Weekend Mathematics問題/問題104



104.信号の問題

ある国道に、2.2kmおきに信号があります。それらの信号は青が2分、黄が5秒、赤が40秒で同時に点滅しています。いま、赤信号で止まっていた自動車が、青信号になった直後に出発しました。

問1
この自動車があとのすべての信号を青で通過するためには、時速何kmで走ればよいでしょう。

問2
時速40kmで走ると、黄信号か赤信号で停車するのは何番目の信号になりますか。このとき待たされる時間も求めなさい。




問題の出典


算数100の難問・奇問
中村義作
立教女学院中
講談社ブルーバックス




答えと解説





答えと解説

解答・その1

(ペンネ−ム:Love−M)

1。2分と5秒と40秒を足すと2.75分
2.2Kmをこの時間でいくと48Km/時間となる。
そして、これよりもちょっとでも早かったり遅かったりすると
黄、赤信号にひっかかるので、48が答え。

2。40Km/時間=2/3Km/分で、N個目の信号で引っかかるとするとそこまで に2.2×N÷2/3=3.3N分かかる。
また、黄と赤になるのは
  2分〜2.75分
  4.75分〜5.5分
  7.5分〜8.25分
  10.25分〜11分
  13分〜13.75分となり、N=4の時これにあてはまる。
よって4個目の信号で、止まる時間は13.75−3.3×4=0.55分 =33秒となる。



解答・その2

(ペンネ−ム:翔)

(1)2.2kmを165秒で通過すればいいので、

    2.2:165=x:3600  x=48

<答え 時速48km>

(2)40kmを3600秒で走るので、

    40:3600=2.2:y   y=198  198秒ごとに信号を通過

信号を通過するのは、    198  396  594  792  990..............秒後
信号が 赤or黄の時間は  120-165 285-330 450-495 615- 660
780-825 945-990........秒間
従って 4番目の信号 792秒後に信号は赤になっています。

<答え 4番目の信号>

グラフ(横軸km、縦軸秒)で解きましたが、グラフ添付出来ないので.................数字で。

   825-792=33

<答え 33秒待つ>



解答・その3

(ペンネ−ム:ニトロ)

信号の変化を円グラフで書くと解きやすい。
1.すべての信号(信号は永遠に続くとする。いきなり指定のスピードになる車を使用。)を青で通過するためには、2.2.kmを何秒の周期で進めば良いのかを考える。165秒周期以下を抽出。


残りは上記の倍数となる。

問題104の解答

周期から時速を算出する。:2.2q/(秒数/60/60)=2.2×60×60/秒数
144q/時(55秒周期)・96q/時(82.5秒周期)・72q/時(110秒周期)
48q/時(165秒周期)・36q/時(220秒周期)・32q/時(247.5秒周期)
28.8q/時(275秒周期)・24q/時(330秒周期)・20.6q/時(385秒周期)・・・・・

国道における車のスピードとしての答えは48q/時・36q/時・32q/時とする。

2.時速40kmで走ると、2.2qを(2.2/40)×60×60=198秒で通過する。
  計算方法:n番目の信号×198/165秒・・・余り1〜120の時信号は青
                         余り121〜125の時信号は黄
                         余り126〜164の時信号は赤

   1個目の信号の通過:198秒→青
   2個目の信号の通過:396秒→青
   3個目の信号の通過:594秒→青
答え 4個目の信号の通過:792秒→赤・待ち時間33秒





解答・その4

(ペンネ−ム:巷の夢)

問1.
 題意より信号の周期は120+5+40=165秒である。因って信号機のある2.2kmを165秒で走り抜ければ信号で止まることはない。即ち、2.2km/165秒=48km/時となる。

問2.
 時速40kmであるから2.2km行くには165×48/40=198秒かかる。即ち、198−165=33秒づつ黄信号、赤信号に近寄ることとなる。因って33秒づつの遅れが120秒以上になる台数を求めると120/33=3.6・・・であるから4台目の信号で止まることになる。
ところで、4台目に達したときの時刻経過は33×4=132秒であり、青信号後黄、赤信号になって12秒後である。即ち、黄と赤の信号継続時間45秒より12秒後に信号機に到着したことになる。以上より求めるものは45−12=33秒間待たされることになる。



解答・その5

(ペンネ−ム:JSミル)

