Weekend Mathematics問題/問題102



102.碁石の問題

AとBの2つの箱に白石と黒石が入っています。 Aの中には2700個が入っていて、そのうちの3割が黒石です。 Bの中には1200個が入っていて、そのうちの9割が黒石です。 いま、Bの中からいくつかの石をAに移し、その結果を調べたら、 Aの中には黒石が4割、Bの中には黒石が9割入っていました。 Bの中からAに移した黒石と白石は、それぞれいくつずつですか。




問題の出典


算数100の難問・奇問
中村義作
武蔵中
講談社ブルーバックス




答えと解説





答えと解説

解答・その1

(ペンネ−ム:shrks)

もともとあったAとBの碁石の黒の割合,移動した後の割合の変化から 連立方程式が立てられます
もともとAの碁石は黒が3割、ということは 2700 × 0.3 = 810
もともとBの碁石は黒が9割、ということは 1200 × 0.9 = 1080
これをもとに 方程式を立てます
黒をX、白をYとすると
移動後はAの黒の割合が4割、Bが9割だから

   (2700+X+Y)×0.4=810+X
   (1200−X−Y)×0.9=1080−X

これを解くと  X=486 Y=54 となる

答 黒が486個、白が54個



解答・その2

(ペンネ−ム:こざっぱ)

BからAに移動した数をX、その内に含まれる黒の数をYとして 連立方程式を立てて解いてみました。普通の方法ですね。

(2700+X)*0.4=2700*0.3+Y ‥@ Aの袋についてです
(1200-X)*0.9=1200*0.9-Y ‥A Bの袋についてです

@式  1080+0.4X=810+Y
@*10 10800+4X=8100+10Y
    10Y=4X+2700    ‥B

A式  1080-0.9X=1080-Y
A*10 10800-9X=10800-10Y
    10Y=9X      ‥C

CをBに代入
    9X=4X+2700
    X=540       ‥D

DをCに代入
    10Y=9*540
    Y=486

BからAへ移した全体の数(X)は540個
そのうちの黒の数(Y)は486個
移動した白の数(X-Y)は540-486=54個 

黒486個、白54個を移した  (了)




解答・その3

(ペンネ−ム:ニトロ)

Aの箱の中に石が2700個、その内3割が黒石
 ∴黒石が2700×0.3=810
  白石が2700×0.7=1890

Bの箱の中に石が1200個、その内9割が黒石
 ∴黒石が1200×0.9=1080
  白石が1200×0.1=120

Aの箱からBの箱に移動させた石の内訳を 黒石x個、白石をy個とする。
その結果Aの箱の中に黒石が4割(白石6割)
    Bの箱の中に黒石が9割(白石1割)となったので、

Aの箱は・・・810+x:1890+y=4:6・・・@
Bの箱は・・・1080−x:120−y=9:1・・・A

@より  6×(810+x)=4×(1890+y)
       4860+6x=7560+4y
         6x−4y=2700
         3x−2y=1350・・・B

Aより 1×(1080−x)=9×(120−y)
        1080−x=1080−9y
         −x+9y=0・・・C

B式+3×C式より

3x −2y=1350
+)−3x+27y=0
25y=1350

      ∴y=54

C式に代入して     x=486

<解答>
Aの箱からBの箱へ移動させた石は、黒石486個・白石54個

<検算>
Aの箱の中身
黒石810+486=1296
白石1890+54=1944(計3240個)
1296÷3240=0.4
1944÷3240=0.6・・・OK

Bの箱の中身
黒石1080−486=594
白石120−54=66(計660個)
594÷660=0.9
66÷660=0.1・・・OK

以上




解答・その4

(ペンネ−ム:浜田 明巳)

