Weekend Mathematics／問題／問題101
１０１．区切りの問題
１から順序よく並べた整数に、
1｜2 3｜4 5 6｜7｜8 9｜10 11 12｜13｜・・・
のように、１個、２個、３個の順でくり返して区切りを入れていきます。 すると、５番目の区切りは9と10のすき間にきます。
(1)１００番目の区切りはいくつといくつの間にくるでしょうか。
(2)１つの区切りの中の数の和が３０５となるのは、何番目の区切りでしょうか。
算数１００の難問・奇問
中村義作
京華中
講談社ブルーバックス
解答・その1
（ペンネ−ム：浜田 明巳）
エクセルのマクロで解いた．
このマクロにより，
(1) １００番目の区切りは１９９と２００の間
(2) ７７番目の区切り
となる．
ちなみにこの問題では，「区切り」という言葉を２種類の意味で使っている．(2)以前では，印｜という意味となり，(2)では(ｎ−１)番目の印｜とｎ番目の印｜で区切られた数の集合をｎ番目の区切りとして使っている．これを避ける為には，(2)の問題文を，「区切られた中の数の和が３０５となるのは，何番目と何番目の区切りの間でしょうか．」のようなものにすべきではないでしょうか．
Option Explicit Sub Macro1() Sheets("Sheet1").Select Dim kugiri As Integer Dim kosuu As Integer Dim n As Integer Dim j As Integer kosuu = 0 n = 0 For kugiri = 1 To 100 + 1 kosuu = (kosuu Mod 3) + 1 For j = 1 To kosuu n = n + 1 Cells(kugiri, j).Value = n Next j If kugiri <= 100 Then Range("A" & kugiri).Select End If Next kugiri ' Sheets("Sheet2").Select Cells(1, 5).Value = 0 Dim wa As Integer kugiri = 1 kosuu = 0 n = 0 While n <= 305 kosuu = (kosuu Mod 3) + 1 wa = 0 For j = 1 To kosuu n = n + 1 Cells(kugiri, j).Value = n wa = wa + n Next j Range("A" & kugiri).Select If wa = 305 Then Cells(1, 5).Value = Cells(1, 5).Value + 1 Cells(Cells(1, 5).Value, 6).Value = kugiri For j = 1 To kosuu Cells(Cells(1, 5).Value, j + 6).Value = n - kosuu + j Next j End If kugiri = kugiri + 1 Wend Range("F" & Cells(1, 5).Value).Select End Sub
解答・その2
（ペンネ−ム：足立of joy toy）
@１９９と２００A７６と７７番目の区切りの間
紙に書いてときました
解答・その3
（ペンネ−ム：米ぽん）
（1）
3n番目の区切りは（nは自然数），6nと6n+1の間
n=33の時，区切りは，99番目で，198と199の間。
・・・ ｜ 196，197，198 ｜ 199 ｜ 200，201 ｜・・・・・
よって，100番目の区切りは，199と200の間となる。
（2）
考えられる数の集合は，
数字が1つのグループ ・・・・（a）
連続する数字が2つのグループ・・・・（b）
連続する数字が3つのグループ・・・・（c）
（c）の場合，3つの数字の和は，3の倍数でなければならないので，305は3の倍数ではなく，（c）は成り立たない。
(1)の問題に準じて，3n番目の区切りは（nは自然数），6nと6n+1の間とすると， 考えられるのは，
（a）のとき，6n-5=305 ・・・・・（d）
（b）のとき，6n-4=152，6n-3=153・・・(e)
(d)のとき，n=155/3となって，成り立たない。
R> (e)のとき，n=26となり，１つの区切りの中の数の和が３０５となる数字のグループは，（152，153） よって，求めるべき答は，
3×26-2=76番目と77番目の区切りの間となる
解答・その4
（ペンネ−ム：すな蔵）
答え
・100番目の区切り：199と200の間
・和が305になるのは何番目の区切りか：77番目の区切り（ |152,153| ）
回答：
(1)
1|2,3|4,5,6|7|8,9|10,11,12|13|14,15|16,17,18|19|20,21|22,23,24|