この国道は2.2kmごとに信号が永遠に続く道で,問題の 速度を平均速度と仮定し,出発点の信号を1番目の信号とすると,

問1
すべての信号に到達した瞬間に信号が青にならなければ,いつかは信号に止まらな ければなりません.したがって,信号が青になってから,次に青になるまでの時間の 間に,次の信号にちょうど到達しなければならず,求める速度をXkm/hrとすると,

     X=2.2×60×60/120+5+40=48km/hr    答え 48km/hr

問2
 車は198秒かかり,2番目の信号に到達しますので,その時信号は,青になっ て198-165=33秒経過しています.3番目の信号には396秒後に到達し,その時信号は 青になって396-165×2=66秒経過しています.4番目には594秒後に到達し,同様 に594-165×3=99秒経過していますが,まだ青です.5番目の信号には792秒後に到達 し,792-165×4=132となり,132-120-5=7から,赤信号になって7秒経過したところ でこの信号に到達したことになります.

      答え 最初を含めて5番目の信号で,残り33秒待たなければなりません.




解答・その6

(ペンネ−ム:やなせ)

信号の距離間隔は2.2kmでシグナルの時間間隔は165秒ですから、2.2kmを平均165秒で走り抜ければ、 ず〜〜と青なのでノンストップですわ(燃料が有る限りってのが正解ですか?) 計算ですが

2.2km×3600(時間を秒に換算)÷165=48km

問い1の答えは時速48km/h

問い2は 時速40km/hですから各信号間を走るのに198秒かかります シグナルの間隔は165秒ですが、それに青の120秒足して2.2kmの場合は165〜285秒の間に 自動車は198秒で到達だから、セーフ
4.4kmのところは330〜450秒の間に通過すれば良いので自動車は396秒で到達なので ここもセーフ
こんな調子で計算していけば 8.8kmの地点で青の時間は660〜780秒になりますが車が到達するのは792秒なので 当然赤になっています。次に青になるのは825秒ですから

825−792=33秒待ちですね

スタートするところは0番目とすれば 4番目で信号待ちになりますわ

問い1の場合はあまり問題になりませんが車が時速40km/hに到達する時間は0としています 普通は道がすいていても約10秒ほどかかります。しかも前方の信号が赤だったらブレーキを踏むので 4〜7秒遅くなりますから待ち時間は10ほどもあれば良い方ですよ。



解答・その7

(ペンネ−ム:ちかひで)

(問1)すべての信号を青信号で通過しなければならないから ,信号1サイクル=165secで2.2km走らなければならない.

    ∴ (2.2/165)/3600=48.0(km/s)

答 48.0(km/s)

(問2)40.0(km/s)で2.2km走る時間は

   (2.2/40)×3600=198(s)

 信号の1サイクルは165secであるから,自動車が各信号を 通過する時刻とその信号が青になる時刻との差は,

信号No.時間差(通過時刻における青信号経過時間)
0(s)
198-165=33(s)
66(s)
99(s)

青信号に変わって99sec後に第3信号を通過し,次の第4区間を 走行中 21+45=66sec後に青信号,186sec後に黄信号に変わる .さらに12sec後(計198sec)第4信号(赤)に到着し停車.そ して,45-12=33sec後に青信号に変わり発車.

 答 第4番目信号で停車. 停車時間は33sec.

〔別解〕
 距離と時間の直行座標上で作図により解を求めることができ ますが,簡単ですので省略します.



解答・その8

(ペンネ−ム:三角定規)


(1)右のグラフの青線のように,すべての信号が赤から青に変わる瞬間に通過すれば題意が成り立つ。このとき速さは,



(2) 時速40km/時 で 2.2 km 走るのに



 よって,最初の赤信号は,165n+125≦198n≦165(n+1) を満たす最小の n を求めればよく,それは n=4。このとき,198×4=792,165×5=825 だから
4番目の信号で33秒待たされる。




解答・その9

(ペンネ−ム:杖のおじさん)

答え 4番目の信号、赤で停車して待ち時間は33秒です。
全ての信号を青で通過するには時速、約48Kで走れば良い

時速40kで走った時、黄色(120秒後)又は赤信号125秒後)で停車しますので 各信号の通過時間を次の式で求めます

     T=(2.2×Sn/40)×3600

各信号は165秒のサイクルで点滅しています

時速40kで走った時の通過時間

 通過時間スタート地点からの距離 
スタート0秒0.0km  
信号1198秒2.2km 165秒で青になって33秒後で通過
信号2396秒4.4km 330秒で青になって66秒後で通過
信号3594秒6.6km 495秒で青になって99秒後で通過
信号4792秒8.8km 660秒で青になって132秒後に到着