Bから黒石をx個,白石をy個移すとする.A,Bの中の黒石の個数は,それぞれ,
  2700×0.3+x=0.4(2700+x+y)………(1)
  1200×0.9−x=0.9(1200−x−y)………(2)
 (1)から,5(810+x)=2(2700+x+y)
  ∴4050+5x=5400+2x+2y
  ∴3x−2y=1350………(1)'
 (2)から,10(1080−x)=9(1200−x−y)
  ∴10800−10x=10800−9x−9y
  ∴x=9y………(2)'
 (1)'に代入すると,27y−2y=1350
  ∴25y=1350
  ∴y=54
 (2)'に代入すると,x=486
 これらのx,yは共に0以上の整数であり,和が1200以下であるので,条件を満たす.
                          答.黒石486個,白石54個

(別解)BからAに移しても,黒石の割合が9割と変わらなかったのであるから,移した石の中の黒石の割合も9割である.
 黒石をx個,白石をy個移すとすると,x=9y
 故にAの中の黒石の個数は,
  2700×0.3+9y=0.4(2700+9y+y)
  ∴5(810+9y)=2(2700+10y)
  ∴4050+45y=5400+20y
  ∴25y=1350
  ・・・

(別解)エクセルのマクロを使って解きました.(コピー&貼り付けする際は,全角の空白を半角にしなくてはなりません)

Option Explicit
Const A As Integer = 2700
Const B As Integer = 1200
Sub Macro1()
  Sheets("Sheet1").Select
  Cells(1, 1).Value = 0
  Range("A1").Select
  Dim A_white As Integer
  Dim A_black As Integer
  Dim B_white As Integer
  Dim B_black As Integer
  Dim A_white0 As Integer
  Dim A_black0 As Integer
  Dim B_white0 As Integer
  Dim B_black0 As Integer
  Dim black As Integer
  Dim white As Integer
  A_black = A * 0.3
  A_white = A - A_black
  B_black = B * 0.9
  B_white = B - B_black
  For white = 0 To B_white
   For black = 0 To B_black
    A_white0 = A_white + white
    A_black0 = A_black + black
    B_white0 = B_white - white
    B_black0 = B_black - black
    If A_black0 / (A_white0 + A_black0) = 0.4 Then
     If B_black0 / (B_white0 + B_black0) = 0.9 Then
      Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + 1
      Cells(Cells(1, 1).Value, 2).Value = white
      Cells(Cells(1, 1).Value, 3).Value = black
     End If
    End If
   Next black
  Next white
End Sub
参考文献を見ると,この問題は算数の方法で解かなければならなかったのでしょうか?




解答・その5

(ペンネ−ム:佐野允信)

Bの中からAに移した黒石と白石をそれぞれ x 個,y 個とすると、条件より



が成り立つ. (1)より

   6x=4y+2700   (3)

(2)より

   x=9y   (4)

(4)を(3)に代入すると

   54y=4y+2700
   ∴ y=54

これを(4)に代入すると

   x=486

よって,Bの中からAに黒石を486個,白石を54個移した. (答)



解答・その6

(ペンネ−ム:三角定規)

A(黒810,白1890),B(黒1080,白120)
BからAに黒石をx個,白石をy個移したとすると,題意より



Aよりx=9y で,これと@とより,x=486,y=54。  [答] 黒石486個,白石54個 



解答・その7

(ペンネ−ム:巷の夢)

BからAに移した個数をCとすると白はその1割り、黒が9割りでなければ残ったBの黒の 割合9となりません。因って、Aに於ける黒の割合は、

    (2700×3/10 + C×9/10)/(2700 +C) =4/10 =2/5 となる。

この方程式を解いて、C=540を得る。 以上より求める黒石は486、白石は54である。



 

解答・その8

(ペンネ−ム:米ぽん)

題意より,
箱Aには,黒810個,白1890個で,計2700個
箱Bには,黒1080個,白120個で,計1200個

箱BからAに移した石の数をxとして,題意より方程式を作ると,

   (2700+x)×0.4+(1200-x)×0.9=810+1080
   x=540

移した後の箱Aには,
2700+540=3240個

そのうち,4割が黒だから,黒の数は
3240*0.4=1296個

もともと,箱Aには,黒は810個あったから,
移した石の内訳は,
黒486個,白54個





解答・その9

(ペンネ−ム:Mizutani)

