Weekend Mathematics／問題／時計の問題105
１０５．時計の問題
午前０時から正午までの間に、時計の長針と短針は何回重なりますか。ただし、午前０時と正午は含めないものとします。また、時間を足すのと同じ方法で、これらの重なった時刻をすべて足すと、合計ではいくらになりますか。
算数１００の難問・奇問
中村義作
奈良学園中
講談社ブルーバックス
解答・その1
（ペンネ−ム：足立of joy toy）
（-_-）たぶん一時間に短針と長針の開始位置が５分ほどずれる んで、そやから 0時はぴったりあってて そこから１２時間なので １時間ずれる なので10回重なるわけ うん！
解答・その2
（ペンネ−ム：ありひとフォ〜〜〜！！）
午前０時から正午まで、43200秒あります。 時計の長針と短針の１秒毎の角度をそれぞれ 表計算ソフトを用いて計算しました。
3
この計算をもとに、長針と短針が重なりあう時間を求めました。 上に示した結果より、 時計の長針と短針が重なりあうのは１０回。 重なった時刻をすべて足すと 215,995秒です。 時間に直すと、59時間59分55秒です。(Excelで計算していますので、誤差がでます。）
解答・その3
（ペンネ−ム：やなせ）
問題１の答えは１０回
問題２の答えは６０時間でした。Excelを使って、短針と長針の動きを見ました。
短針が１分間に進む角度 ３０÷６０＝０．５
短針が１秒間に進む角度 ０．５÷６０＝０．００８３３３３３３
長針が１分間に進む角度 ３６０÷６０＝６
長針が１秒間に進む角度 ６÷６０＝０．１
１回目の重なる時刻 1:05:27 ２回目の重なる時刻 2:10:55 ３回目の重なる時刻 3:16:22 ４回目の重なる時刻 4:21:49 ５回目の重なる時刻 5:27:16 ６回目の重なる時刻 6:32:44 ７回目の重なる時刻 7:38:11 ８回目の重なる時刻 8:43:38 ９回目の重なる時刻 9:49:05 １０回目の重なる時刻 0:54:33 時刻の合計 60:00:00
解答・その4
（ペンネ−ム：杖のおじさん）
答え 重なる回数 １０回 、 時間の合計 ６０時間です
時計の針が重なる時間は次の通りです
１回 １時５分＋５／１１分
２回 ２時１０分＋１０／１１分
３回 ３時１５分＋１５／１1分
４回 ４時２０分＋２０／１１分
５回 ５時２５分＋２５／１１分
６回 ６時３０分＋３０／１１分
７回 ７時３５分＋３５／１１分
８回 ８時４０分＋４０／１１分
９回 ９時４５分＋４５／１１分
10回 10時５０分＋５０／１１分
時間の合計は （１０×（１＋１０））÷２＝５５時間
分の合計は （（１０×（５＋５０））÷２＝２７５÷６０＝４時間余り３５分
端数の分の合計は （（１０×（５＋５０））÷２＝２７５÷１１＝２５分
上の時間を合計すると
（５５＋４）時間＋（３５＋２５）分＝６０時間です
解答・その5
（ペンネ−ム：三角定規）
時計の針は1分間に長針が6°，短針が30/60 °回り，短針は1時間に30°回るから h時m分に長針・短針が重なるとすると，
30(h＋m/60)＝6 m ∴ m＝(60/11)h
これが0時から12時までの時刻となるのは，h＝1，2，…，10 の10回 …［答］
1時60/11分＋2時120/11分＋…＋10時600/11分＝55時300分＝60時間 …［答］
解答・その6
（ペンネ−ム：ニトロ）
ます短針と長針が重なる回数は
１．１時台・２時台・・・９時台・１０時台 合計１０回
２．ｘ時ｙ分の時の短針・長針の位置を以下の様に表す。
長針＝ｙ／６０ ・・@式 時計一周を６０分割している。
短針＝（６０ｘ＋ｙ）／（６０×１２） ・・A式 時計一周を６０×１２分割している。
短針・長針が重なる時は @式＝A式より
ｙ／６０＝（６０ｘ＋ｙ）／（６０×１２）
ｙ＝６０ｘ／１１
∴短針・長針が重なっている時間を算出します。
１時台 ｘ＝１ ｙ＝６０×１／１１＝ ６０／１１
２時台 ｘ＝２ ｙ＝６０×２／１１＝ １２０／１１