この数列を中に数字が1個、2個、3個と入っている区切りに分けて考える。
1|2,3|4,5,6|でワンセットと考えると、数字６個で３本現れる。
１００本目は９９本めの次の線なのでこの６個の数字が33セット現れた次の線。
よって33×6＝198
これにより |193|194,195|196,197,198|199|200,201|・・・
↑100本めの区切り
よって199と200の間になる。
(2)
”m（1,2,3・・・）番目の区切り”の中の数字の初項及び和は整数を n(1,2,3,4…)、として次のように場合分けされる。
Ａ：中の数字が１個の場合(m=1,4,7・・・の場合→つまりm=3n-2の場合)
中の数字は初項１公差６の等差数列 よって一般式はan=6n-5・・・@
中の数字は一個なので和も@式に同じ。
Ｂ：中の数字が２個の場合（m=2,5,8・・・の場合→つまりm=3n-1の場合)
中の数字の先頭の数字は初項２公差６の等差数列。よって先頭の数字の一般式は
an=6n-4 、和の一般式は(6n-4)+(6n-3)=12n-7 …C
Ｃ：中の数字が３個の場合（m=3,6,9・・・の場合→つまりm=3nの場合)
中の数字の先頭の数字は初項４公差６の等差数列。よって先頭の数字の一般式は
an=6n-3 、和の一般式は(6n-3)+(6n-2)+(6n-1)=18n-6 …E
次に、和が305になる場所を探すために、@、C、E式が305の整数解を与える
ような式を探すと、C式であることがわかる。よって
n=26、よってm=77で77番目の区切りの| 152 , 153 |の和が305であることがわか る。
＜(2)の別解＞
1|2,3|4,5,6|7|8,9|10,11,12|13|14,15|16,17,18|
ここで、区切り３つを１セットにして考えると末尾は 必ず６×セット数 になるので
（１セット目は6×1=6 ２セット目の末尾は6×2=12）
305に一番近い倍数は300なので（１０セット目） 305が数字１つの区切りの中に存在することはない。
次に３個数字が入った区切りの和Ｓを考えると
Ｓ＝(n-1)+ n + (n+1)=3n
となりかならず３の倍数になることを意味する。
305は３の倍数でないので和は305になりえない。
次に数字が２個はいっている場合を考える。
n+(n+1)=305 となるのはn=152
152,153がはいってるセットは
|152|152,153|154,155,156|
なので末尾156を６でわって２６セット目の
最後から一つ前に存在するということ。
よって(26×3)-1=77区切り目
解答・その5
（ペンネ−ム：なら）
1|2,3|4,5,6|7|8,9|10,11,12|13|14,15|16,17,18|19|20,21|22,23,24|
線３本を１セットとして考えると
セットの末尾の数字はそれぞれ
セット/ 線の数/末尾の数
１セット→３本→６
２セット→６本→１２
３セット→９本→１８
で末尾は、６とセット数の掛け算となることが分かる。
(1)
33個のセットつまり９９本を考えると
末尾は33×6=198になる。つまり、１００本目の線は
196,197,198|199|200,201
のところであるから、199と200の間にある
(2)
和が305 となる場合、
それぞれ
@区切りの中の数字の個数が１つ
A区切りの中の数字の個数が２つ
B区切りの中の数字の個数が３つ
が考えられる
@の場合、区切りの中の和が３０５なので
302,303,304/305/306,307/
とならなければいけないが
６の倍数300 がセットの末尾となるので
228,229,300/301/302,303/
と実際は区切られるので不可能となる
Aの場合
和が305となる区切りの内部の数をn,n+1 とおくと
n+(n+1)=305
2n+1=305
n=152
となる。
25セット→25×6→150となることから
セット末尾が150となることにより、
148,149,150/151/152,153/となり成立する
150が75の区切りであるので解は77となる。
Bの場合
和が305となる区切りの内部の数をn,n+1,n+2 とおくと
n+n+1+n+2=305
3n+3=305
であるからnが少数となり成立しない。
@、A、Bより
答え 77
解答・その6
（ペンネ−ム：巷の夢）
(1)３個の区切りで一サイクルであり、一サイクルに含まれる数は全部で ６個である。所で１００＝３×３３＋１であるから、１００番目の区切りに 含まれる数は一つである。即ち、３３×６＋１＝１９９が１００番目の区 切りとなる。因って、求めるものは１９９と２００の間である。
