Weekend Mathematics／問題／問題100



１００．三角形の面積

正三角形を１０個下図のように並べて平行四辺形ＡＢＣＤを作る。 この平行四辺形を構成している正三角形は、対角形ＢＤによっていくつかの三角形に分かれる。 このとき、次の問いに答えなさい。


（１）図のＥ、Ｆに対し、線分の比ＡＦ：ＦＥを求めよ。

（２）図の灰色部分の面積の和は、平行四辺形の面積の何分のいくつですか。




問題の出典


大人のための算数練習帳
佐藤恒雄
講談社ブルーバックス




答えと解説





答えと解説

解答・その1

（ペンネ−ム：浜田　明巳）

図形問題なので，ＶＢで解きました．工夫して作ったプログラムではないので，恥ずかしいのですが，求積問題では仕方ありません．ヘロンの公式を使用したものと，積分計算の両方の解法で解いてみました．

ＡＦ／ＦＥ＝５，面積比は１１／３０です． 

Option Explicit
Sub Form_Load()
    Picture1.Scale (-0.5, 3.75)-(6, -2.75)
    Picture1.BackColor = vbWhite
    Picture2.BackColor = vbWhite
    Picture2.Picture = LoadPicture("gazou100a.gif")
    Picture3.BackColor = vbWhite
    Picture4.BackColor = vbWhite
End Sub
Sub Command1_Click()
    Dim x(20) As Double
    Dim y(20) As Double
    Dim a As Double
    Dim b As Double
    Dim c As Double
    Dim d As Double
    Dim kotae1 As Double
    Dim kotae2 As Double
    Dim zentai As Double
    Dim j As Integer
    Dim jj As Integer
    Dim jjj As Integer
    '
    For j = 0 To 10 Step 2
      x(j) = j * 0.5
      y(j) = 0
    Next j
    x(1) = 0.5
    y(1) = Sqr(3) * 0.5
    For j = 3 To 11 Step 2
      x(j) = x(j - 2) + 1
      y(j) = y(1)
    Next j
    'BD:y=(Dy-By)/(Dx-Bx)*(x-Bx)+By=(y(11)-y(0))/(x(11)-x(0))*(x-x(0))+y(0)=a*x+b
    a = (y(11) - y(0)) / (x(11) - x(0))
    b = a * (-x(0)) + y(0)
    For j = 1 To 9
      'y=(y(j+1)-y(j))/(x(j+1)-x(j))*(x-x(j))+y(j)=c*x+d
      c = (y(j + 1) - y(j)) / (x(j + 1) - x(j))
      d = c * (-x(j)) + y(j)
      'y=a*x+b=c*x+d
      x(j + 11) = (d - b) / (a - c)
      y(j + 11) = a * x(j + 11) + b
    Next j
    Picture1.Cls
    Picture1.Line (x(1), y(1))-(x(0), y(0)), vbBlack
    Picture1.Line -(x(10), y(10)), vbBlack
    Picture1.Line -(x(11), y(11)), vbBlack
    For j = 1 To 10
      Picture1.Line -(x(j), y(j)), vbBlack
    Next j
    Picture1.Line (x(0), y(0))-(x(11), y(11)), vbBlack
    Picture1.CurrentX = x(1)
    Picture1.CurrentY = y(1)
    Picture1.Print "A"
    Picture1.CurrentX = x(0)
    Picture1.CurrentY = y(0)
    Picture1.Print "B"
    Picture1.CurrentX = x(10)
    Picture1.CurrentY = y(10)
    Picture1.Print "C"
    Picture1.CurrentX = x(11)
    Picture1.CurrentY = y(11)
    Picture1.Print "D"
    Picture1.CurrentX = x(2)
    Picture1.CurrentY = y(2)
    Picture1.Print "E"
    Picture1.CurrentX = x(12)
    Picture1.CurrentY = y(12)
    Picture1.Print "F"
    '
    kotae1 = nagasa(1, 12, x(), y()) / nagasa(2, 12, x(), y())
    zentai = Sqr(3) * 0.25 * 1 * 1 * 10
    kotae2 = 0
    For j = 1 To 10
      jj = -(j > 1) * (j + 10)
      jjj = (j Mod 10) + 11
      kotae2 = kotae2 + menseki(j, jj, jjj, x(), y())
    Next j
    kotae2 = kotae2 / zentai
    Picture3.Cls
    Picture3.Print "AF/FE="; kotae1; ", 面積比="; kotae2;
    Picture3.Print "="; bunsuu(kotae2); " (ヘロンの公式使用)"
    '
    Dim xx As Double
    Dim y1 As Double
    Dim y2 As Double
    Dim kizami As Double
    kizami = 0.000002 '********
    kotae2 = 0
    Picture4.Cls
    For j = 1 To 9 Step 2
      For xx = x(-(j > 1) * (j + 10)) + kizami * 0.5 To x(j) Step kizami
        y1 = a * xx + b
        y2 = (y(j) - y(j - 1)) / (x(j) - x(j - 1)) * (xx - x(j - 1)) + y(j - 1)
        kotae2 = kotae2 + (y2 - y1) * kizami
        Picture1.Line (xx, y1)-(xx, y2), vbGreen
      Next xx
      For xx = x(j) + kizami * 0.5 To x(j + 11) Step kizami
        y1 = a * xx + b
