Weekend Mathematics問題/106長方形の問題



106.長方形の問題

長方形ABCDが下の図のようにあります。点PはAからBの方向へ毎秒2cm、 点QはCからDの方向へ毎秒3cmの速さで、それぞれがA,Cを同時に出発しました。 PQが辺ADと平行になるのは、出発してから何秒後ですか。 また、台形APQDと台形BPQCの面積の比が5:7になるのは、出発してから何秒後ですか。




問題の出典


算数100の難問・奇問
中村義作
灘中
講談社ブルーバックス




答えと解説





答えと解説

解答・その1

(ペンネ−ム:JSミル)

辺ADとPQが平行になるのは,24秒後で,台形APQDと 台形BPQCの面積比が5:7になるのは20秒後だと思います.



解答・その2

(ペンネ−ム:やなせ)

問1の答えは24秒後です。

辺ADに平行だからAP=DQの場合ですよね
APの長さはP点移動速度が2cm
求める時間をnとしたら
AP=2nで求められます。
次にDQ+CQ=DCだから
Q点移動速度が3cmなのでCQ=3n
これから
DQ=120−3n・・こうだと思うけど
まぁ気にせず進めましょうか
上の条件から?
2n=120−3n
2n+3n=120
n=24

問2の答え20秒後です

面積比が5:7を求めれば良いわけですから
台形APQDの面積が長方形ABCDの面積の
5/12になる所を求めれば良いんじゃないかな
長方形ABCDの面積は
50×120=6000だから
求める台形APQDの面積は2500になる所ですな
問1で使った式を元にして
台形APQDの面積が2500になるには
こんな式で出ると思います。
(2n+(120−3n))×50÷2=2500
(−n+120)×25=2500
120−n=100
−n=100−120
n=20




解答・その3

(ペンネ−ム:杖のおじさん)

答えはアイコンが教えてくれました!
問題の解答を私のために25秒間考えて、答え@Aを15秒間表示してくれました!

答え
ADとPQが平行になる時間は24秒後です。
面積が5:7となる時間はスタートしてから20秒後です。

長方形ABCDの面積S=120×50=6000
台形APQDの面積をS、PBCQの面積をSとして5:7となる時間を求めます。

   S:S=5:7
   S=(6000/12)*5=2500
   S=6000−2500=3500

が2500になる時間をTとすると次の式が成り立ちます。

   50×((2×T)+(120−(3×T)))/2=25×(120−T)=2500
   120=100+T
   T=20

答え20秒後です

ADとPQが平行になる時間は次の式で求めます
平行になる時間をTとします。

   T×2=120−T×3
   5×T=120
   T=120/5=24

答え24秒後です



解答・その4

(ペンネ−ム:ニトロ)


1.経過した時間をT秒として、点Pの位置をXp、点Qの位置をYpを表すと、

   X=2×T
   Y=120−3×T

辺ADに平行となるのは、X=Yとなる時

   ∴2T=120−3T
   5T=120
   答え T=24秒

2.

台形APQDの面積=(X+Y)×50/2
=(2T+120−3T)×50/2
=(120−T)×50/2 ・・・・・@式

台形BPQCの面積=(120−X+120−Y)×50/2
=(120−2T+120−120+3T)×50/2
=(120+T)×50/2 ・・・・・A式

面積比が5:7なので

   5:7=@式:A式=(120−T)×50/2:(120+T)×50/2
   5×(120+T)=7×(120−T)
   600+5T=840−7T
   12T=240
   答え T=20秒

2.<別解>台形APQDの面積が2500pの時、面積比が5:7となるので

   @式=(120−T)×50/2=2500
   120−T=100
   T=20秒




解答・その5

(ペンネ−ム:Ozk)

AP=x , CQ=yとすると、点PはAからBの方向へ毎秒2cm、点QはCからDの方向 へ毎秒3cmの速さで進むので、2点P,Qが点A,Cを出発してからt秒後のx,yの長さは x=2t、y=3tと表せる。

(1)
PQが辺ADと平行になる時刻をtとする。 PQ//AQとなるとき、AP=DQである。

   DQ=DC-QC=120-y また AP=x

よって、120-y=xが成り立ち、x=2t、y=3tを代入して

   120-3t=2t

これを解いて t=24
よって出発してから24秒後にPQが辺ADと平行になる

(2)
台形APQDと台形BPQCの面積をそれぞれS1、S2とおく。

   S1=(AP+DQ)*AD/2 = (x+120-y)*AD/2
   S2=(PB+QC)*BC/2 = (120-x+y)*BC/2

ここで、AP=BC=50cmなので

   S1:S2=(x+120-y)*AD/2:(120-x+y)*BC/2 =(x+120-y):(120-x+y)=5:7

ゆえに

   5(120-x+y)=7(x+120-y)

