コロキウム室(愛のある問題)

NO.80　　　　 4/6 　　水の流れ　 愛(?)のある問題

iは虚数単位とします。
iをi乗したら、いくつになりますか。 れっきとした実数となるよ。

NO.86　　　　 4/13 　　水の流れ　 愛(?)のある問題（２）

ｉ^ｉの値はヒントとして、 複素数に関してのオイラーの定理から入ります。

オイラーの定理

ｅ^ｉθ＝cosθ＋ｉsinθ

NO.87　　　　 4/14 　みかん　 愛(?)のある問題（３）

前段　 オイラーの公式より
　　　　　 　　e^iθ=cosθ+ isinθ

　｜e^iθ｜=root(e^iθ×e^−iθ)＝１

（絶対値・・共役複素数の積）となるので、
e^iθは複素平面上で単位円周上に あることが分かる。

そこで、任意の整数ｋに対して、
　e^i2kπ=cos(2kπ)+isin(2kπ)＝1がなりたつことがわかる。
つぎに、n を自然数とし
　　ｘ_ｋ=e^i2kπ/n おくと、
指数法則より
　　(ｘ_ｋ)ⁿ=(e^i2kπ/n)ⁿ=e^i2kπ=1
となり、(ｘ_ｋ)ⁿ−1=0　となる。
すなわち、１のn乗根は
ｘ_ｋ=e^i2kπ/n= cos(2kπ/n)+isin(2kπ/n)と解ける。
（ｋ＝０，１，２・・・，ｎ−１）

解答 ｘ^４−１＝０　の解を求める。

ｘ０＝e(i2×0×π/4)＝cos(0)+isin(0)=1………………………1
ｘ１＝e(i2×1×π/4)＝cos(2π/4)+isin(2π/4)=i……………2
ｘ２＝e(i2×2×π/4)＝cos(4π/4)+isin(4π/4)=-1 …………3
ｘ３＝e(i2×3×π/4)＝cos(6π/4)+isin(6π/4)=−i…………4

NO.91　　　　 4/16 影法師　 愛(?)のある問題（４）

オイラーの公式
　　　　　 e^iθ＝cosθ+ isinθ　において、

θ＝πとおくと、
e^iπ＝cosπ+ isinπ＝−１

この式の両辺を１／２乗、つまりル−トをとります。
(e^iπ)^１／２＝(−１)^１／２＝√(−１)＝ｉ

従って、e^{１／２×πｉ}＝ｉ

さらに、この式の両辺をｉ乗します。
(e^{１／２×πｉ})^ｉ＝ｉ^ｉ

ｉ^ｉ＝e^{１／２×πｉ×ｉ}＝e^{−１／２×π}　

NO.93　　　　 4/18 　　水の流れ　 愛(?)のある問題（５）

ｉⁱ＝ｅ^−π/２ ＝０．２０７８７９５８・・・ 　となります。

私にとって、ｉⁱ＝ｅ^−π/２は 今の数の美しさを象徴しているように思います。
　 π（円周率）、ｅ（超越数）、ｉ （虚数単位）の ３つの偉大な数が出現します。
数のロマンみたいなものを感じます。 オイラーの偉大な定理の美しさ鑑ます。
実は　ｅ^πｉ＝−１ も同じですが。

NO.311 　　　 '99 1/25 　 　豊作 　　　愛(?)のある問題（６）

戻る