３時台 ｘ＝３ ｙ＝６０×３／１１＝ １８０／１１
４時台 ｘ＝４ ｙ＝６０×４／１１＝ ２４０／１１
５時台 ｘ＝５ ｙ＝６０×５／１１＝ ３００／１１
６時台 ｘ＝６ ｙ＝６０×６／１１＝ ３６０／１１
７時台 ｘ＝７ ｙ＝６０×７／１１＝ ４２０／１１
８時台 ｘ＝８ ｙ＝６０×８／１１＝ ４８０／１１
９時台 ｘ＝９ ｙ＝６０×９／１１＝ ５４０／１１
１０時台 ｘ＝１０ ｙ＝６０×１０／１１＝６００／１１
Σｘ＝５５時間
Σｙ＝３３００／１１分＝３００分＝５時間
解答 ６０時間
解答・その7
（ペンネ−ム：寺脇犬）
午前０時００分には長短の針は 重なっている。 これから１２時間で 長針は12周、短針は１周するから 長針は短針と 11回重なり追い越す、つまり12時間に11回だから １２/１１ 時間ごとに重なり追い越すが、長短の針は 各々一定速で 移動しているから それは 等間隔で起る。 そこで１回目の追い越しは午前０時００分から 12/11時間後だから
１時 60/11分におこる。
ここで ちょっと疑問、追い越すとき イコール 重なるとき でいいのかな？ そこで １時００分から ２時００分の間で 長短の針が重なるときを 求めると
6x =0.5x +30 より x = 60/11
だから １時００分から 60/11分後で 重なるのは １時 60/11分 となって 追い越すとされるときと同じになるから 追い越すとき イコール 重なるとき でいいらしい。 因みに １１回目の重なり追い越しは、
12/11 時間 × 11 ＝ １２
より午前０時００分から１２時間後の正午だからはぶかれる。 従って１０回重なるが答えです。 次に 重なる時刻を全部足すと、
(12/11)+2 (12/11)+3(12/11)+4(12/11)+5(12/11)+6(12/11)+7(11/12)+8(12/11)+9(12/11)+10(12/11) ＝ ６０
答え ６０時間
解答・その8
（ペンネ−ム：ちかひで）
時針と分針の0時からの回転角度をθとします。
時刻ｔと時針の角度θとの関係を時間単位で表すと，
ｔ1＝（12/360）×θ
分針の場合は時間（回転数）をTで表して
ｔ2＝（1/360）×θ＋Ｉ ・・・・・・・・@
但し、Ｉ＝1,2,・・,11 Ｉ＝0と12は所与条件により除く。
ｔ1＝ｔ2だから
θ＝（360/11）×Ｉ ・・・・・・・・・・A
を得る。A式を@式に代入
ｔ1＝（12/360）×（360/11）×Ｉ＝（12/11）×Ｉ(hr)
Ｉ＝1,2,・・・,11について計算すると下表のようになります。
Ｉ 分時刻 分時刻合計 時間時刻合計 １ 5.455 65.455 1.091 ２ 10.909 196.364 3.273 ３ 16.364 392.727 6.545 ４ 21.818 654.545 10.909 ５ 27.273 981.818 16.364 ６ 32.727 1374.546 22.909 ７ 38.182 1832.727 30.545 ８ 43.636 2356.364 39.273 ９ 49.091 2945.455 49.091 １０ 54.545 3600.000 60.000 １１ 60.000 4320.000 72.000 ＡＮＳ．１．10回重なる。（Ｉ＝11は正午になる）
２．60時間
〔註〕θとｔの直交座標上で時針と分針の動きを表す２直線の 交点の座標を求める方法が、視覚的でわかり易い。
解答・その9
（ペンネ−ム：mhayashi）
１１時台は長針と短針が重なることはなく，午前０時ちょうども省くので 長針と短針が重なるのは１〜１０時の１０回．
a 時 b 分に長針と短針が重なるとすると 長針は 60 分間で 360 度進むので，b 分間で 6b 度進む．
短針は 12 時間で 360 度進むので（60 分間で 30 度進むので），
a 時間 b 分で 30a+b/2 度進む．
よって長針と短針が重なるのは 6b=30a+b/2 とときである．
すなわち b=60a/11