この式にx=2t、y=3tを代入して

   5(120-2t+3t)=7(2t+120-3t)

これを解いて t=20
よって出発してから20秒後に台形APQDと台形BPQCの面積の比が5:7になる



解答・その6

(ペンネ−ム:ちかひで)

Dを原点とする直交座標を考える。
1.t秒後の点Pのx座標:x1=2t
      点Qのx座標:x2=120-3t
  PQが辺ADと平行になるときx1=x2
    ∴2t=120-3t
     t=120/5=24(s)

2.APQDの面積A1,BPQCの面積A2とする。
    A1={2t+(120-3t)}×50/2
    A2={(120-2t)+3t}×50/2
    5/7=A1/A2={2t+(120-3t)}/{(120-2t)+3t}
           =(120-t)/(120+t)
   ∴5{120+t)=7(120-t)
    600+5t=840-7t
    t=240/12=20(s)

Ans.PQが辺ADと平衡になるのは24秒後。
台形APQDと台形BPQCの面積の比が5:7になるのは20秒後。




解答・その7

(ペンネ−ム:mhayashi)

t 秒後に PQ が AD と平行になったとする.
つまり AP=DQ の状態であり
2t=120-3t が成り立つ.
よって t=24 より,PQ が AD と平行になるのは 24 秒後.

u 秒後に台形APQDと台形BPQCの面積比が 5:7 になったとする.
台形APQD=(2u+120-3u)*50/2=25(120-u)
台形BPQC=(120-2u+3u)*50/2=25(120+u)
これらより (120-u):(120+u)=5:7 を解いて u=20
よって台形APQDと台形BPQCの面積比が 5:7 になるのは 20 秒後



解答・その8

(ペンネ−ム:T_Tatekawa)

点 P, Q が進んだ距離の合計が 120cm になる時が,PQ が 辺 AD と 平行になる時なので,

   120 / (3+2) = 24 秒後

台形 APQD と 台形 BPQC の面積の比が 5:7 になった時,各々の面積は

   APQD: 50*120 * 5/(5+7) = 2500 cm2
   BPQC: 50*120 * 7/(5+7) = 3500 cm2

最初はこれらの台形の面積は

   50 * 120 / 2 = 3000 cm2

である.1秒ごとに台形 BPQC の面積は

   (3-2) * 50 /2 = 25 cm2

ずつ増加するので,面積の比が 5:7 になるのは,

   (3500-3000) / 25 = 20 秒後





解答・その9

(ペンネ−ム:寺脇犬)

平行になるまでの秒数を x とすると

   AP=2x    CQ=3x

図のPから DCに下ろした垂線の足を M、 Qから ABに下した垂線の足を Nとする。 PQがADと平行になるとは

   PQ=PM、PQ=QN

になること。これは 長方形PMQNを考えて、 PMとQNが重なると 対角線PQはPM、QNと一致する。 とすると

   2x + 3x = 120

が言えて  これを解いて、x=24

   答え 24秒後

次に 面積比が 5;7 になるまでの秒数を yとすると

   AP=2y CQ=3y

で長方形ADCBの面積を 5:7 に分けると

   台形ADQP=2500
   台形PQCB=3500

それから 長方形PMQNを 対角線PQで分けると

   三角形PMQ = 三角形QNP

そして 長方形ADMP=100y
    長方形NQCB=150y

以上より

   台形ADQP ー 長方形ADMP= 三角形PMQ
   台形PQCB ー 長方形NQCB= 三角形QNP

これより
2500ー100y =3500−150y
       y= 20

答え 20秒後




解答・その10

(ペンネ−ム:浜田 明巳)

x秒後にAD//PQとなるとする.
 AP=DQとなればよいから,
  2x=120−3x
  ∴5x=120
  ∴x=24
 故に24秒後である.

 次にx秒後に台形APQD:台形BPQC=5:7になるとする.
 台形APQD+台形BPQC=長方形ADCBなので,
  台形APQD=5/(5+7)×長方形ADCB
  ∴{2x+(120−3x)}×50/2=5/12×50×120
  ∴120−x=100
  ∴x=20
 故に20秒後である.

また図形の問題なので,Visual Basicでも解いてみた.やはり同じ結果となった.