        y2 = (y(j + 1) - y(j)) / (x(j + 1) - x(j)) * (xx - x(j)) + y(j)
        kotae2 = kotae2 + (y2 - y1) * kizami
        Picture1.Line (xx, y1)-(xx, y2), vbGreen
      Next xx
      For xx = x(j + 11) + kizami * 0.5 To x(j + 1) Step kizami
        y1 = (y(j + 1) - y(j)) / (x(j + 1) - x(j)) * (xx - x(j)) + y(j)
        y2 = a * xx + b
        kotae2 = kotae2 + (y2 - y1) * kizami
        Picture1.Line (xx, y1)-(xx, y2), vbGreen
      Next xx
      For xx = x(j + 1) + kizami * 0.5 To x(-(j < 9) * (j + 12) - (j = 9) * 11) Step kizami
        y1 = (y(j + 2) - y(j + 1)) / (x(j + 2) - x(j + 1)) * (xx - x(j + 1)) + y(j + 1)
        y2 = a * xx + b
        kotae2 = kotae2 + (y2 - y1) * kizami
        Picture1.Line (xx, y1)-(xx, y2), vbGreen
      Next xx
      Picture4.Cls
      Picture4.Print "面積比="; kotae2 / zentai; "(積分使用)"
    Next j
    Picture1.Line (x(1), y(1))-(x(0), y(0)), vbBlack
    Picture1.Line -(x(10), y(10)), vbBlack
    Picture1.Line -(x(11), y(11)), vbBlack
    For j = 1 To 10
      Picture1.Line -(x(j), y(j)), vbBlack
    Next j
    Picture1.Line (x(0), y(0))-(x(11), y(11)), vbBlack
    Picture1.CurrentX = x(1)
    Picture1.CurrentY = y(1)
    Picture1.Print "A"
    Picture1.CurrentX = x(0)
    Picture1.CurrentY = y(0)
    Picture1.Print "B"
    Picture1.CurrentX = x(10)
    Picture1.CurrentY = y(10)
    Picture1.Print "C"
    Picture1.CurrentX = x(11)
    Picture1.CurrentY = y(11)
    Picture1.Print "D"
    Picture1.CurrentX = x(2)
    Picture1.CurrentY = y(2)
    Picture1.Print "E"
    Picture1.CurrentX = x(12)
    Picture1.CurrentY = y(12)
    Picture1.Print "F"
End Sub
Sub Command2_Click()
    Unload Me
End Sub
Private Function nagasa(ByVal a As Integer, ByVal b As Integer, ByRef x() As Double, ByRef y() As Double) As Double
    nagasa = Sqr((x(b) - x(a)) * (x(b) - x(a)) + (y(b) - y(a)) * (y(b) - y(a)))
End Function
Private Function menseki(ByVal a As Integer, ByVal b As Integer, ByVal c As Integer, ByRef x() As Double, ByRef y() As Double) As Double
    Dim xx(2) As Double
    Dim yy(2) As Double
    Dim hen(2) As Double
    Dim s As Double
    Dim j As Integer
    Dim jj As Integer
    xx(0) = x(a)
    yy(0) = y(a)
    xx(1) = x(b)
    yy(1) = y(b)
    xx(2) = x(c)
    yy(2) = y(c)
    s = 0
    For j = 0 To 2
      jj = (j + 1) Mod 3
      hen(j) = nagasa(j, jj, xx(), yy())
      s = s + hen(j)
    Next j
    s = s * 0.5
    menseki = s
    For j = 0 To 2
      menseki = menseki * (s - hen(j))
    Next j
    menseki = Sqr(menseki)
End Function
Private Function GCM(ByVal a As Integer, ByVal b As Integer) As Integer
    If b = 0 Then
      GCM = a
    Else
      GCM = GCM(b, a Mod b)
    End If
End Function
Private Function bunsuu(ByVal x As Double) As String
    Dim n As Integer
    Dim sa As Double
    Dim min As Double
    Dim bumbo As Integer
    Dim bunshi As Integer
    min = 10000 '********
    If Int(x) = x Then
      bunsuu = Str(x)
    Else
      n = Int(x)
      x = x - n
      For bumbo = 2 To 1000 '********
        For bunshi = 1 To bumbo - 1
          If GCM(bumbo, bunshi) = 1 Then
            sa = Abs(x - bunshi / bumbo)
            If min > sa Then
              min = sa
              bunsuu = Str(n * bumbo + bunshi) + "/" + Str(bumbo)
            End If
          End If
        Next bunshi
      Next bumbo
    End If
End Function