(解答)
(1)
Aの箱に入っている白石の数:2700×0.7=1890個
         黒石の数:2700×0.3=810個
Bの箱に入っている白石の数:1200×0.1=120個
         黒石の数:1200×0.9=1080個

(2)
BからAへ移した石の数をXとする。
移したお後のBの箱の白石と黒石との比率が移す前と変わっていない(1:9)こ とから、Xの白石と黒石の比率も1:9となる。

(3)
Aに移した後の全体の石の数は2700+Xとなる。
また、Aに移した後の白石の数は、1890+0.1Xとなる。

(4)
Aに移した後の白石と黒石との比率は6:4であることから、

   1890+0.1X=0.6(2700+X)

の式が成り立ち、解は、X=540となる。

(5)
したがって、Bの中からAに移した黒石と白石は(2)より、それぞれ、

   黒石:540×0.9=486
   白石:540×0.1=54

となる。
以上。




解答・その10

(ペンネ−ム:すな蔵)

答え:移動した黒石486個、白石54個の計540個

注目する点は、移動後のBの石の比率。これが移動前後で変わっていないと いうことは、取り出した石に含まれる白黒の石の比率が元の黒9割、白1割 と同じであるということ。つまり、x個の石を取り出したとき その構成比は黒石0.9x個、白石0.1x個とならなければおかしい。 そのうえで、移動後のAの黒石の比率が4割になるようにxを決定すればよい。
移動前のAの石の構成は黒810個、白1890個であり、これが移動後は 黒石(810+0.9x)個、白石(1890+0.1x)個で合計が(2700+x)個になり、 黒石の割合が4割になるのだから

   (810+0.9x)÷(2700+x)×100=0.4

これを満たすxは540個。よって移動した石は
   黒:540×0.9=486個
   白:540×0.1=54個

になる。



解答・その11

(ペンネ−ム:kiyo)

810+0.9*x=0.4*(2700+x)
x=540
540*0.9=486
540*0.1=54

答え 黒石 486個。白石 54個。




解答・その12

(ペンネ−ム:アッチョンブリケ)

答.黒石と白石は、それぞれ486個、54個。

過程
Bの中から石をAに移した後のBの中の黒石の割合が、移す前の割合と変わらな かったので、移した石の黒石の割合も9割だとわかる。よって、移した黒石と白 石の個数は、それぞれ9×N個、N個(Nは正の整数)と表せるので、移した後のA の中の黒石は、(2700×0.3+9×N)個となる。 移した後、Aの中には黒石が4割だから、

   (2700+10×N)×0.4=2700×0.3+9×N

これを解くと N=54。 ここで、移した石の総数10×54=540個は、始めBの中の1200個より も少ないので適す。 故に、Bの中からAに移した黒石と白石は、それぞれ9×54=486個、54個 と求まる。



解答・その13

(ペンネ−ム:Toru)

 箱Bの黒石と白石の割合を保ったまま移しているので、白石をX個移したとすれば、 黒石は9X個、全体で移した数は10X個となる。

 計算を楽にするために(と言っても大した計算ではありませんが) 箱Aの移す前の総数が100だった場合で計算すると(この場合はXは整数でなくともよ い)、移した結果、箱Aの総数100+10X  白石70+Xで、白石が6割になったのだから、

 100+10X:70+X=10:6⇔10+X:70+X= 1:6⇔10+x:60=1:5 これから X=2

よって2700個の場合は2×27=54 黒石は54×9=486 

 すなわち、黒石486個 白石54個 ――――答え これらの和は1200より小さくて、 題意に適す。



解答・その14

(ペンネ−ム:JSミル)

Bから碁石を移した後も碁石の比率が同じことから,移した白い碁石の個数をXとす ると,移した碁石の総数は10Xと表せます.従って,Aの白い碁石についての比率は 移動後に,

   (270×7+X)/ (2700+10X)=6/10

となります.これを,解いてX=54
答えは黒い碁石486個,白い碁石54個となります.