ここまで書いてもっと簡単な方法に気づきました。一個の区切りのす ぐ後の数は２、８、14・・・・という様に一個区切りの数１，４，７・・・・を 二倍したものになっているので、１００番目の区切りのすぐ後の数は ２００である。因って区切りは１９９と２００の間である。
(2)一個区切りに含まれる数は１，７，１３，１９・・・という様に６づつ増加 する。即ち、１＋６Nと書ける。ところが３０５はこのように書けないので 題意を満たさない。 同様に三個区切りの数の和は真ん中の数をNとすると、３Nであるが、 ３０５は３の倍数でないので題意を満たさない。 二個区切りでは２、数の和は２N＋１であり、N＝１５２が題意を満たす。 ところで、先程の別解より１５２を２で割った７６は一個区切りの数であ るから、７６の次の７７番目の区切りが求めるものである。
解答・その7
（ペンネ−ム：T_Tatekawa）
(1) 自然数6個をひとまとまりと考えます．
6*n (n は自然数) の隣に来る区切りは，3*n 番目の区切りです．
100 = 3 * 33 + 1
なので，
6 * 33 = 198
となり，198 の右にある区切りが 99 番目の区切りです． よって 100 番目の区切りは
198 | 199 | 200 201 |
の並びで考えて，199 と 200 の間にあります．
(2) 区切りで 3 個の自然数にまとめられた場合，その中の自然数は
| p p+1 p+2 | (p は自然数)
と書けるので，和は 3 の倍数になります． 305 は 3 の倍数ではないので，3 個の自然数を足しあわせたものではありません． 区切りで 1 個の自然数にまとめられた場合は，その中の自然数は
| 6q+1 | (q は自然数)
と書けます．ところが 305-1=304 は 6 の倍数ではありません． 以上から，305 は 2 個の自然数の和である事が分かります．
(305-1)/2 = 152
なので，自然数は
| 152 153 |
と区切られていると分かります． 152 に一番近く，152 より小さい 6 の倍数は 150 です． (1) の考えを用いると，150 の右隣の区切りは
150 = 6 * 25
3 * 25 = 75
より，75 番目の区切りです．
150 | 151 | 152 153 | 154
と区切りは入るので，152 と 153 は，76 番目と 77 番目の区切りに挟まれる事になります．
解答・その8
（ペンネ−ム：ＪＳミル）
区切り一つを小グループ，最初から順番に区切り3本めずつを大グループと考える と，大グループの最後尾にくる数は6の倍数です．したがって，ある数をｎ（ｎ≧6） とすると，ｎが6の倍数なら，区切りの本数は3の倍数です．つまり，ｎ＝6ｋ（ｋ≧1） の時，ｎの右となりに区切りがきて，区切りの本数は3ｋとなります．では，ｎが6の 倍数でない時はどうでしょうか．一つの大グループには6個の数があり，それぞれ，1 個，2個，3個の小グループに区切られ，
（6ｋ-5），（6ｋ-4，6ｋ-3）（6ｋ-2，6ｋ-1，6ｋ）
となります．つまり，ｎよりも大きい直近の6の倍数を探すことにより， 数の位置が定まります．そして，小グループの区切りの本数はそれぞれ3ｋ-2，3ｋ-1 となります．
問題1
100番目の区切りは，100＝3×34-2なので，ｋ＝34で，その左隣りの数は6×34-5 ＝199です．ちなみに，大グループの最後の数は6×34＝204となります．
答え 199と200の間
問題2
数の組み合わせを考えると，連続する数（1個以上3個以下）の和で305となる数 は305，152+153，101+102+103しかありません．
1）305＝6×51-1となり，単独で小グループとはなり得ません．
2）153＝6×26-3となり，152,153は大グループ中の2番目の小グループとなり得ます．
区切りの本数は3×26-1＝77
3）103＝6×18-5となり，小グループ内に103しか存在しません．
答え 77番目の区切り（152,153）
解答・その9
（ペンネ−ム：小学名探偵）
答え（１）１９９と２００ （２）７７
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 1 ｜ 2 3 ｜ 4 5 6 ｜ 7 ｜ 8 9 ｜ 10 11 12 ｜ 13 ｜ ・・・ 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 1 2 3 1
（１）１００mod３＝１（または、１００mod６＝４）
区切りの右にあるのが、１００×２＝２００
したがって、１００番目の区切り”｜”は１９９と２００の間に入ります。
（２）３０５mod６＝５なので、１つの整数の区間にはありません。
３０５は３の倍数でないので、連続する３つの整数の和にはなりません。
１５２+１５３＝３０５、