１００三角形の問題




解答・その2

（ペンネ−ム：ちかひで）

１００三角形の問題

（１）Ｂを原点としＢＣをｘ軸とする直行座標において，ＡＥ を通る直線 ｙ1，ＢＦＤを通る直線 ｙ2の式を求め，連立方程 式として解いてＦの座標を求める。ＡとＥのｘ座標は自明であ るから，Ｆのｘ座標との差を求めれば答を得る。一辺の長さ１の正三角形を考えると，

　　　ｙ1＝−２√３ｘ＋２√３
　　　ｙ2＝√３ｘ／（５＋０．５）

これを解くとｘ＝11/12を得る。従って

　　　ＡＦ／ＦＥ＝（11-6）／（12-11）＝５／１
　　　∴ＡＦ：ＦＥ＝５：１

〔別解〕ＡＥの長さを６とおくと，ＦＥに対応する各斜辺の長 さはＢ→Ｅ→・・・→Ｃにおいて

　　　０：1/6：2/6：3/6：4/6：5/6（：6/6）

と直線的に変化する。

　　　∴ＡＦ：ＦＥ＝５：１

（２）解答　：　(灰色)／(全面積）＝１１／３０
　正三角形の各斜辺１１個と直線ＡＤを表す式計１２個を(１) 同様直交座標上で求め，三角形の各斜辺と直線ＡＤとの交点（ex.F ）の座標を連立方程式により求める。これらの座標を使って直 線ＡＤより下の白色部分の面積を求め，その合計の２倍を全面 積と比較した。
計算の詳細は(１)と同様ですが煩雑になるので省略します。
　なお，直感的方法がないかと随分探しましたが見つかりませんでした。




解答・その3

（ペンネ−ム：ＪＳミル）

問い1

図のように点Ｂを点OとしてXY座標を考え，正三角形の一辺の長さを2とすると，

１００三角形の問題

座標は点A（1，√3），C（3，√3），I（5，√3），M（7，√3）S（9，√3） V(11，√3)，E(2，0)・・・・・U（10，0）となる．
線分BVはy=√3／11・x
線分AEはｙ=-√3・x+2√3　　したがって線分BVと線分AEの交点の座標Fは（11／4，√3／4）
この時，AＦとFEの長さはそれぞれ5／3，1／3となり，その比は5：1