a は 1 から 10 の整数値をとるので代入すると
以上よりそれらの時間の合計は 60(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)/11=300
よって 55 時間 300 分，すなわち 60 時間となる．
解答・その10
（ペンネ−ム：teki）
１ １０回
２ ６０時間（時間と分を別に書けば、５５時間３００分）
時計の長針は１時間に３６０度、短針は１時間に３０度進みます。 ですから、重なるのは１２/１１時間に１回ということになります。 １時台から１０時台にそれぞれ１回ずつ重なるので、合計時間は
解答・その11
（ペンネ−ム：nao）
時計の長針は、５分で３０度、ですから１分で６度進みます。 短針は、１時間で３０度、ですから、１分で、３０÷６０＝１／２度すすみます。
最初、重なった状態から、次にまた重なるということは、長針が短針に追いつくとい うことです。つまり、３６０度先にいる短針を追いかけることと考えます。 １分で６度ー１／２度＝１１／２度 差が縮まります。 ３６０度の差が縮まるには、３６０÷（１１／２）＝３６０×（２／１１）＝７２０ ／１１分かかります。７２０／１１分たつと、長針が短針に追いつく、つまり重なり ます。 その次に重なるのは、また、３６０度の差を追いかけることになるので、同じ計算で、 ７２０／１１分後ということになります。つまり、７２０／１１分に一度づつ重なり ます。 ０時から正午までに何回重なるかということは、０時から正午までの１２時間の間に、 ７２０／１１分が何回あるかということです。
１２×６０＝７２０分
７２０÷（７２０／１１）＝７２０×（１１／７２０）＝１１回
最後の正午の重なりは入れないので、１１ー１＝１０回 が最初の答えです。
つぎに、重なった時刻を時間と考えてすべての和を出す問題です。 一回目に重なるまでの時間は７２０／１１分。二回目に重なるまでの時間は（７２０ ／１１）×２、三回目に重なるまでの時間は（７２０／１１）×３。・・・ そこで、１０回までの和は、
（７２０／１１）×（１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋１０）＝（７２０／１１）×（１１×１０／２） ＝３６００分
３６００÷６０＝６０時間
解答・その12
（ペンネ−ム：浜田 明巳）
長針は１時間に３６０°／１２＝３０°回転するので，１分間に３０°／６０＝(１／２)°回転する．
短針は１時間に３６０°回転するので，１分間に３６０°／６０＝６°回転する．
長針と短針が重なる時刻をｘ時ｙ分とすると，
(６０ｘ＋ｙ)×(１／２)＝ｙ×６
∴６０ｘ＋ｙ＝１２ｙ
∴６０ｘ＝１１ｙ
∴ｙ＝６０ｘ／１１
故に重なる時刻はｘ時(６０ｘ／１１)分となる．つまり１回重なってから次に重なるまで１時間(６０／１１)分かかる．
つまり正午の直前に重なるのは，１０時台である．
故にｘ時(６０ｘ／１１)分で，ｘ＝１，２，３，・・・，１０を代入し，その総和を求めればよい．
故に求める答は，
１時(６０／１１)分×(１＋２＋３＋・・・＋１０)
＝１時(６０／１１)分×(１０・１１／２)
＝１時(６０／１１)分×５５
＝５５時(６０・５)分
＝６０時
＝２日１２時・・・(答)
解答・その13
（ペンネ−ム：ＪＳミル）
さて，問題105の答えですが，午前0時から正午までに長針と短針の重なる回数は10回です．
短針はその12時間＝720分の間に360度回りますので，1分間に1/2度動きます．
長針は60分間の間に360度回りますので，1分間に6度動きます．
したがって，短針，長針が重なり合うまでの時間をＸｎ（Ｘ＞60，ｎ＝Ｎ）分とすると， 後には短針がＸｎ/2度，長針が6Ｘｎ−360Ｎ（1≦Ｎ≦10，Ｎは整数）度動きます． よって，Ｘｎ/2＝6Ｘ−360Ｎとなり，Ｘｎ＝720Ｎ/11（1≦Ｎ≦10，Ｎは整数）となります．したがって，
合計時間＝Ｘ1＋Ｘ2＋・・・・＋Ｘ10＝720×（1＋2＋・・・・＋10）/11＝3600分 ＝60時間