１５２mod６＝２ なので、１５２は、連続する整数が２個ある区間の最初の数になります。
１５２の左にある区切り”｜”は、１５２÷２＝７６番目の区切り
したがって、１５２と１５３は”｜”で区切られた７７番目の区間にあります。
解答・その10
（ペンネ−ム：teki）
答え
１ １９９と２００の間
２ ７６番目と７７番目の区切りの間
１，２，３と考えるからややこしくなるんですね。
単純に２こずつ区切ってると考えれば、比較的簡単に解けます。
まず、１ですが、２個ずつ区切って９９個の区切りを入れた場合、その最後の数は２×９９＝１９８。
次は１個で区切られるので、次の区切りが入るのは、１９９と２００の間ということになります。
２は、３０５は３ｎ＋２型の数ですから、２個の数の合計（区切られた数の合計は、１個の場合は ３ｎ＋１型、３個の場合は３ｎ型です。）です。
つまり、１５２＋１５３ということになります。
１５２の手前の３の倍数は１５０ですので、その後の区切りは７５番目、その次に１５１が来て、７６番目 の区切りが入り、７７番目の区切りとの間が１５２、１５３で合計３０５ですね。
解答・その11
（ペンネ−ム：杖のおじさん）
（１）１９９と２００の間に区切り線が入ります。
（２） ７７番目です
１個、２個、３個、の数字ブロックを数列で調べます。
１個は １、 ７、 １３ 、… 数列 １＋６N その数字ブロックの和 Ｔ＝１＋ ６N @
２個は ２、 ８、 １４ 、… 数列 ２＋６N その数字ブロックの和 Ｔ＝５＋１２N A
３個は ４、１０、 １６ 、… 数列 ４＋６N その数字ブロックの和 Ｔ＝１４＋１８N ?B
（１）
１から始まりますので１００を３で割って１余れば１桁の数字の前
２余れば２桁の数字の前、３余れば３桁の数字の前に区切り線が入ります。
１００÷３＝３３余り１です。従って数字１桁の後ろに区切り線が入ります。
１００÷３＝３３．３３・・なので
１桁で計算すると１＋６×３３＝１９９となります。
従って１９９と２００の間に区切り線が入ります。
（２）
上記数字ブロックの和の @ A B の式のTに３０５を代入してそのTが整数になるブロックを調べる
@ T=304/6=50.66… A T=300/12=25 B T=291/18=16.16…
従って２個のブロックであることが分ります。そして２個の数字の先頭の数字は３０５÷２＝１５２．５で あるので１５２と１５３と判明します。 それでは何番目の区切りか調べます
それぞれの個数の初項が１５２未満の項を調べる
@ １５２＝１＋６N → N=２５．１６６６７ 従って２５
A １５２＝２＋６N → N=２５ 従って２５
B １５２＝４＋６N → N=２４．６６６６７ 従って２４
合計 ２５＋２５＋２４＝７４ それに三種類の個数の区切り線の数を 加える。
７４＋３＝７７ 従って７７番目です
解答・その12
（ペンネ−ム：三角定規）
(1) 区切り3つ（これを「1組」とよぶことにします）で数が6増えるのだから， 区切り33組（＝99番目）で，数を 6×33＝198 まで含む。
よって，100番目の区切りは，数 199 と 200 の間 …［答］
(2) 以下nを自然数として，
第n組1番目の区切り内の数は，6(n−1)＋1 …(1)
第n組2番目の区切り内の数は，6(n−1)＋2，6(n−1)＋3 で，和は 12n−7 …(2)
第n組3番目の区切り内の数は，6(n−1)＋4，6(n−1)＋5，6n で，和は 18n−3 …(3)
(1)(2)(3)が 305 になるnがあればそれを求める。
(1) 6(n−1)＝304 304は6の倍数ではないから不適。
(2) 12n＝312 ∴ n＝26
(3) 18n＝308 308は6の倍数ではないから不適。
以上より和が305となるのは，第26組2番目＝ 77番目の区切り内 …［答］
解答・その13
（ペンネ−ム：Toru）
（１）３、６、９、１２、----番目の区切りの直前の数を並べると、
６、１２、１８、２４、-----
よって９９番目の区切りの直前の数は１９８、１００番目の区切りは１９９と２００の間
（２）各区切りの中の数の和を６で割った余りを考えると １、５、３のくりかえし
３０５≡５(mod6)よりこれは１５２＋１５３
（１）より１５０は７５番目の区切りの直前の数で、１５２、１５３は７７番目
（あるいは76番目と77番目の区切りの間）
解答・その14
（ペンネ−ム：高橋 道広）
答え
(1) 199 と200の間
(2) 76番目と77番目の区切りの間
考え方
(1)
3番目の区切りの数前の数が６
6番目の区切りの前の数が12
9番目の区切りの前の数が18...のようになっていますから
99番目の区切りの前の数が 99×2=198
...198｜199｜200 201 | 202...