問い2

それぞれの三角形はすべて相似であることより，線分ABの長さを1とすると

　　　AF＝5／6，FE＝1／6，DE＝1／5，DC＝4／5，CG＝4／6，GH＝2／6，HJ＝2／5，JI＝3／5，IK＝1／2

　従って，三角形ABEの面積をＳとすると，

　青の部分の面積
＝｛Ｓ＋（4／5）2×Ｓ＋（3／5）2×Ｓ＋（2／5）2×Ｓ＋（1／5）2×Ｓ｝×2
＝22Ｓ／5
一方，平行四辺形の面積は10×Ｓ×6／5＝60Ｓ／5
従ってその比は　22／60＝11／30

　　　　　　　　　　　　　　　答え　11／30





解答・その4

（ペンネ−ム：巷の夢）

１００三角形の問題

　図の左から3個目の三角形と対角線BDの交点をGとすると、△BCDと△BEGは相似比５：１の相似三角形であるからABとEGの比は５：１である。因ってAFとFEの比は５：１となる。
　又、灰色の三角形は全て相似で同じ面積のものが二つづつ存在する。一番小さな三角形と順次大きくなる三角形の相似比は１：２：３：４：５である。因って面積比は１：４：９：１６：２５となる。今比１の面積をｓとすると灰色部の面積の総和は１１０ｓとなる。ところで正三角形一個の面積をSとすると△ABFの面積は5/６倍であるから先程の比を合計したものの２倍である１１０は１１Ｓ/３となる。ここで平行四辺形の面積は正三角形１０個分なので１０Sである。因って灰色部の面積は（１１Ｓ/３）/１０S＝１１/３０となる。
　以上より求めるものは

　（１）５：１
　（２）１１/３０　




解答・その5

（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん）

１００三角形の問題

（１）ＡＦ：ＦＥ＝５：１です。
（２）１１／３０です。

（１）を考えるとき、左側にもう１つ三角形を追加するとわかりやすくなります。
６つの△ＤＯＢ、△ＤＡＦ、△ＤＭＮ、△ＤＫＬ、△ＤＩＪ、△ＤＧＨは相似です。
相似比は、６：５：４：３：２：１です。
だから、もとの正三角形の１辺を６とすれば、ＡＦ＝５、ＦＥ＝１となります。

（２）（１）よりＡＦ＝５、ＭＮ＝４，ＫＬ＝３、ＩＪ＝２、ＧＨ＝１です。
△ＡＢＦ、△ＭＳＮ、△ＫＲＬ、△ＩＱＪ、△ＧＰＨは相似です。
もとの正三角形の面積を３０としてみると、△ＡＢＦ＝３０×５／６＝２５＝５2、
△ＭＳＮ＝４2＝１６、△ＫＲＬ＝３2＝９、△ＩＱＪ＝２2、△ＧＰＨ＝１2＝１。
線分ＢＤの上と下とでは点Ｌに関して対称なので、
（２５＋１６＋９＋４＋１）／（３０×５）＝５５／１５０＝１１／３０
となります。



解答・その6

（ペンネ−ム：陸奥老人）

１００三角形の問題

(1)AF:FE=5:1

(2)AF:FE=5:1なので、FEを一辺にも影のついた三角形の面積は正三角形の面積を１として、 1/6*1/5(底辺が1/5、高さが1/6。どちらでもいいですが）。
その右横の小さい平行四辺形の中の影のついた小さい方の三角形の面積は2/5*2/6...。
（1/6*1/5+2/6*2/5+3/6*3/5....+5/6*5/5))。
同じものが２つづつ：2*(1/6*1/5+2/6*2/5+3/6*3/5....)。
平行四辺形の面積は10
ということで、2*(1/6*1/5+2/6*2/5+3/6*3/5....)/10=2*(1+4+9+16+25)/(5*6*10)=11/30




解答・その7

（ペンネ−ム：ミルク）

１００三角形の問題

(1)CDを辺とする、既にある図形と重ならないような正三角形CDGを描く。△BEF∽△ BGDより、EF=(1/6)DG=(1/6)AE=(1/5)AF。よって、AF:FE=5:1

(2)(1)のように相似を考えることにより、5つの灰色部分の三角形は相似比1:2:3:4:5。
一番でかい奴は平行四辺形の1/10×5/6=1/12。一番小さいものは1/12×1/25=1/300。
求める面積は、

