Weekend Mathematics／問題／問題11

１１．ボ−ルの問題

1. ヨ−ケル氏は、友人から９個の新品ゴルフボ−ルをもらいました。 その後、友人は、９個のうち１個は欠陥ボ−ルだったといってきました。 彼は、見ただけではまったく区別のつかないが、 欠陥ボ−ルは他のボ−ルよりほんの少し軽いので、 計り比べてみればわかるといっています。
   そこでヨ−ケル氏は、さっそく天秤を引っぱり出して、 １個ずつ組にして計り始めました。
   それを見ていた奥さんがニヤニヤしながら 「あなた、そんなことしなくても、２回計るだけで見つけだすことが できるわよ。」と言いました。 さて、どのように計ればよいのでしょうか。
   
   
2. 天秤を３回使っていいとしたら、 最大何個の中から１個の欠陥ボ−ル（他よりほんの少し軽い）を 識別できるでしょうか。
   
   
   

   欠陥ボ−ルが重いか軽いかわからないとすると、 少々ややこしくなります。
   
   
   

3. ４個の中の欠陥ボ−ル１個（重いか軽いかわからない） を判定するのに天秤を２回使えば判定できます。 どうしたらよいのでしょうか。
   
   
4. ９個の中の欠陥ボ−ル１個（重いか軽いかわからない） を判定するのには天秤を３回使う必要があります。 どうしたらよいのでしょうか。
   
   
   
   

問題の出典

別冊サイエンス

ひらめき思考　Ｐａｒｔ�U

日本経済新聞社

答えと解説

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答えと解説

（１）回答

（ペンネ−ム：フォルサ　ジャポン！！）

ボ−ルをそれぞれＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ、Ｉとする。
１回目、ＡＢＣとＤＥＦを計る。

• もし、同じならＧとＨを計る。
  それも同じならＩが軽い。
  それが違ったら軽い方。
  
• もし、ＡＢＣ（ＤＥＦ）の方が軽かったら、 ＡとＢ（ＤとＥ）を計る。
  同じだったらＣ（Ｆ）が欠陥ボ−ル。
  違ったら軽い方が欠陥ボ−ル。

（２）回答・その１

（ペンネ−ム：コレクトコ−ルは１０６番！）

１回目が終わった時点で９個まで絞れていればよい。 (1)の考え方でいくと、天秤を１回使うごとに ボ−ルの数が１／３に絞られていく。 というわけで、１回余計に使えるのだから、 ９×３＝２７で、最大２７個から判定できる。

（２）回答・その２

（ペンネ−ム：Ａｈ！Ｍｙ　Ｇｏｄｄｅｓｓ）

１回に天秤でわかる個数は３個。 ３回使っていいので、３^３＝２７個

（３）回答

（ペンネ−ム：ｅｓ）

４個のボ−ルをＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄとする。
この中からＡとＢを取り出して天秤で計る。

• つりあったとき
  Ｃ、Ｄのどちらかが欠陥ということになる。
  ＡorＢとＣを計ってつりあえばＤが欠陥、 つりあわなければＣが欠陥である。
  
• つりあわなかったとき
  Ａ、Ｂのどちらかが欠陥ということになる。
  ＡとＣorＤを計ってつりあえばＢが欠陥、 つりあわなければＡが欠陥である。
  

こうすれば２回で計れる。

（４）回答

（ペンネ−ム：Hungry Bear ）

ボールを３個ずつのグループに分け、 それぞれＡ，Ｂ，Ｃとする。
１回目　Ａ−Ｂ　２回目　Ｂ−Ｃ　を計ると、 下記の組み合わせになるが 、 題意（不良品は１個）より ７．８．９．はあり得ないので、 １〜６となる。
組み合わせ　　　　　　結果（不良品グループ）

1. Ａ＝Ｂ＞Ｃ　　　　　　　Ｃ　（軽い）
2. Ａ＝Ｂ＜Ｃ　　　　　　　Ｃ　（重い）
3. Ａ＜Ｂ＝Ｃ　　　　　　　Ａ　（軽い）
4. Ａ＞Ｂ＝Ｃ　　　　　　　Ａ　（重い）
5. Ａ＞Ｂ＜Ｃ　　　　　　　Ｂ　（軽い）
6. Ａ＜Ｂ＞Ｃ　　　　　　　Ｂ　（重い）
7. Ａ＝Ｂ＝Ｃ　　　　　　　×
8. Ａ＜Ｂ＜Ｃ　　　　　　　×
9. Ａ＞Ｂ＞Ｃ　　　　　　　×