解答・その14
（ペンネ−ム：巷の夢）
長針の一分間の進み角度は6°、短針は1/2°である。また題意より0時から１時までの間には重ならないことは明らかである。更に11時と正午の間でも重ならない。因って、1時以降の重なる分をｔとすると、
30°＋ｔ/2＝6ｔ
が成立する。これを解いてｔ＝60/11となる。後は同様な考察から、同様な式が9個立てられるので、長針と短針の重なる回数は10回である。
先程の計算を繰り返すとｔとして60/11、120/11、・・・・600/11となる。因ってこれらを加え、
（60/11）（1＋2＋・・・・＋10）＝（60/11）（11×10/2）＝300分＝5時間
となる。これに1時から10時の和である55時間を加え、求めるものは60時間となる。
解答・その15
（ペンネ−ム：Toru）
長針は短針を、１時から２時で一回、２時から３時で一回、３時から４時で一回、 ４時から５時で一回、５時から６時で一回、６時から７時で一回、７時から８時で一 回、８時から９時で一回、９時から１０時で一回、１０時から１１時で一回、追いこ すから、計１０回重なる。
これらのうち、１時から２時で重なる時と１０時から１１時で重なる時は左右対称 で、この和は１２時間になる。同様に２時から３時と９時から１０時、３時から４時 と８時から９時、４時から５時と７時から８時、５時から６時と６時から７時を、組 で考えれば合計は12x5=60時間
＜別解＞
k時から（k＋１）時の間(k=1,2,----,10)で、長針と短針が重なる時間をk時x分と すると 5k+x/12=x からx=60k/11 よって針の重なる時間はk時60k/11分（割り切れな いのでちょっとすっきりしませんが）これをk=１〜１０まで足しあわせて、
から55時間300分=60時間
解答・その16
（ペンネ−ム：ドンキー）
まず、午前０時台と11時台は長針と短針は重ならないので、重なるのは１時台から10時台までのそれぞれ１回ずつだから10回 ・・・（答）
次に、ｋ時台で重なるときの時刻を考える。
ｋ時になると長針は12、短針はｋの目盛を指す。
そこからｍ分経つと、長針はｍ分、短針は（ｍ/12）分の目盛だけ進むので、 長針と短針が重なるときには、
ｍ＝5ｋ＋（ｍ/12）
∴ ｍ＝60ｋ/11
すなわちｋ時台で長針と短針が重なる時刻はｋ時（60ｋ/11）分である。
したがってその時刻を合計すると、上の時刻でｋを１〜10として加えればよいので
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10（時間） 60（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）/11（分）
よって 55時間300分
すなわち 60時間 ・・・（答）
＜別解＞
（10回を導くのは同じ）
ここで、１時と11時の状態の時計を用意します。
この２つの時計の針の位置は、12と６の目盛を結ぶ線分（Ｌとします）に関して線対称です。
ここから、１時の時計のほうは時計回りに、11時の時計のほうは反時計回りにそれぞれ同じ速度で針を動かすと、 これもまたＬに関して線対称にふるまいます。
したがって始めに１時だった時計が１時ｋ分を指していれば、 始めに11時だった時計は11時（-ｋ）分、つまり10時（60-ｋ）分を指していることになります。
このことはもちろん、それぞれの時計の短針と長針が重なったときに関しても言えますから、 重なった瞬間のこの２つの時計の時刻を足すと、ｋと-ｋが打ち消しあって、結局12時間になります。
上では１時と11時に関して考えましたが、２時と10時、３時と９時、４時と８時、５時と７時についても同じです。
６時は線対称の軸Ｌそのものなので、考えなくてもいいですから、答えは
12×５＝60（時間）
となります。
解答・その17
（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん）