　　1/300×(12+22+32+42+52)×2=11/30



解答・その8

（ペンネ−ム：Toru）

１００三角形の問題

灰色部分は１０個の三角形からなり、それぞれ相似で 相似比は１：２：３：４：５（合同のものが２つずつ）

（１） AF：FEは一番大きいものと一番小さいものの相似比で５：１

（２） 相似比１：２：３：４：５より面積比は１：４：９：１６：２５、
よって一番小さい三角形の面積を１として灰色の部分の面積の和は、

（１＋４＋９＋１６＋２５）×２＝１１０

正三角形ABEの面積は（１）より２５×６／５＝３０
よって、平行四辺形ABCDの面積は３０×１０＝３００
よって求める答は　１１０／３００＝１１／３０




解答・その9

（ペンネ−ム：米ぽん）

１００三角形の問題

（１）上記のように直線ＢＣから延長した直線と，線分ＡＢと平行にＤから引いた直線の交点をＧとする。
△ＢＥＦ∽△ＢＧＤで，相似比は1：6
また，条件よりＡＥ＝ＤＧ
∴ＡＦ：ＦＥ＝5：1

（２）点Ｈを上記のように置く
（１）より三角形D’と三角形@の相似比は5：1
D’と@の面積比は，25：1
三角形@〜D，三角形@’〜D’はすべて相似
相似比は，
@：A：B：C：D＝1：2：3：4：5
面積比は
@：A：B：C：D＝1：4：9：16：25
また，@＝@’，A＝A’，B＝B’，C＝C’，D＝D’

ここで△@と平行四辺形ＡＢＣＤの面積比を求める。
相似比△ＢＥＨ：△ＢＣＤ＝1：5
面積比△ＢＥＨ：△ＢＣＤ＝1：25

また，BF：ＦＨ＝5：1より
面積比△ＢＥＦ：△ＦＥＨ＝5：1
面積比△ＢＥＨ：△ＦＥＨ＝6：1
よって，面積比△ＢＣＤ：△ＦＥＨ＝150：1
平行四辺形ＡＢＣＤ：△ＦＥＨ＝300：1
灰色の部分の面積の和：は，（@＋A＋B＋C＋D）×2なので， これらにより，
平行四辺形ＡＢＣＤ：灰色の部分の面積の和＝300：（1+4+9+16+25）×2＝300：110

　　　　答え：11/30



解答・その10

（ペンネ−ム：佐野允信）

１００三角形の問題

上図のように、点Ｇ、Ｈ、Ｉ、Ｊ、Ｋ、Ｌ、Ｍ、Ｎ、Ｏ、Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓ、Ｔ、Ｕとおく。 (1)下図のように、正三角形ＤＣＶを平行四辺形ＡＢＣＤに付け加える。

１００三角形の問題

ＦＥ〃ＤＶより

　　　ＦＥ：ＤＶ＝ＢＥ：ＢＶ＝１：６

　　　∴　　ＤＶ＝６ＦＥ　　・・・(1)

ＤＶ＝ＡＥより

　　　ＡＥ＝６ＦＥ　　・・・(2)

　　　∴　ＡＦ＝ＡＥ−ＦＥ
　　　　　　　＝６ＦＥ−ＦＥ(　(2)より)
　　　　　　　＝５ＦＥ　　・・・(3)

　　　∴　ＡＦ：ＦＥ＝５ＦＥ：ＦＥ＝５：１　　・・・(答)

ＦＥ〃ＩＪより

　　　ＦＥ：ＩＪ＝ＢＥ：ＢＪ＝１：２
　　　∴　ＩＪ＝２ＦＥ　　・・・(4)
さらに、

ＩＪ＝２ＦＥ(∵(4)より)
＝２×(1/6)ＡＥ(∵(2)より)
＝(1/3)ＨＪ(∵ＡＥ＝ＨＪ)　　・・・(5)

∴ＨＩ＝ＨＪ−ＩＪ
＝(2/3)ＨＪ(∵(5)より)
＝４ＦＥ(∵(5)より)　　・・・(6)