Option Explicit
Sub Form_Load()
    Dim waku As Double
    waku = 5
    Picture1.Scale (-waku, 85 + waku)-(120 + waku, -35 - waku)
    Picture1.BackColor = vbWhite
    Picture2.BackColor = vbWhite
    Picture2.Picture = LoadPicture("mondai106a.gif")
    Picture3.BackColor = vbWhite
End Sub
Sub Command1_Click()
    Call keisan(1)
End Sub
Sub Command3_Click()
    Call keisan(2)
End Sub
Sub keisan(ByVal mondai As Integer)
    Dim Ax As Double
    Dim Ay As Double
    Dim Bx As Double
    Dim By As Double
    Dim Cx As Double
    Dim Cy As Double
    Dim Dx As Double
    Dim Dy As Double
    Dim Px As Double
    Dim Py As Double
    Dim Qx As Double
    Dim Qy As Double
    Dim Pxx As Double
    Dim Qxx As Double
    Dim t As Double
    Dim tt As Double
    Dim t_min As Double
    Dim t_max As Double
    Dim t_min0 As Double
    Dim t_max0 As Double
    Dim kizami As Double
    Dim sa As Double
    Dim min As Double
    Dim dankai As Integer
    Dim dankai_max As Integer
    '
    Ax = 0
    Ay = 50
    Bx = 120
    By = 50
    Cx = 120
    Cy = 0
    Dx = 0
    Dy = 0
    Py = 50
    Qy = 0
    t_min0 = 0
    t_max0 = 120 / 3
    kizami = 0.1
    min = 1000000
    dankai_max = 14
    For dankai = 1 To dankai_max + 1
      If dankai = 1 Then
        t_min = t_min0
        t_max = t_max0
      ElseIf dankai <= dankai_max Then
        t_min = max2(tt - kizami, t_min0)
        t_max = min2(tt + kizami, t_max0)
        kizami = kizami * 0.1
      Else
        t_min = tt
        t_max = tt
      End If
      For t = t_min To t_max Step kizami
        If dankai <= dankai_max Then
          Px = 2 * t
          Qx = 120 - 3 * t
          If mondai = 1 Then
            sa = Abs(Px - Qx)
          Else
            sa = Abs((0.5 * (Px + Qx) * Ay) / (0.5 * ((Bx - Px) + (Cx - Qx)) * Ay) - 5 / 7)
          End If
          If min > sa Then
            min = sa
            tt = t
            Pxx = Px
            Qxx = Qx
            Picture3.Cls
            If mondai = 1 Then
              Picture3.Print tt; "秒後(?), |AP-DQ|="; min
            Else
              Picture3.Print tt; "秒後(?), |台形APQD/台形BPQC-5/7|="; min
            End If
          End If
          Picture1.Cls
          Picture1.Line (Pxx, Py)-(Qxx, Qy), vbGreen
        Else
          Px = Pxx
          Qx = Qxx
          Picture3.Cls
          If mondai = 1 Then
            Picture3.Print tt; "秒後, |AP-DQ|="; min
          Else
            Picture3.Print tt; "秒後, |台形APQD/台形BPQC-5/7|="; min
          End If
          Picture1.Cls
        End If
        Picture1.Line (Ax, Ay)-(Bx, By), vbBlack
        Picture1.Line -(Cx, Cy), vbBlack
        Picture1.Line -(Dx, Dy), vbBlack
        Picture1.Line -(Ax, Ay), vbBlack
        Picture1.Line (Px, Py)-(Qx, Qy), vbBlack
        Picture1.CurrentX = Ax
        Picture1.CurrentY = Ay
        Picture1.Print "A"
        Picture1.CurrentX = Bx
        Picture1.CurrentY = By
        Picture1.Print "B"
        Picture1.CurrentX = Cx
        Picture1.CurrentY = Cy
        Picture1.Print "C"
        Picture1.CurrentX = Dx
        Picture1.CurrentY = Dy
        Picture1.Print "D"
        Picture1.CurrentX = Px
        Picture1.CurrentY = Py
        Picture1.Print "P"
        Picture1.CurrentX = Qx
        Picture1.CurrentY = Qy
        Picture1.Print "Q"
      Next t
    Next dankai
End Sub
Sub Command2_Click()
    Unload Me
End Sub
Private Function min2(ByVal x As Double, ByVal y As Double) As Double
    If x < y Then
      min2 = x
    Else
      min2 = y
    End If
End Function
Private Function max2(ByVal x As Double, ByVal y As Double) As Double
    If x > y Then
      max2 = x
    Else
      max2 = y
    End If
End Function









解答・その11

(ペンネ−ム:解答ルパン)