よって100番目の区切りは199 と200 の間に来る。
(2)
区切り１個の中の数が305であることがあるかの検証
区切り１個の数は 1 7 13 ...
6の倍数+1であるが 305÷6=50あまり5
区切り１個の中に305がくることはない
区切り2個の中の数の和が305になることがあるかの検証
区切り2個の中の数は (2 3) (8 9) (14,15)のように (6n-4 6n-3) のペアになっている
(6n-4)+(6ｎ-3)=305より 12n=312 n=26で 数字は152 153
n=26の数字の意味するものは
1〜6 7〜12 13〜18 ... ｜151｜152 153｜154 155 156｜
の151まで25グループあるということで 言い換えると 151の前の区切りが25×3=75個の区切りがあるということで 76番目と77番目の区切りの間となる
区切り3個の中の数の和が305になることがあるかの検証
３つの連続する数を足すと
(n-1)+n+(n+1)=3nのように３の倍数となるが 305は3の倍数ではない
よって このような時はない
解答・その15
（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん）
表１のように数を６個ずつ書いていきます。区切りは２縦線で表します。
次に、表２のように数を３個ずつ書いていきます。表２は区切りの順番を示します。
さて、１００＝３×(３４−１)＋１、なので１００は表２の３４行目の１列目に現れます。
だから１００番目の区切りは表１の３４行目の１列目と２列目の数の間にあります。
表１の１列目の数は、初めが１で６ずつ増えるので、３４行目は、１＋(３４−１)×６＝１９９です。
１００番目の区切りは、１９９と２００の間にあります。
次に、３０５は次のように表せます。
３０５＝６×５０＋５ ・・・(1)
３０５＝１５２＋１５３ ・・・(2)
３０５＝１００＋１０１＋１０２＋２ ・・・(3)
(1)から３０５は、連続する区切りの間に数が１個のところにはないことが分かります。
(3)から連続する区切りの間の数を３個たしても３０５にならないことが分かります。
(2)から３０５は、連続する区切りの間の数２個の和である可能性があります。
表２の２列目の数は、初めが２で６ずつ増えます。
１５２＝２＋(２６−１)×６、なので１５２は表２の２６行目の２列目にあります。
表２の２６行目の２列目は、２＋(２６−１)×３＝７７です。
だから、３０５は７６番目と７７番目の区切りの間の数をたしたものです。
解答・その16
（ペンネ−ム：佐野允信）
与えられた条件のように自然数の列を区切り、連続する６個の自然数ごとに縦に並べ、 上から順に１段、２段、３段、・・・とよぶことにする。条件より、各段には区切りが３つある。
１ ｜ ２ ３ ｜ ４ ５ ６ ｜ １段 ７ ｜ ８ ９ ｜ 10 11 12 ｜ ２段 13 ｜ 14 15 ｜ 16 17 18 ｜ ３段 ・・・ ・・・
従って、９９番目の区切りは、99=3×33より、３３段目の最後にあり、 ３３番目の最後の数は、6×33=198である。 ゆえに１００番目の区切りは、199と200の間にある。 −（答）
199 ｜ 200 201 ｜ ・・・ ↑100番目
となりあう区切りの中の自然数の個数が１個のとき、その数は、
6k-5(kは自然数)
と表せる。これが305とすると、
6k-5=305
∴ k=155/3
これは、kが自然数であることに矛盾するので、不適である。
個数が２個のとき、それらの数は、
6k-4,6k-3(kは自然数)
と表せる。これらの和が305とすると、
(6k-4)+(6k-3)=305
∴ k=26
このとき、２個の自然数は、152と153である。
個数が３個のとき、それらの数は、
6k-2,6k-1,6k(kは自然数)
と表せる。これらの和が305とすると、
(6k-2)+(6k-1)+6k=305
∴ k=154/9
これは、kが自然数であることに矛盾するので、不適である。
従って、条件を満たす自然数は、152と153である。
152と153が存在する段の最後の数は、156であり、156=6×26より、 ２６段に、152と153は存在する。
１段から２６段までに、3×26=78個の区切りがあるから、152と153は、 ７６番目と７７番目の区切りの中にある。 −（答）