ＦＥ〃ＭＮより

　　　ＦＥ：ＭＮ＝ＢＥ：ＢＮ＝１：３
　　　∴　ＭＮ＝３ＦＥ　　・・・(7)
さらに、

ＭＮ＝３ＦＥ(∵(7)より)
＝３×(1/6)ＡＥ(∵(2)より)
＝(1/2)ＬＮ(∵ＡＥ＝ＬＮ)　　・・・(8)

∴ＬＭ＝ＬＮ−ＭＮ
＝(1/2)ＬＮ(∵(8)より)
＝３ＦＥ(∵(8)より)　　・・・(9)

対称性より、

　　　△ＣＤＵ≡△ＡＢＦ　　・・・(10)
　　　△ＴＳＵ≡△ＥＧＦ　　・・・(11)
　　　△ＲＳＱ≡△ＨＧＩ　　・・・(12)
　　　△ＰＯＱ≡△ＪＫＩ　　・・・(13)
　　　△ＮＯＭ≡△ＬＫＭ　　・・・(14)

　　　　　　　　

１００三角形の問題

上図の斜線部分の面積の和をＳとおくと、

Ｓ＝△ＡＢＦ＋△ＥＧＦ＋△ＨＧＩ＋△ＪＫＩ＋△ＬＫＭ
　　＋△ＮＯＭ＋△ＰＯＱ＋△ＲＳＱ＋△ＴＳＵ＋△ＣＤＵ
＝２(△ＡＢＦ＋△ＥＧＦ＋△ＨＧＩ＋△ＪＫＩ＋△ＬＫＭ)　　・・・(15)
　　　　(∵(10),(11),(12),(13),(14)より)

ＡＢ〃ＨＥ〃ＬＪ〃ＰＮ〃ＴＲ〃ＤＣ　かつ　ＡＥ〃ＨＪ〃ＬＮ〃ＰＲ〃ＴＣより
　　　△ＡＢＦ∽△ＥＧＦ∽△ＨＧＩ∽△ＪＫＩ∽△ＬＫＭ　　・・・(16)

△ＡＢＦ：△ＥＧＦ＝ＡＦ2：ＥＦ2(∵(16)より)
＝２５ＦＥ2：ＥＦ2(∵(3)より)
＝２５：１

　　　∴　△ＡＢＦ＝２５△ＥＧＦ　　・・・(17)

△ＨＧＩ：△ＥＧＦ＝ＨＩ2：ＥＦ2(∵(16)より)
＝１６ＦＥ2：ＥＦ2(∵(6)より)
＝１６：１

　　　∴　△ＨＧＩ＝１６△ＥＧＦ　　・・・(18)

△ＪＫＩ：△ＥＧＦ＝ＪＩ2：ＥＦ2(∵(16)より)
＝４ＦＥ2：ＥＦ2(∵(4)より)
＝４：１

　　　∴　△ＪＫＩ＝４△ＥＧＦ　　・・・(19)

△ＬＫＭ：△ＥＧＦ＝ＬＭ2：ＥＦ2(∵(16)より)
＝９ＦＥ2：ＥＦ2(∵(9)より)
＝９：１

　　　∴　△ＬＫＭ＝９△ＥＧＦ　　・・・(20)
(15)に、(17),(18),(19),(20)を代入すると、

Ｓ＝２(２５＋１＋１６＋４＋９)△ＥＧＦ
＝１１０△ＥＧＦ
＝１１０×(1/25)△ＡＢＦ(∵(17)より)
＝(22/5)△ＡＢＦ　　・・・(21)

ＡＦ：ＦＥ＝５：１より

△ＡＢＥ：△ＡＢＦ＝ＡＥ：ＡＦ
＝６：５

　　　∴　△ＡＢＦ＝(5/6)△ＡＢＥ　　・・・(22)
(22)を(21)に代入すると

Ｓ＝(22/5)×(5/6)△ＡＢＥ
＝(11/3)△ＡＢＥ　　・・・(23)

平行四辺形ＡＢＣＤ＝１０△ＡＢＥより

Ｓ＝(11/3)×(1/10)平行四辺形ＡＢＣＤ(∵(23)より)
＝(11/30)平行四辺形ＡＢＣＤ　　・・・(24)

従って、図の斜線部分の面積の和は、平行四辺形ＡＢＣＤの面積の(11/30)である。　　・・・(答)