（　＝：釣り合う　＜：右が重い（下）　＞：右が軽い（上）　）

３回目の測定
不良品グループの中のボールを　�@�A�B　とし �@−�A　を計る 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　結果（不良品）

• 不良品グループが重い場合
  　
  • �@＝�A　　　　�B　（もちろん重い）
    　
  • �@＜�A　　　　�A　（　〃　）
    　
  • �@＞�A　　　　�@　（　〃　）
    　
• 不良品グループが軽い場合
  　
  • �@＝�A　　　　�B　（軽い ）
    　
  • �@＜�A　　　　�@　（　〃　）
    　
  • �@＞�A　　　　�A　（　〃　）
    　

ＰＳ．“欠陥ボール”を勝手に“不良品”に置き換えました。 特別な意味はありませんが。

（４）回答・コメント

（４）の正解者は１人だけでした。 やはり、欠陥ボ−ルが重いか軽いかわからないというところが むずかしかったようです。
Hungry Bear さんの回答では 「１回目　Ａ−Ｂ　２回目　Ｂ−Ｃ　を計る」というところが、 一見すると無駄のように思えますが、 これによって欠陥ボ−ルが重いか軽いかまで決定できるというところが すごい！！と思います。

正解者（ペンネ−ム）

板垣 央

Hungry Bear

日本 一狂(ヒノモト イッキ)

フォルサ　ジャポン！！

狐の孔明有るは楢魚の水有るがごとし

コレクトコ−ルは１０６番！

ｅｓ

Ａｈ！Ｍｙ　Ｇｏｄｄｅｓｓ

久保　嘉晴

まとめ

（４）について私はこう考えました。

９個のボ−ルを Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ、Ｉとします。
天秤の両側にＡＢＣとＤＥＦをのせます。

1. もしつりあったならば、 欠陥ボ−ルはＧＨＩのどれかということになります。
   ＡＢＣ−ＤＥＦ
   次にＧとＨを天秤の両側にのせます。
   
   1. もしつりあえば、欠陥ボ−ルはＩです。
      Ｇ−Ｈ　　　　Ｉ
      
   2. もしつりあわなければ、次に正しいボ−ルであることが わかっているＡとＧを天秤の両側にのせます。
      つりあえば欠陥ボ−ルはＨであり、 つりあわなければ欠陥ボ−ルはＧです。
      Ａ−Ｇ　　　　Ｈ
      Ａ／or＼Ｇ　　Ｇ
      
2. つりあわなかった場合、仮にＤＥＦの方が重かったとします。
   ＡＢＣ＼ＤＥＦ
   次にＡＤとＢＥを天秤の両側にのせます。
   
   1. もしつりあえば、欠陥ボ−ルはＣかＦのどちらかです。
      ＡＤ−ＢＥ
      次に正しいことがわかっているＡとＣを天秤の両側にのせます。
      つりあえば、欠陥ボ−ルはＦですし、 つりあわなければ欠陥ボ−ルはＣということになります。
      Ａ−Ｃ　　　　Ｆ
      Ａ／or＼Ｃ　　Ｃ
      
   2. もし、ＢＥの方が重かったとすると、
      ＡＤ＼ＢＥ
      Ａが他より軽いか、Ｅが他より重いということになります。 そこで次に、正しいことがわかっているＢとＡを天秤の両側にのせます。
      つりあえば欠陥ボ−ルはＥですし、Ａの方が軽ければ欠陥ボ−ルはＡです。
      Ａ−Ｂ　　　　Ｅ
      Ａ＼Ｂ　　　　Ａ
      
   3. もし、ＡＤの方が重かったとすると、
      ＡＤ／ＢＥ
      Ｂが他より軽いか、Ｄが他より重いということになります。 そこで次に、正しいことがわかっているＡとＢを天秤の両側にのせます。
      つりあえば欠陥ボ−ルはＤですし、Ｂの方が軽ければ欠陥ボ−ルはＢです。
      Ａ−Ｂ　　　　Ｄ
      Ａ／Ｂ　　　　Ｂ
      
   
   起こりうる場合を過不足なく考えていくというのは 案外むずかしいものですね。
   
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