この時計は５分ごとに太線があるタイプのものとします。
（１、２などの文字は書いてない）
午前０時から時計の様子をビデオに撮影していたとしましょう。
（このビデオは逆回転可能な機能を持っているとします）
午前０時の次に時計の長針と短針が重なったとき（ｎ＝１）からビデオを逆回転をさせます。
その様子を鏡に映して見てみましょう。
すると不思議なことに、正午の前に時計の長針と短針が重なったとき（ｎ＝１０）から正午にかけての様子と全く同じです。
これは、ｎ＝１のときの時間とｎ＝１０のときの時間を足すと１２時間になることを意味します。
同様にｎ＝２のときの時間とｎ＝９のときの時間を足すと１２時間になります。
ｎ＝３のときとｎ＝８のときの時間、ｎ＝４のときとｎ＝７のときの時間、ｎ＝５のときとｎ＝６のときの時間をそれぞれ足せばそれぞれ１２時間になります。
だから、１２×５＝６０時間です。
こう考えれば長針と短針が重なったときの正確な時間を知らなくても合計の時間は計算できます。
＜別解＞
時計の長針は６０分で３６０度回るので、３６０／６０＝６［度／分］の速さです。
短針は６０分で３０度回るので、３０／６０＝１／２［度／分］の速さです。
午前０時からの時間をｔ分とし、長針と短針が重なった回数をｎとすると、
６ｔ−３６０ｎ＝１／２・ｔ ・・・ @
０＜ｔ＜１２・６０＝７２０ ・・・ A
@よりｔ＝２／１１・３６０ｎ＝７２０／１１・ｎなので、
０＜７２０／１１・ｎ＜７２０
０＜１／１１・ｎ＜１
となり、ｎ＝１、２、３、４、５、６、７、８、９、１０つまり１０回です。
また、時間の合計は、
７２０／１１・（１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋１０）
＝３６００［分］
＝６０［時間］
となります。
解答・その18
（ペンネ−ム：蜘蛛の巣城）
一般論から述べると、任意の位置から短針が1回転する間、長針は12回転します。従って長短針の重なる機会は11回です。この場合の1回転というのは、最初の位置をあらわす一般角 について
区間[θ−２π,θ) または (θ−２π,θ]
を意味します。 すなわち、端点の一方を閉じ他方を開いた1回転ですね。 0時から12時の1回転で、0時と12時の長短針の重なりを除くのが問題の条件ですが、もともと一方は除かれていて新たに他方を除くことになりますから、長短針の重なる機会は10回です。
透明な文字盤があって、表の世界で時は0時から12時に進行し、裏では12時から0時へ逆行するものとします。一般に、任意の時刻において（時間を加えるようにして）表裏の時刻を足せば12時間になるのは明らかです。
10回の重なる機会が何時何分であろうと、表裏の時刻の和はそれぞれ12時間。合計120時間。10回の機会は文字盤の左右に5回ずつ対称にあらわれますから、表の合計と裏のそれとは等しく、従って表裏の世界を分けてそれぞれ60時間です。 これを要するに、等差数列の和を求めたのでした。
正解者
杖のおじさん 浜田 明巳 teki ＪＳミル 巷の夢 Toru nao 足立of joy toy 夜ふかしのつらいおじさん ドンキー ちかひで ニトロ やなせ ありひとフォ〜〜〜！！ 蜘蛛の巣城 mhayashi 寺脇犬 三角定規
この問題のおもしろいところは、長針と短針が重なる時刻を正確に求めることなく、 解答にたどりつけるということでしょうか。 １２時間の間に、短針と長針が何回転するかを考えれば、１番の答えを出すことができます。 ２番については、長針と短針が重なる時刻から再び重なる時刻までの間隔が常に一定であるということに気づけば、等差数列の和を求めればいいということになります（この場合は重なる時刻を求める必要があります）。 また、何人かの方からご指摘のあるように、対称性をうまく使うと、 足して１２時間、それを５セットと考えるとあっという間に答えにたどりつけますね。
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