解答・その11

（ペンネ−ム：Mr.X）

１００三角形の問題

対角線ＢＤに関してＡの側にある５個の灰色の三角形は 相似であり相似比は左から 5:4:3:2:1
対角線ＢＤに関してＣの側にある５個の灰色の三角形は 右から順にこれらの三角形にそれぞれ合同である。
したがって
（１）AF:FE=５：１
（２）正三角形１つ分の面積を３０とする。
対角線ＢＤに関してＡの側にある５個の灰色の三角形の 面積の和は 25+16+9+4+1=55
平行四辺形の面積の ２×５５/３００＝１１/３０ にあたります。



　

解答・その12

（ペンネ−ム：内海　育）

(1) AF：FE=５：１
(2) 11/30

１００三角形の問題

（過程）
AD上の三角形の頂点を(A)，G，H，I，J，(D)
BD上の三角形の頂点を(B)，(F)，K，L，M，N，O，P，Q，R，(D)とします。

(1)　CD/EK=BC/BE=5
　僊BF∽ 僞KF ∴AF/FE=AB/EK=CD/EK=5

(2)僊BF/僊BE=AF/AE=AF/(AF+FE)=5/6　∴僊BF=(5/6)僊BE=(1/12)□ABCD
　僭KL・僣MN・僮OP・價QRは僊BFと相似。
相似比はそれぞれ僊BFの4/5・3/5・2/5・1/5で、面積比はその２乗。

　よって、求める面積
=2*(僊BF+僭KL+僣MN+僮OP+價QR)
=2僊BF*(1+16/25+9/25+4/25+1/25)
=(22/5)僊BF=(11/30)□ABCD




解答・その13

（ペンネ−ム：杖のおじさん）

問題１．線分の比はAF：FE=５：１である
問題２．灰色と白色の面積の比は１１／３０です

相似形の面積比は１辺×１辺：１辺×１辺になります
従ってSI：S5＝５×５：１×１です

１００三角形の問題

左の上から右へS1、S2、S3、S4、S5、左の下、右へS6、S7、S8、S9、S10、
図は大きいのでS3〜S5、S6〜S10まで省略しました。
図の対角線の上　△ABF＝S1、△GLN＝S2、…
対角線の下　△FEL＝S10、△NHP＝S9、…
一辺を６cmとして考えました

面積S1=25/25×S1
　　S2=16/25×S1
　　S3=9/25×S1
　　S4=4/25×S1
　　S5=2/25×S1
S1=△ABEの面積×５／６

S5=1/25×△ABEの面積＝1/30×△ABEの面積
S４=４/３０×△ABEの面積
S３=９/３０×△ABEの面積
S２=１６/３０×△ABEの面積
S１=２５/３０×△ABEの面積

灰色の面積の合計は
S=2×（S1+S2+S3+S4+S5）=11/3×△ABEの面積
平行四辺形の面積＝１０×△ABEの面積
平行四辺形の面積：灰色の面積＝１０：１１／３＝３０：１１
従って灰色の面積の和は平行四辺形の面積の１１／３０となります。




解答・その14

（ペンネ−ム：三角定規）

(1) 右端に正三角形を1個つけ加えて下図のようにGを定める。
△BFE ∽ △BDG，BE：BG＝1：6　より　FE：DG＝1：6　∴ AF：FE＝5：1 …［答］

(2) 下図のようにHを定めると
△OEH ∽ △OCD，OE：OC＝1：5　より　EH＝(1/5)CD

正三角形の1辺を1とすると， 平行四辺形ABCD＝
図の水色部分は，
以上より …［答］

１００三角形の問題




解答・その15

（ペンネ−ム：すな蔵）

１００三角形の問題

答え

(1)AF:FE=5:1 です。

(2)の問題は、それぞれの黒く塗りつぶされた隣あう三角形が相似であること を利用し、相似比から面積比をだして計算していく。 平行四辺形を構成する正三角形の面積を１とおくと、平行四辺形は１０、 その半分は５となる。 それを踏まえて、一番左の塗りつぶされた部分の面積は底辺の比から5/6となって となりの三角形との相似比が5:1であることから、面積比25:1となり、それより 計算すると1/30 。
半分下に三角形を見てみると、左からその相似比が1:2:3:4:5になるので、面積比は 1:4:9:16:25、つまり1/30に対してその面積比で存在するので
(1/30 + 4/30 + 9/30 + 16/30 + 25/30)＝55/30
上下２つ同じものがあるので２倍して55/15
これを10で割って11/30が得られる。