(1)辺ABとPQが平行になるには、APの長さとDQの長さが等しくなるときですので、 Pの速度は2cm/sec Qの速度は3cm/sec ですので、経過時間t[sec]とおくと

   AP=2・t
   DQ=120−3・t
   AP=DQ

となるので、これを解くと

   2・t=120−3・t
   ∴t=24sec 

よって24秒後です。

(2)台形APQDと台形BPQCの面積の比が5:7となるときは 台形の高さが等しいので (上底+下底)の比が5:7となる時間を求めればよいので、

   PB=120−2・t
   QC=3・t

題意より(AP+DQ):(PB+QC)=5:7 ですから

   (2・t+120-3・t):(120−2・t+3・t)=5:7
   7・(t−120)=5・(120+t)
   ∴t=20sec

よって20秒後です。




解答・その12

(ペンネ−ム:高校教員志望の中学校数学教員)

(1) PQが辺ADと平行になる場合
x秒後に平行になるとすると、

   AP=2x   ・・・@
   CQ=3x 
   DQ=CD-CQ=120-3x ・・・A

平行になるときはAP=DQなので、 @Aより

   2x=120-3x
   5x=120
   x=24

よって、24秒後に平行になる!!

(2) 台形APQDと台形BPQCの面積の比が5:7になる 場合
この場合がy秒後とすると、
台形APQDの面積をSa、台形BPQCの面積をSbとすると、5:7なので、

   5Sb    = 7Sa
   5(CQ+BP) = 7(AP+DQ)
   5(3y+120-2y) = 7(2x+120-3x)
   12y = 240
   y = 20

よって、20秒後に、台形APQDと台形BPQCの面積の比が 5:7になる



解答・その13

(ペンネ−ム:のっこん)

@平行
t秒後のAP=2t、DQ=120−3t
等しいとおいて t=24

A5:7
t秒後のAP=2t、DQ=120ー3t

   AP+DQ=120−t

t秒後のPB=120−2t、QC=3t

   PB+QC=120+t

(120−t):(120+t)=5:7とおいてt=20

50cmというのは不要ですね



解答・その14

(ペンネ−ム:巷の夢)

(1)平行となる出発後の秒数を t とすると、 題意より 2t = 120-3t が成立する。これより求める t は24秒後である。

(2)両方とも台形であり、高さは等しい。因って面積比は上底と下底の和に比例するので、 (3t+120-2t) / (2t+120-3t) = 7/5 が成立する。これを解いて t= 20となる。 因って求めるものは 20秒後である。




解答・その15

(ペンネ−ム:夜ふかしのつらいおじさん)

点PとQが出発してから経過した時間をt 秒とします。
PQが辺ADと平行になるのは、APの長さとDQの長さが等しいときなので、

   2t=120−3t

∴ t=24 後です。(赤の図)

また、台形APQDと台形BPQCの面積の比が5:7になるのは、

台形APQD:台形BPQC
(2t+120−3t)×50÷2:(120−2t+3t)×50÷2
(120−t):(120+t)=5:7

なので、
t=20 秒後です。(緑の図)







解答・その16

(ペンネ−ム:ドンキー)

点Qが最初に点Dに到達したあとの点の動き方が書いていないので、その時点までで考えることにします。 点P,Qが出発した時刻を0とし、そこからt秒後の状態を考えると、AP=2t(cm),QC=3t(cm)です。
PQとADが平行になるとき、PB=QCなので

   AP+QC=AP+PB=AB=120(cm)

よって  2t+3t=120   ∴t=24(秒後) ・・・(答)

次に台形について考えます。
台形の面積は (上底+下底)×高さ÷2 で求められますが、 今、台形APQDと台形BPQCは高さが50(cm)で共通なので、 面積比は(上底+下底)の比と同じになります。 よってその面積比が5:7のとき、

   (AP+DQ):(PB+QC)=5:7
   {2t+(120-3t)}:{(120-2t)+3t}=5:7
   7(120-t)=5(120+t)

∴t=20(秒後) ・・・(答)

(面積比について別解)
まず、△ADC=△BAC=3000(cm2)です。 点P,Qが出発する前は、台形APQD=△ADC、台形BPQC=△BACと見ることが出来るので、 面積比は1:1です。が、ここでは6:6ととらえることにしましょう。
さて、点P,Qが出発します。 このとき、もし点Qが止まっていれば、台形APQDの面積は△APCの分だけ、つまり50t(cm2)だけ増えます。 また、もし点Pが止まっていれば、台形AOQDの面積は△CAQの分だけ、つまり75t(cm2)だけ減ります。 したがって点P,Qともに動くと、台形APQDの面積は 75t−50t=25t(cm2) だけ減ります。 この減り分は、台形BPQCの面積の増分と同じです。 最初、二つの台形は面積比6:6だったわけですから、 5:7になるとき、台形APQDが6のうち1の分だけ台形BPQCにあげたことになります。 つまり、台形APQDの減り分の25tが、最初の3000(cm2)の1/6になるわけです。 よって 25t=3000×1/6  ∴t=20(秒後)