                                                         

従って待ち時間は
青信号は2分、黄色信号は5秒、赤信号は40秒なので
黄色信号は青色信号になってから120秒後
赤信号は青色信号になってから120秒+5秒後なので125秒後になります
次の青信号は120秒+5秒+40秒後なので165秒後になります
上の表を見ても信号3までは青で通過できます。信号4は660秒で青になって132秒後の到着なので、待ち時間は次の通りとなります。

         40−7=33秒です。

全ての信号を通過できる時速は2.2kmを165秒で走れば良い
時速=2.2*3600/165=48kmです。

アニメーションの信号機も165秒のサイクルで点滅しています。ストップウォッチ で計って見て下さい! このページを見ている間、動き続けています。コピーして使って頂いて結構です。



解答・その10

(ペンネ−ム:teki)

1 時速 48km
2 4つ目の信号(最初の信号を含まない。)、待ち時間 33秒

1は、ちょうど2分45秒で2.2kmを走ればいいので、時速は2.2÷2.75× 60=48km
2がちょっと厄介です。
時速40kmで走った場合、2.2km走るのに、2.2÷40×60=3.3分= 3分18秒かかります。
信号のサイクルは2分45秒ですので、1つの信号間で33秒ロスします。
3つ目の信号までは33×3=108秒のロスなので、青信号の2分の範囲ですが、 4つ目の信号 では33×4=132で120秒を12秒オーバーします。
つまり、4つ目の信号に到着するのは青信号が終わって12秒後、すなわち、赤信 号になって7秒後ということになります。
よって、待ち時間は40−7=33秒 ということになります。

* 1は模範解答としては時速48kmでいいのですが、 時速24kmでも、16kmでも、12kmでも、8kmでも同じことになりま す。
つまり、48の約数であれば、ぴったり青信号で到着するので、信号待ちを せずに通過が可能ですね。



解答・その11

(ペンネ−ム:高橋 道広)

答え (1)48 24 16 12...
(2)最初の信号機をいれて)5つ目の信号機 33秒

(1)
2.2km走ったときにちょうど青になると同じことの繰り返しになるから都合がよ い。そのような場合は 2.2kmを2分45秒の整数倍で走ったときである  2分45秒で走ったときは

   2.2÷(2.75/60)=48km/h

よって   48km/h 24km/h ... 48/n km/h となる (nは自然数)
ただしnが大きすぎると交差点を渡る前に赤になるので 適度な値

(2)
時速40kmで2.2km走ると時間は 2.2÷(40/60)=3分18秒かかります。 3分18秒-2分45秒=33秒 青になって33秒後に信号機を通過することになります 120秒÷33秒=3あまり21 ですから (最初の信号機をいれて)5つ目の信号機 で停車し2分45秒-33×4秒=33秒待つことになります。




解答・その12

(ペンネ−ム:よねぽん)

問題1
青が2分間,黄色5秒,赤40秒で点滅するので, 青が点滅するまでの時間は,11/4(分)間隔で点滅する。 自動車が,すべての信号を青で通過するためには,

 (a)11/4(分)までに次の信号を通過する場合
 (b)11/4(分)までに次の信号を通過しない場合

の二通りが考えられる。

(a)の時 信号が青に点滅する時に,自動車が信号にちょうど来ていれば,その後の信号がすべて青で通れるので, その速度(分速)vは,mを自然数とすると,

   v=2.2×m/(11/4)=4m/5・・・・・(1)

また,信号が赤と黄色の間は,自動車は信号と信号の間にいなければならない。 信号が赤と黄色となっている時間は3/4分間であるので,速度vは,

   v<2.2/(3/4)=44/15・・・・・(2)

を満たさなければならない
(1)(2)より,

   m<11/3

自動車が,すべての信号を青で通過するためには,m=1,2,3をそれぞれ(1)に代入すると

   v=4/5,8/5,12/5 (km/min)

時速に換算すると,

   =48,96,144 (km/h)

(b)の時
信号が青に点滅する時に,自動車が一つめの信号にちょうど来ていれば, その後の信号がすべて青で通れるので,nを自然数とすると,速度(時速)vは,

   v=2.2/(11n/4)×60=48/n

答えは,48/n (km/h) (nは1,2,3・・・・の自然数),96(km/h),144(km/h)