解答・その16

（ペンネ−ム：challenger）

１００三角形の問題

(1)平行線と線分の比におきかえて考えるばよいからAF:FE=5:1

(2)対角線BDより上側にある5個の灰色部分の三角形は互いに相似 で相似比は5:4:3:2:1であるからこれら5個の面積の和は

1+(4/5)2+(3/5)2+(2/5)2+(1/5)2}僊BF
=(11/5)僊BF
=(11/5)*(5/6)僊BE
=(11/6)僊BE

ここで、平行四辺形の面積をSとするとすべての灰色部分の面積は
(11/6)*2*(1/10)S=(11/30)S

したがって、11/30倍である。





解答・その17

（ペンネ−ム：やんま）

１００三角形の問題

１００三角形の問題

図−１は平行四辺形ＧＥＨＩ、ＩＨＪＫ，ＫＪＬＭ、ＭＬＣＤをＢＣに平行に ＡＢまで移動したものである。（参考図）
右の図−２は平行四辺形ＡＢＣＤと対角線ＢＤを上に５つ、下に１つ並べたものである。
こうすると、正三角形ＰＢＣの一辺ＰＣは６等分されていることがわかる。 （最上部と最下部の平行四辺形は余分だが等分が見た目でわかる）

∴　ＡＦ：ＦＥ＝５：１

図−１の灰色の三角形と図−２の三角形ＣＤＵ、ＣＴＶ、ＣＳＷ、ＣＲＸ，ＣＱＹは相似形であるから 三角形ＰＣＱ内にできるこれらの面積を求めればよい。
図でわかるように三角形ＣＤＵと三角形ＣＴＶは相似である。底辺とする部分ＣＤとＣＴは１：２である。 以下ＣＱＹまで順に１：３，１：４，１：５の相似比となる。

１００三角形の問題 左図は正三角形を２つ並べたものである。 対角線ＢＤによって分けられた灰色部分の面積Ｓ２は（三角形の一辺を２としておく）

１００三角形の問題

同様に灰色部分の面積Ｓ４を求めると

１００三角形の問題

１００三角形の問題

同様に灰色部分の面積Ｓ６を求める

１００三角形の問題

以上のことから次のようになる。

１００三角形の問題

∴　灰色部分の面積の和と平行四辺形の面積の比は

１００三角形の問題

問題はＮ＝１０であるから

１００三角形の問題

答え　　(1)　５：１　　　(2)　11/30



解答・その18

（ペンネ−ム：mhayashi）


(1)
僥AD∽僥EB で相似比は AD:EB=5:1 と分かるので
AF:EF も 5:1 となる．

(2)
灰色の１０個の三角形は相似なので上と同様な方法で相似比を出していくと順に
相似比は 5:1:4:2:3:3:2:4:1:5 となる．
よって面積比は 25:1:16:4:9:9:4:16:1:25 となる．

また僊BFは平行四辺形ABCDの (1/10)*(5/6)=1/12 倍．
(25+1+16+4+9+9+4+16+1+25)*(1/12)*(1/25)=11/30
よって灰色の面積の和は平行四辺形の面積の３０分の１１である．




正解者

巷の夢 夜ふかしのつらいおじさん 陸奥老人
ミルク Toru ＪＳミル
米ぽん 佐野允信 浜田　明巳
Mr.X 内海　育 杖のおじさん
三角定規 すな蔵 challenger
ちかひで やんま mhayashi





まとめ

この問題の中には、相似な関係にある三角形の組み合わせがたくさんあります。 両サイドどちらかにもう１個三角形を付け足してみると、またまた相似な関係が表れます。 そこからアプローチしていくと解答が見えてきますね。 ただし、相似比から面積比を出すときに２乗するのを忘れないでください。





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