151 ｜ 152 153｜ 154 155 156 ｜ ２６段 ↑ ↑ ↑ 76番目 77番目 78番目
解答・その17
（ペンネ−ム：ちかひで）
〔解答〕
数 列 ： 1|2,3|4,5,6| 7|8,9|10,11,12| 13|14,15|16,17,18| 繰返し回数： 1 2 3 ――― ｎ回目繰返し 区切りの数： 3 3 3 ――― Σ＝3ｎ 整数の個数： 6 6 6 ――― 6ｎ個
（１）繰返し回数をｎで表すと，ｋ番目の区切りは
ｋ＝3(n-1)+ｉ，(ｉ＝1,2,3)
で表される．ｎ回目の繰返しの最初の整数は6(n-1)+1，
一般に，6(n-1)+j, (j＝1,2,---,6) ・・・・・・・・・・・・・ @
１００番目の区切りに対応するｎは
100＝3(n-1)+ｉ
∴ ｎ＝(100-ｉ)／3+1＝34-(1-ｉ)／3
ｎは整数だからｉ＝１． ∴ｎ＝34を得る．これを@に代入して１００番目 の区切りの数Ａを求める．
Ａ＝6(n-1)+j＝6(34-1)+j=198+j
しかるにｉ＝１だからｊ＝１となる．したがってＡ＝198＋1＝199
〔答〕１００番目の区切りは１９９と２００の間にある．
（２）１つの区切りの中の数の和が３０５となるのは，何番目の区切りか． ｎ回目の繰返しの中の３個の整数は 6(n-1)+j, (j＝1,2,---,6)で表される．
（ａ）区切りの中に１個の整数があるとき．
305＝6(n-1)+j, (j＝1,2,---,6)
n＝(305-j)／6+1＝50-(5-j)／6+1
ｎは整数だからｊ＝５．然るに１個の整数だからｊ＝１でなければならない ので，上式は成立しない．
（ｂ）区切りの中に２個の整数があるとき．
305＝2{6(n-1)+j}-1, (j＝1,2,---,6) ・・・・・・・・・・・・ A
ｎ＝25+(3-j)／6+1＝26+(3-j)／6
ｎは整数だからｊ＝3．∴ｎ＝26
区切り番号ｋは（１）よりｋ＝3(n-1)+ｉ，(ｉ＝1,2,3)
これにｎ＝26を代入するとｋ＝75+ｉとなるが，ｊ＝3だからｉ＝2となり， ｋ＝77を得る．
(検証) A式にｊ＝3，ｎ＝26を代入すると，2{6(26-1)+3}-1＝305
〔答〕７７番目の区切り(１５２と１５３の間)
（ｃ）区切りの中に３個の整数があるとき．
305＝3{6(n-1)+j}-3
n＝{(308-3ｊ)／3}／6+1＝(308-3ｊ)／18+1＝17-(2-3ｊ)／18+1
ｎは整数，ｊ＝1，2，・・・，6であるから，上式は成立しない．
解答・その18
（ペンネ−ム：greatkohji）
(1) 3個の区切りで6つの数字を含むので、99番目の区切りまでには (99/3)*6=198 よ り、198の数字を含んでいることになります。また98〜99番目の区切りの間には3つの 数字が含まれています。ゆえに、100番目の区切りは199と200の間になります。
(2) 1つの区切りの中の数の和が305となるのは、
(i)区切りの数字が1つのとき
(ii)区切りの数字が2つのとき
(iii)区切りの数字が3つのとき
の3通りがあります。
(i)のとき、区切りの間の数字は305だけになります。 305=(150/3)*6+5 より、 305は150番目の区切りから5大きいことがわかります。また149〜150番目の区切りの 間には3つの数字が含まれているので、305は3つの数字が含まれている区切りの真中 にあることになり、これは(i)に矛盾するため不適です。(i)〜(iii)より、77番目の区切りの中の数の和が305になります。
(ii)のとき、 305=152+153 より、区切りの間の数字は152と153だけになりま す。 152=(75/3)*6+2 より、152は75番目の区切りから2大きいことが分かります。ま た74〜75番目の区切りの間には3つの数字が含まれるので、152と153は76から77番目 の区切りの間にただ2つだけあることがわかります。これは題意を満たします。
(iii)のとき、 連続する3つの数字の和は3の倍数となるが305は3の倍数ではあり ません。ゆえに、題意を満たさないため不適です。
解答・その19
（ペンネ−ム：やなせ）
問い１のお答え
まず１−２．３−４．５．６をワンセットとして考えました