問題2
時速40(km/h)を分速v(km/min)に換算すると,

   v=40/60=2/3 (km/min)

自動車が,赤信号で止まる時に進んだ距離を2.2×m(km) (mは自然数),時間をt分とすると

   2.2×m=2/3×t

となり,この式をまとめると

   t=33/10×m  ・・・・(3)

また,信号が黄色,または赤信号になっている時間t分は,

   11/4×n + 2 < t < 11/4×(n+1)   (n=0,1,2,3・・・・) ・・・・・(4)

(3)式を(4)式に代入し,まとめると

   55n+40 < 66m < 55n+55

さらにまとめると,

   55n+40 < 55m+11m < 55n+55 ・・・・(5)

(5)式を満足させるmの最小値を求めると,

   40<11m<55

となり,m=4
出発する信号を0番目とすると,自動車が黄色または赤で止まる信号は4番目の信号となる。

また,その信号に到着する時間tは,m=4を(3)式に代入すると,

   t=66/5 (分)

(4)式の右の式にt=66/5を代入して,nが最小となる値を求めると n=4となり,次に青となる時間t'は,t'=55/4(分)となって, 自動車が待たされる時間は,

   55/4-66/5=11/20(分)=33(秒)

答えは,自動車は,4番目の信号で33秒待たされる



解答・その13

(ペンネ−ム:夜ふかしのつらいおじさん)

104.信号の問題

図のように、縦に信号の位置、横に1周期ごとの時間をとります。
原点は最初の信号が青になった直後を表します。
L=0は最初の信号、1つ上は2.2km先の2つ目の信号を表します。
t=0は最初に青信号になった直後、1つ右は(2分+5秒+40秒)=165秒後に青信号になった直後を表します。
座標(2,3)は、最初から(3+1)個目の信号が、(2+1)回目に青になった直後を表します。
直線の先の数は、それぞれの直線の傾きを表します。

図1は、5つの信号について、4×165秒=11分間を表しています。
傾き1の直線は、すべての信号を青になった直後に通過することを表しています。
傾き1は、時速 2.2/165×3600=48[km/h] を表します。
もし、信号に赤がなく、時速48km以上の速さなら、この11分の間に5つの信号を通過することができます。

図2は、各格子点の左に赤信号と黄信号を表す横線を書き込みました。
直線とこの横線が交われば信号で待つのでそれより先は進めないことを表します。
○印は信号にかからずに通過できること、×印は信号にかかることを表します。

図3で直線@は1つ目の信号を1回目の赤が終わって次の青になった直後に通過することを表しています。
直線Aは1つ目の信号を1回目の赤になる直前(黄の直後)に通過することを表しています。
直線Aの傾きは、1目盛り165秒分が赤信号と黄信号の時間45秒短くなっているので、165/120=1.375
同様に直線Cの傾きは、2×165/120=2.75
直線の傾き1の時速48kmを基準とします。
この結果から分かることは、時速48kmの1〜1.375倍、2〜2.75倍の速さでは信号で停止するということです。
さて、この問題では信号が無限に、時間も無限にあると考えます。

問1
この問題は、大変難しく、今のところ完全な答えはおじさんには分かりません。
例えば、図2の○印の場合には、すべての信号を通過できると思われます。
傾きでいうと、3,2,3/2,1,3/4,2/3,1/2,1/3,1/4などです。
時速でいうと、144,96,72,48,36,32,24,16,12などです。
他にも無数の速さがあります。例えば、48×1/n [km]という速さです。

傾きでいうと3より大きな場合は、どんな速さで行こうとどこかの信号にかかるのは容易に分かります。
傾き a1=n/m と a2=n/(m−45/165) = n/(m−3/11) の間に相当する速さでは、信号にかかります。
調べれば調べるほど、信号にかかる場合の範囲の個数が増えていきます。(手に負えなくなっていく)

どんな数がa1とa2の間に挟めるかを少し考えてみました。
nが4以上で、mとnが互いに素の場合には、適当なa1とa2の間に挟めるようです。
(この傾きに対応する速さでは信号にかかるということです)
・・・