解答・その17

(ペンネ−ム:Toru)

x秒後 AP=2x cm DQ=(120-3x) cm
1)PQがADと平行になるのはAP=DQの時で、2x=120-3x よりx=24 秒後
2)台形APQD:台形PBCQ=(AP+DQ):(PB+QC)=(120-x):(120+x)=5:7
より x=20 秒後

小学生が解くのだから、Xを使ってはいけないとすると、
1) 120cm の道のりを毎秒2cm+3cm=5cmで近づいて、出会った時に平行だから、 120/5=24 秒
2)台形の面積の公式を使っていいのかどうか分かりませんが、これもだめなら、 台形ADQPをΔADQとΔQAPとに分割するなどして、台形の面積比は(AP+DQ):(PB+QC)、 この和はAB+DC=240cmなので、これを5:7に分けると240x5/12=100より100cm と140cm 、 (AP+DQ)は120cmから毎秒2cm-3cm=-1cm より1cm減るから、 100cmになるまでの時間は20秒




解答・その18

(ペンネ−ム:nao)

PQがADと平行になるのは、APとCQの和が120cmになったときです。
APは一秒で2cm、CQは一秒で3cm進むので、
120÷(2+3)=24   答え 24秒後

つぎに、台形APQDと台形BPQCは、高さが同じなので、面積の比は上底と下底 の和の比になります。
また、AP+QDとBP+QCの和はつねに240cmです。
面積比が5:7になるということは、AP+QDが
240×5/(5+7)=100cm
BP+QCが
40×7/(5+7)=140cm
のときです。

AP+QDは、APが一秒間に2cmふえ、QDが一秒間に3cmづつ減っていくの で、合計で一秒間に1cmづつ減っていきます。
最初が120cmなので、100cmになるのは、 120ー100=20秒後になります。
確認のために、BP+QCでも考えると、BPは一秒間に2cmづつ減り、QCは一 秒間に3cmづつ増えるので、合計で1センチづつ増えます。
最初がこれも120cmなので、140cmになるのは、 140ー120=20秒後 であっています。
答え 20秒後



解答・その19

(ペンネ−ム:teki)

1 24秒後
2 20秒後

両方とも方程式で解けますね。
1は、x秒後のAPとDQの長さが等しければいいので、2x=120−3x を解 いて

x=24

2は、台形APQDの面積が2500cmになればいいので、
(2x+120−3x)×25=2500
→ (120−x)=100 で x=20

今月の問題の算数的な解法を考えてみました。 で、できたのが、以下の問題です。


問題

長さ120cmの線分ABがある。 点PはAから毎秒2cmでBに向かい、点QはBから毎秒3cmでAに向かって同時に進 む。 この時、次の問いに答えなさい。

(1) 点Pと点Qが出会うのは、出発してから何秒後か。

(2) 線分PQの中点をMとする。
   点Mが線分ABを5:7に内分するのは、出発してから何秒後か。


解答

(1) 120cmの距離を毎秒2cmと3cmの点が互いに向かい合って進むのですか ら、出会うのは、120÷(2+3)=24秒後。

(2) 2つの点の中点Mは、毎秒(3−2)÷2=0.5cmずつ左(A側)に移動しま す。これが、線分ABを5:7に内分するのは、中央から10cm左に移動した時で す。よって、10÷0.5=20秒後。





正解者

teki 巷の夢 nao
ドンキー T_Tatekawa やなせ
浜田 明巳 JSミル Toru
Ozk のっこん 夜ふかしのつらいおじさん
高校教員志望の中学校数学教員 ニトロ 杖のおじさん
解答ルパン ちかひで 寺脇犬
mhayashi





まとめ

この問題は、時刻を変数tとおいて、方程式を立てて解くというのが定石だと思いますが、 あえて方程式を用いずにアプローチしてみるのもおもしろいと思います。 何人かの方から、そういった解答を寄せていただきました。どうもありがとうございます。
また、のっこんさんがご指摘してくださっているように、 この問題を解く際に、長方形の高さ50cmというのは関係しませんね。 長方形を題材にしていますが、実は線分上の問題であるわけです。 それを、tekiさんが端的に表現してくださいました。





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