ぼうというこです。
もう少し丁寧に観てみますと、任意のＧの元と可換な部分群を正規部分群と言うのです。
この事からすべてアーベル群の部分群は正規部分群となっている事がわかります。
するとどうでしょう？可換環Ｒは和でアーベル群でした。ですからその部分群である イデアルは和で正規部分群を成している事がわかります。
またイデアルに関してはＲ１＝Ｒ２でした。 （イデアルと環の定義からすぐ出てきますので確かめてください。 でも頭の中でできてしまうかもしれません）実はこの事実は一般化できます。

（命題）
Ｈを群Ｇの正規部分群とするならばＲ１＝Ｒ２が成り立つ事が必要にして十分であ る。

（証明）
群論のレベルに戻って証明します。従って演算は積とします。
まずＨを群Ｇの正規部分群とします。
ａＲ１ｂとするとａ^‐ｂ∈Ｈ。
よってＨの元ｈを用いてａ^‐ｂ＝ｈと書け、従ってｂ＝ａｈ∈ａＨ＝Ｈａ（仮定から）ですので ｂ＝ｋａ（ｋ∈Ｈ）と書けます。
ですからｂａ^‐＝ｋ∈ＨとなってｂＲ２ａ。
Ｒ２は同値関係ですのでａＲ２ｂとなって、Ｒ１⊆Ｒ２
全く同様にしてＲ２⊆Ｒ１も示せますから、暇なときにでも確かめておいてくださ い。よってＲ１＝Ｒ２です。

今度は逆を示します。 つまり、Ｒ１＝Ｒ２を仮定してＨが正規部分群である事を示します。
示すべきはaH⊆Haかつ、Ha⊆aHです。
（確認しておきますが、２つの集合が等しいと言う事はこういうことでした。）
∀χ∈aHを取るとχ＝aｈ（ｈ∈H）と書けます。 これはaR1χを意味しますから仮定によってaR2χとなり、従ってaχ^‐∈Hです。
HはGの演算で群ですから（aχ^‐）^‐＝（χ^‐）^‐a^‐＝χa^‐∈Hです。
（群だから、当然逆元も入っている）
これはχ∈Haを意味します。ですからaH⊆Ha。
さて、次は∀ｙ∈Haを取ってくるとｙ＝ｋa（ｋ∈H）と書けて、よってｙR２aより仮 定からｙR1aで従ってｙ^‐a∈H。
Hは群なので（ｙ^‐a）^‐∈H⇔a^‐ｙ∈Hで これはｙ∈aHを表しています。ですからHa⊆aH
∴aH＝Ha　　　（証明終わり）

この事から可換環R上にそのイデアルΩが定める同値関係R1とR2は等しいということ がわかりました。つまり、RのR1による商集合とR2による商集合は一致します。商集 合と言うのは同値関係によって１つの集合がバラバラに分割されるわけですが、その 破片（ピース）の集合でした。 （詳しくはNO.709 代数方程式の代数的解法（７）を見てくだ さい）
ここでR／R1＝R／R2ですがこれをR／Ωと書くことにします。これを可換環Rのイデア ルΩによるファクターリング（factor ring）といい、日本語では商環と言います。
ではR／Ωの演算はどのように定めたらいいでしょうか？
また、それ以前にR／Ωの元はどのような形をしているのでしょうか？
今まで準備した事を使えば簡単にわかりま すが、それにしてもR／Ωの内部構造については次回に詳しく考えて見ましょう。