解答・その15

(ペンネ−ム:杖のおじさん)

答え   白石 54個、 黒石 486個 

Bの箱の白石を1つAの箱に移動する時に黒石も9つ移動させます。同じ比率で移動し ますので移し終った結果もBの箱の黒石の割合は9割となります。 移す回数をXとするとAの箱の黒石の割合が移動後4割なので次の式が成り立ちます。

   (810+9X)/(2700+10X)=0.4
   810+9X=1080+4X
   5X=270
   X=54

白石を54個 Aの箱に移動させます。
黒石を54×9=486個 Aの箱に移動させます。
移動後の箱の中の碁石の数
A の箱には 2700+54+486=3240個
B の箱には 1200−54−486=660個





解答・その16

(ペンネ−ム:teki)

答え 黒石 486個  白石 54個

解法
 移動した前後のBの白:黒の比率が変わっていないことから、移動した白石と黒石 の比は、1:9。
 後は、濃度の計算を行うのと同じ要領で、以下の方程式を解きました。
 移動した白石の数をxとすると、

    (810+9x)÷(2700+10x)=0.4

 これから、x=54が求まります。
 つまり、移動した白石は54個、黒石はその9倍ですので、486個 です。

 この問題、移動した前後のBの白:黒の比率が変わっていないことに気づくかどう かの問題ですね。



解答・その17

(ペンネ−ム:寺脇犬)

A箱は 2700個で、黒石は 3割だから 810個 白石は 7割で 1890個
B箱の黒石と白石の比率は 黒9割 白1割であるが この比率を変えることなく  いくつかの石を取り出しA箱へ移す、その時の白石の個数を Nとおけば 黒石は 9N と書ける。 で、A箱の 黒3割 白7割 は 黒4割 白6割に変わったから

   (810+ 9N) :(1890+N) = 4:6

と立式できる。 これを解いて   N=54個     9N= 486個

すなわち移した 黒石は 486個  白石は 54個です。




解答・その18

(ペンネ−ム:T_Tatekawa)

A の中身は,

   黒:2700 * 0.3 = 810 個
   白:2700 * 0.7 = 1890 個

です.B の中身は

   黒:1200 * 0.9 = 1080 個
   白:1200 * 0.1 = 120 個

です.
B の中から A の中に石を移す作業を考えると,移す前と後で B の中の石の比率は変わっていません.つまり,黒と白を 9:1 の割合で A の中に移した事になります.
そこで,移した黒と白の石の個数をそれぞれ,9x 個と x 個に します.x は 120 以下の自然数です.
石を移した後の A の中身の黒と白の石の数の比は 4:6 ですので,

   810 + 9x : 1890 + x = 4 : 6

です.よって

   6*(810 + 9x) = 4*(1890 + x)

整理して

   0 x = 2700
   x = 54

以上から移した石の個数は 黒 54*9 = 486個,白 54 個.



解答・その19

(ペンネ−ム:ken)

BからAに移す前のAの箱には、
   黒石 810個
   白石 1890個
が入っている。

移す前も、移した後も、Bの箱には9:1の割合で入っているため、BからAに移 した黒石と白石の割合も9:1となる。
ここで、移した白石の数をX とすると、黒石の数は9X となる。
移したあとのAの箱の中は、

   黒石 : (810+9X)
   白石 : (1890+X)

黒石の割合は4割のため、

   (810+9X)/{(810+9X)+(1890+X)}=0.4

これを解いて、

   X=54

BからAに移した石の数は、
   黒石の数 486個
   白石の数  54個
となる。




解答・その20

(ペンネ−ム:夜ふかしのつらいおじさん)