開き直って、国道を走るのですから、早すぎても、遅すぎても問題があるので、時速48kmとしましょうか。

問2
時速40kmは、秒速40000/3600=100/9m です。
時速40kmは、図の傾きでいうと40/48=5/6 です。
a1として 4/5 を選ぶと、a2=4/(5−3/11)=11/13
4/5 (0.8) < 5/6 (8.333/・・) < 11/13 (8.46・・・)
4+1=5番目の信号には、4×2200÷(100/9)=792秒で着きます。
5番目の信号は、5×165−45=780秒後から黄・赤信号になります。
5×165−792=33秒間待つことになります。




解答・その14

(ペンネ−ム:Toru)


横軸に2.2kmを 1単位
縦軸に2分45秒を1単位として、正方形の格子をつくる。

 原点をとおって、右上がりの直線をひくと、傾きの逆数が速度となる。縦線との交 点が、信号機の地点で、これが青信号になるためには、2分/2分45秒 =120/165=8/11であるから、この交点が、常に格子の下8/11(両端を含む)に含まれる ように、直線をひかなければならない。

 直線の傾きが有理数の場合、m/n (m,nは正の整数で互いに素) とすると、 直線は 原点と格子点(n,m)を通り、その間の縦線との交点は (1,m/n) (2,2m/n) (3,3m/n)----(n-1,(n-1)m/n ) この時、これらの交点とすぐ下の 格子点との距離は、km(k=1,2,-----,m-1) を nで割った余りをrとしてr/nとなる。

 k≠k’の時、km-k’mはnで割り切れないから、r≠r’ 、よって、 m,2m,3m,----,(n-1)m をnで割った余りは全体として、1,2,3,----,n-1に等しい。 (n,m)より先もこのくり返し。よってrの最大値はn-1/nとなる。 したがって、青信号の範囲内に入るためには(n-1)/n≦8/11, n≦11/3 が必要かつ十 分で、これから、n=1,2,3 mは任意
n=1, m=1の時の速度を計算すると、2.2/165 x60x60=48km/h
よって求める速度は 48x(n/m) km/h (n=1,2,3 m=1,2,3,4,------)
まとめれば、288/M (km/h) ただしM=2,3,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18------ すなわ ちMは正の整数で、M≡0,2,3,4 (mod6)
すなわち、144,96,72,48,36,32,28.8,24,-------- km/h

 直線の傾きが無理数の場合 これをω>0とする。
xω-y (x=0,1,2,3,4、yは各々のxに対してxωを超えない最大の整数)を考える。4個 の区間 [0,1/4),[1/4,2/4),[2/4,3/4),[3/4,1)を考える( [は端を含む、(は端を 含まず )と、xω-y のxに0,1,2,3,4を与えた5個の数のうちすくなくとも2つは同 区間に属する。

 これらをx1ω-y1,x2ω-y2 (x1>x2、この時y1≧y2)とすると

|(x1ω-y1)-(x2ω-y2)|<1/4

x1-x2=x(>0) ,y1-y2=y(≧0) と置きなおせば、|xω-y|<1/4 00) y-xω<1/4 <3/11
0

問2
時速 40 km/hなら 2.2km までに2.2/40 x60x60=198秒≡33秒(mod 165)
よって、4番目の信号(スタート地点のものは含めず)で132秒(mod165)で赤信号、待 ち時間は165-132=33秒



正解者

teki 巷の夢 JSミル
Toru 杖のおじさん
ちかひで やなせ よねぽん
Love−M 高橋 道広 ニトロ
夜ふかしのつらいおじさん 三角定規





まとめ

解答の公開が遅れましたこと、お詫びいたします。

特に(1)の解答について、皆さんの深い洞察に敬服しています。 つまり、簡単に考えれば、信号間(2.2km)の距離を、信号のサイクル(165秒)に合わせて、 走ればいいというのが、基本的な解答と考えます。(道路事情などは無視したとして)
しかし、よくよく考えてみると解答はこれだけではないわけです。 基本の解48km/hの整数/整数も、条件を満たす可能性があります。 そこでそれを吟味していくわけです。これについては、 よねぽんさん夜ふかしのつらいおじさんToruさんの解答をご覧いただければと思います。

ただし、実際の道路では、144km/hというわけにはいきませんから、やはり48km/hというのが常識的ではあると思います。 それにつけても、なかなかこううまくはいきませんね。最近は、道路の混雑具合に合わせて信号の間隔を制御するという 試みもなされているようですが・・・。
杖のおじさん、本当に点滅する信号をどうもありがとうございました。





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