３が公約数かな・・・適当
区切り３個で数字が６個になりますね
１００個目の区切りですが３で割り切れるのは
９９番目ですよね（セット数３３セット）なので
その前の数字は３３×６＝１９８になります。
９９番目の次は１９９です。
結果１００番目の区切りは１９９と２００の間ですね。
問い２のお答え
まず数字を３個使うとしたらどうなるでしょう
１００未満では３０５にはなりませんね
そこで１００以上ではどうでしょうか？
一番小さな合計は１００＋１０１＋１０２＝３０３
次は１０１＋１０２＋１０３＝３０６
あれ違いますね〜
では一個ではどうでしょうか？
旨い具合に３０５が区切りの中で一個になっていれば
ビンゴですが・・・
問い１で考えたようにやってみると３００の所で３個セットが終わります
次は３０１でその次は３０２と３０３・・あれれ旨く行かないね
仕方がないので２個の数字で合計が３０５になるところっと
２個だから平均は１５２辺りだね
やっぱり問い１でやったようにしてみれば
１５０の所で３個セットが終わって
次が１５１の１個、その次が１５２と１５３・・おっと
旨く行くではないかいな
忘れないうちに計算計算っと
１５０÷６で２５とね、その次とその次の間だから
３個セットだから２５×３＝７５で
７５と７６の間だが１５１
７６と７７の間だが１５２と１５３で合計３０５になります
解答・その20
（ペンネ−ム：蜘蛛の巣城）
仕切りを含めて、以下の数列を考察します。
１|２,３|４,５,６|７|８,９|１０,１１,１２|１３|１４,１５|１６,１７,１８|１９,２０･････････
上の数列を次のように、節に分解しましょう。
第1節 １ | ２， ３ | ４， ５， ６ | 第2節 ７ | ８， ９ | １０，１１，１２ | 第3節 １３ | １４，１５ | １６，１７，１８ | ・ ・ ・ ・ ・ ・ 第ｎ節 ６ｎ−５ | ６ｎ−４，６ｎ−３ | ６ｎ−２，６ｎ−１，６ｎ |
（１）数列内の仕切りに番号をふると
第ｎ節に属する仕切りは、左から ３ｎ−２，３ｎ−１，３ｎ 番目にあたります。
「１００」は「３の倍数マイナス２」のタイプ。
３ｎ−２＝１００
ｎ＝３４
だから100番目の仕切りは、第34節の最初の仕切りで「９９」と「１００」の間にあります。
（２）第ｎ節の仕切られた三つの領域内の項の和は、左から ６ｎ−５，１２ｎ−７，１８ｎ−３ です。 「３０５」は「３の倍数マイナス１」のタイプ。
１２ｎ−７＝３０５
ｎ＝２６
だから「３０５」は、第26節の1番目と2番目の仕切りに挟まれる2数の和です。
すなわち、76番目と77番目の仕切りに挟まれる2数「１５２」と「１５３」の和です。
解答・その21
（ペンネ−ム：寺脇犬）
（１）
１から連続する自然数を １個、２個、３個、の順で繰り返し区切っているので 連続する１個区切り、２個区切り、３個区切りを 一組として考える。そうすると１００番目の区切りは、３４組目の中に あるはず（正確に言えば、最初から３４組目の１個区切りがそれ） ところで各組の中にある連続数の個数は６個だから、今各組から最小数（これは１個区切りの数）を取り出し順に並べると、
１、７、１３，１９、２５，３１，３７、・・・・・・・６（Ｎ−１）＋１
となるから、これより３４番目のその数を求めると
６（３４−１）＋１＝１９９
この１９９と言う数は、１個区切りの数だから、１００番目の区切りは、１９９と２００の間にくる。
（２）
次に各組の最小数を Ｍとすると
Ｍ＝３０５
Ｍ＋１＋Ｍ＋２＝３０５
Ｍ＋３＋Ｍ＋４＋Ｍ＋５＝３０５
の三つの場合が考えられるので 以下これらを検討する。
まず区切りの中の数が１個で３０５の場合
Ｍ＝３０５だから、６（Ｎー１）＋１＝３０５よりＮ（番目）＝１５５/３ となって自然数でないので３０５は１個区切りの数でないので 不適
区切りの中の数が２個で３０５の場合
Ｍ＋１＋Ｍ＋２＝３０５より、Ｍ＝１５１
これはすなわち その組の最小数（１個区切りの中の数）が １５１で 同じ組の２個区切りの数は １５２と１５３と言うことです。この場合確かに、１５２＋１５３＝３０５となる。
この場合は何組目かを 求めると .６（Ｎ−１）＋１＝１５１より Ｎ＝２６
最後に区切りの中の数が３個の場合だが
Ｍ＋３＋Ｍ＋４＋Ｍ＋５＝３０５より、
Ｍは自然数にならないので 不適