初めの状態

Aの箱Bの箱
18901202010
81010801890
270012003900

移動した後の状態

Aの箱Bの箱
1944662010
12965941890
32406603900


Bの箱の中からAの箱に移す白石をw個とします。
石を移動させた後もBの箱の中の石の個数の比は、白:黒=1:9なので、Bの箱の中からAに移す黒石の個数は9w個です。
移動後のAの箱の中の石の個数について、

   (810+9w):(2700+10w)=4:10

これを解いて、w=54、9w=486
Bの中からAに移した黒石と白石は、486個と54個です。




解答・その21

(ペンネ−ム:けいたろう)

Aの黒石は 2700×3/10=810 で810個、白石は 2700−810=1890 で1890個
Bからいくつか移して、割合が変わらず黒石9割なので、
移した石の中だけでの白黒の割合も 白:黒=1:9 
よって白石の数を a とおくと、黒石は 9a
移動後のAの箱の中は 黒石 810+9a 個、白石 1890+a 個
移動後のAの黒石は4割なので黒:白=4:6=2:3


(810+9a)/(1890+a)=2/3
a=54
黒石は 54×9=486 で486個

答え
移動した黒石は486個、白石は54個




解答・その22

(ペンネ−ム:高橋 道広)

解答  黒石 486個 白石 54個

解説 
Bの碁石の白黒の比は変わらないので 白黒を1:9の割合で抜き出してAに移して いると考えられる。
碁石の割合を濃度 と考えると 濃度30%のもの2700個と濃度90%のものを混ぜ て濃度40%のものを作る問題に読み替えることができる よって 天秤算で

    10×2700=50×Mから

M=540個がBから Aに移した個数で
黒石は 540×0.9=486個 白石は540×0.1=54個




解答・その23

(ペンネ−ム:小学名探偵)

もと天秤塾さん「これは、食塩水の混ぜ合わせみたいな問題だから天秤算使うと簡単に解けるのよ。解き方忘れたけど。」

もと面積塾君「ぼくの通った塾では、面積算とか○□算とかいうので習ったよ。 えーと、2つの面積が同じになるはずなんだけど。ごめん!ちゃんと説明できない。」

なんでも方程式君(現役)「Bの中からAに移した黒石と白石の合計をx個とおくと、 (2700+x)*4 = 2700*3+9xになるね。あと、内分点の公式っていうのもあるけど。」

みんな忘れたさん「なんで、碁石が天秤になるの?面積になるの?方程式は一番苦手だね。 自慢じゃないが公式はぜーんぶ学校に預けてきちまったぜ。」

説明係「困りましたね。とりあえず、

●●●○○○○○○○

黒石は何割でしょうか。」

全員「3割です!」

説明係「4割だと、

●●●●○○○○○○

ですね。」

全員「異議なし!」

説明係「では、

●●●○○○○○○○を

●●●●○○○○○○にするにはどうしますか。」

みんな忘れたさん「4割にするには、白石1個を黒石に代えりゃいいのさ。」

説明係「その通りです。

●●●○○○○○○○から

白石を1個出して、代わりに黒石を1個もらうと、黒石が4割になります。 では、 ●●●●●●●●●○を

●●●●○○○○○○にするには?」

みんな忘れたさん「黒石5個を白石と交換すりゃいい。」

説明係「それでは、

●●●○○○○○○○

●●●○○○○○○○

●●●○○○○○○○

●●●○○○○○○○

●●●○○○○○○○

と、

●●●●●●●●●○

で石を交換して、どの10個も黒石が4個になるようにできますか。」

みんな忘れたさん「えーと、出来そうだな。

●●●●○○○○○○

●●●●○○○○○○

●●●●○○○○○○

●●●●○○○○○○

●●●●○○○○○○

●●●●○○○○○○

確かに勘定は合ってら。 」

説明係「ということで、黒石が3割の碁石50個と黒石が9割の碁石10個を 混ぜると、黒石が4割になりますね。」

全員「異議なし!」

説明係「では、にせんななひゃっこ・・・」

みんな忘れたさん「ちょっと待った!勘定なら任せてくれ!50個のとき 10個なんだから、2700個なら、5で割って 540個の碁石を混ぜたんだな。Aに移した白石は 540÷10=54個、黒石は540−54=486個でい。」

説明係「速いですね。助かりました。皆さん合点しましたか。」

全員「合点!」


(授業の後)

なんでも方程式君(現役)「4は3と9を1:5に内分する点だから、 内分点の公式(ミキシングの公式)4=3*5/(1+5)+9*1/(1+5) ボソボソ・・・」

みんな忘れたさん「おーい、ひとりごといってないで、こっちにきなよ、 碁を始めるからさ。」

なんでも方程式君(現役)「はーい、師匠。」






解答・その24

(ペンネ−ム:ヤンマ)

方程式を立てれば簡単に解けるので、方程式を使わずに求める。

  (1)黒石の合計は1890である。(白石の合計は2010である)
  (2)石の個数(自然数)と4割と9割ということから黒石及び白石の全数は少なくとも下1桁目はゼロである。

以上のことからA箱の黒石が4割、Bの箱の黒石が9割の時、その合計が 1890となるAの箱の全数又はBの箱の全数を求めればよい。



答え、黒石 486個、白石 54個




解答・その25

(ペンネ−ム:nao)

方程式をたてて解くなら、Bから移した個数をXとおくと

   (2700+X)・(4/10)=2700・(3/10)+(9/10)・X
   1080+(4/10)・X=810+(9/10)・X
   (1/2)・X=270
   X=540

黒石の個数 540×(9/10)=486
白石の個数 540×(1/10)=54

となります。

算数の考え方で解くと、Aの3割から4割にふえた黒の個数である

   2700×(0.4ー0.3)=270

は、Bから移ってきた部分で9割から4割に減った黒の個数と等しくなります。 だから、

   (Bから移ってきた部分)×(0.9―0.4)=270
   270÷0.5=540

Bから移ってきた部分は540個だと分かります。
あとは、黒 540×0.9=486  白 540×0.1=54 です。

この問題は、「30%の食塩水2700グラムに90%の食塩水をまぜたら40%に なった。90%の食塩水を何グラムまぜたか」という問題と同じだとおもいます。





解答・その26

(ペンネ−ム:蜘蛛の巣城)

A、Bそれぞれの箱の黒石白石を以下のように配置します。
一行10個の碁石でA270行、B120行。黒石白石のマークはお分かりですね。

AB
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箱Bから箱Aに碁石を移動させてもBの黒白比率は変化なし。 ということはBのn行をそっくりAに上乗せしたわけです。

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Aの黒白比率が4割6割に変化したのですから、上図の色つき部分を入れ替えればよいわけです。従って

            5n=270
             n=54

すなわち54行上乗せ。黒石486個、白石54個の移動。




正解者

巷の夢 shrks 杖のおじさん
米ぽん こざっぱ T_Tatekawa
teki nao Toru
Mizutani ニトロ すな蔵
寺脇犬 JSミル 浜田 明巳
kiyo 佐野允信 アッチョンブリケ
小学名探偵 夜ふかしのつらいおじさん けいたろう
ken 三角定規 高橋 道広
ヤンマ 蜘蛛の巣城





まとめ

多くの方は、方程式を立てて解いてくださいました。
「移動した黒石の数をx、白石の数をy」もしくは、「移動した石の数をx、うち黒石をy」とおき、連立方程式を立ててくださった方は、6名でした。
「移動した石の個数をx」とおいた方が8名、「移動した白石の数をx」とおいて、方程式を立ててくださった方が10名でした。
移動した白石の個数をxとおくと、移動した黒石の個数は9xとなります。なぜなら、箱Bの中にある黒石の割合が変化していないからです。変数の置き方によって、立てる式の複雑さが軽減できますね。

方程式を使わずに解いてくださった方もいらっしゃいました。 naoさん蜘蛛の巣城さんのように、 視覚的に、面積で考えると、方程式を知らない小学生にも説明できますね。





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