で、 求める答えは、 ２６組目の中の２個区切りだから、２５×３ ＋２ ＝７７ より 最初から７７番目の区切り 以上
解答・その22
（ペンネ−ム：challenger）
(1) 100番目の区切りまでの整数の個数が1*34+2*33+3*33=199
だから100番目の区切りは199と200の間にくる。
(2) 305−1＝304 は6の倍数ではない。また,
305が3個の整数 n,n+1,n+2 の和であるとすると3n+3=305
であるがこれを満たす整数nは存在しない。
よって,305はn,n+1の2個の整数の和である。2n+1=305とおくとn=152
2個の整数は152,153
153=1*26+2*26+3*25だから和が305となるのは26+26+25=77番目の区切りである。
解答・その23
（ペンネ−ム：ＦＩＶＥＩＬＡＮＤ）
1 ｜ 2、3 ｜ 4、5、6 ｜ 7 ｜ 8、9 ｜ 10、11、12 ｜ 13 ｜ 14、15 ｜ 16、17、18 ｜ 19 ｜ 20、21 ｜ 22、23、24 ｜
これを整理すると
1 ｜ 5 ｜ 15 ｜ 7 ｜ 17 ｜ 33 ｜ 13 ｜ 29 ｜ 51 ｜ 19 ｜ 41 ｜ 69 ｜
これを便宜上、１のある列を@列、５のある列をA列、１５のある列をB列とします。
（１）について、100を３で割ります、すると33あまり1が得られます。
ところで@の列は初項が１で差が６の数列ですので、33×6+1＝199になります。
従って199と199+1の間の区切りとなります。
（2）について、３０５についてですが、B列にある数字は連続した３つの数ですから３で割り切れなければなりませんが、305は３で割り切れませんのでB列にはありません。
@列については３０５から１を引いたもの、つまり304が６の倍数にならなければなりませんが割り切れないので@列にもありません。
A列は初項が5で差が12の数列ですが305-5＝300、300÷12＝25でA列の中にあることがわかります。従って25×3+1＝76で76の区切りと77の区切りの間の数つまり152、153となります。
解答・その24
（ペンネ−ム：mhayashi）
(1)
まずは９９番目の区切りを考えます．
1 | 2 3 | 4 5 6 | 7 | 8 9 | 10 11 12 | : : : : : :
区切り３個で数字６個だから
区切り９９個で数字は１９８個
即ち，… 198 | 199 | 200 201 | 202 203 204 | … という並びになります．
よって１００番目の区切りは１９９と２００の間にきます．
(2)
区切りの中にある数字の個数が
i)１個の場合
６の倍数＋１でないと不適なので３０５は不適．
ii)３個の場合
３の倍数でないと不適なので３０５は不適．
iii)２個の場合
２つの数は 152 と 153 ということになります．
150 と 151 の間の区切りは 150÷6×3=75 より７５番目．
即ち，… 150 | 151 | 152 153 | 154 155 156 | … という並びになります．
よって求める区切りは７７番目です.
解答・その25
（ペンネ−ム：やんま）
正解者
米ぽん すな蔵 なら 足立of joy toy 巷の夢 T_Tatekawa ＪＳミル 小学名探偵 teki 杖のおじさん 三角定規 Toru 浜田 明巳 高橋 道広 夜ふかしのつらいおじさん 佐野允信 ちかひで greatkohji やなせ 蜘蛛の巣城 寺脇犬 challenger ＦＩＶＥＩＬＡＮＤ mhayashi やんま
たくさんの解答を寄せていただき、どうもありがとうございました。 問題文で、「区切り」ということばを２通り（線or空間）に使っているために、 混乱を招いたことをお詫びいたします。
多くの方に指摘いただいているように、３区切り＝数字６個を１セットとして考えるとすっきりします。 ｍセットめの先頭にくる数字は、６ｍ−５（ｍは正の整数）ですし、 ｍセットめの先頭の数字と次の数字の間に入る区切り線は、３ｍ−２（ｍは正の整数）番目ということになります。
(2)については、区切り空間が３パターンある中で、それぞれの可能性を吟味していくと、数字が２つある空間しかありえないということがわかりますね。
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