Weekend Mathematics問題/111の問題



111.ヤギの問題

図のような小屋のすみにヤギが7mのひもでつながれています。小屋のまわりには、 一面に草がはえています。ヤギが食べることのできる草地の面積を求めなさい。 ただし、ヤギの大きさは考えないものとします。

問題111の解説図






問題の出典


大人に役立つ算数の時間
手島勝朗 監修
永岡書店




答えと解説





答えと解説

解答・その1

(ペンネ−ム:みいた)

ひもが7メートルなのでヤギは円を描いて移動すると考えました。
   1×1×3.14÷4
   7×7×3.14÷4
   5×5×3.14÷4
   3×3×3.14÷4
すべての面積を足して 答えは 65.952




解答・その2

(ペンネ−ム:杖のおじさん)

答え 65.95平方メートル

問題111

ヤギ小屋の図の説明
CP=7m DQ=5m ER=3m CB=6m PB=7−6=1m=AB
DQ=7−2=5m=DR  ER=5−2=3m=EF

ヤギが食べることのできる草地の面積はS1、S2、S3、S4の面積の合計です。
S1はBを中心点として1mの円の4分の1の面積です。
S2はCを中心点として7mの円の4分の1の面積です。
S3はDを中心点として5mの円の4分の1の面積です。
S4はEを中心点として3mの円の4分の1の面積です。

従って次の式で計算します。
S=(12+72+52+32)/4×3.14 =65.95m2




解答・その3

(ペンネ−ム:ブラック)

問題111

このヤギが

   半径1mの4分の1円で動ける部分と
   半径7mの4分の1円で動ける部分と
   半径5mの4分の1円で動ける部分と
   半径3mの4分の1円で動ける部分とを

合計すれば答えが出る。よって・・・・・・

   
 1×1×3.14÷4
+7×7×3.14÷4
+5×5×3.14÷4
+3×3×3.14÷4
(1×1+7×7+5×5+3×3)×3.14÷4
65.94

これで

   65.94が

答えとなる。



解答・その4

(ペンネ−ム:浜田 明巳)

ひもの長さ7,ひもがつながれているくい(?)の位置を考えて,答は21πcm2となります.Visual Basicで解きました

Option Explicit
Sub Form_Load()
    Picture1.BackColor = vbWhite
    Picture1.Scale (-2.5, 14)-(12.5, -1)
    Picture2.BackColor = vbWhite
    Picture3.BackColor = vbWhite
    Picture3.Picture = LoadPicture("mondai111a.gif")
End Sub
Sub Command1_Click()
    Dim Ax As Double
    Dim Ay As Double
    Dim Bx As Double
    Dim By As Double
    Dim Cx As Double
    Dim Cy As Double
    Dim Dx As Double
    Dim Dy As Double
    Dim Ex As Double
    Dim Ey As Double
    Dim Fx As Double
    Dim Fy As Double
    Dim pi As Double
    Dim menseki As Double
    '
    Dx = 0
    Dy = 0
    Cx = 0
    Cy = 6
    Bx = 6
    By = Cy
    Ax = Bx
    Ay = By + 2
    Fx = Ax + 2
    Fy = Ay
    Ex = Fx
    Ey = 0
    Picture1.Cls
    Picture1.Line (Ax, Ay)-(Bx, By), vbBlack
    Picture1.Line -(Cx, Cy), vbBlack
    Picture1.Line -(Dx, Dy), vbBlack
    Picture1.Line -(Ex, Ey), vbBlack
    Picture1.Line -(Fx, Fy), vbBlack
    Picture1.Line -(Ax, Ay), vbBlack
    '
    pi = 4 * Atn(1)
    Picture1.Line (Ax, Ay + 5)-(Bx, By), vbRed
    Picture1.Line -(Cx - 1, Cy), vbRed
    Picture1.Circle (Bx, By), 7, vbRed, pi * 0.5, pi
    menseki = 7 * 7
    Picture1.Line (Fx, Fy)-(Fx + 3, Fy), vbRed
    Picture1.Circle (Ax, Ay), 5, vbRed, 0, pi * 0.5
    menseki = menseki + 5 * 5
    Picture1.Circle (Fx, Fy), 3, vbRed, pi * 1.5, pi * 2
    menseki = menseki + 3 * 3
    Picture1.Circle (Cx, Cy), 1, vbRed, pi, pi * 1.5
    menseki = menseki + 1 * 1
    menseki = menseki * 0.25
    Picture2.Print "面積="; menseki; "πcm2"
End Sub
Sub Command2_Click()
    Unload Me
End Sub

問題111





解答・その5

(ペンネ−ム:teki)

21π平方メートル

ヤギがつながれている紐の長さが7mなので、小屋の角に到達するごとに7→5→3 →1mと動ける半径が短くなります。
それぞれの紐の長さの時に動ける範囲は、1/4・π・r2 なので、合計21π 平方メートルですね。

<うがった答え>

   49π−20平方メートル

 この小屋が例えば、屋根と柱だけでできており、ヤギが小屋の中を自由に動き回 れるとすると 半径7mの円内から小屋の面積を引いた範囲の草を食べることができます。(問題文 には、小屋 の周りに草が生えており、小屋の中のことは書いていないので、小屋の中には草は 生えていな いと考えるのが妥当でしょう。)



解答・その6

(ペンネ−ム:T_Tatekawa)

問題110

小屋がなければヤギが動ける範囲はひもの長さを半径とした 円の内部。 しかし、ひもが小屋の角にぶつかると、小屋の長さの分だけ ひもが押さえつけられてしまい、動ける範囲は (ひもの長さ−小屋を囲むひもの長さ)を半径とする 円の内部になってしまう。

円を4等分して、角度90度の扇形を組み合わせていくと、 まず半径7mの扇形が描ける。左側に動くと、小屋の長さ 6m だけ ひもが抑えられ、左下に半径1mの扇形が描ける。 一方、右上に行くと、半径5mの扇形、半径3mの扇形が描ける。 よって求める面積は

( 7x7 + 5x5 + 3x3 + 1x1 ) x π /4 = 21 π

となる。
領域は添付した図の曲線で囲まれたところで、境界部を含む。




解答・その7

(ペンネ−ム:のっこん)

ヤギは半径7mの四分円内、半径1mの四分円内、 半径5mの四分円内、半径3mの四分円内を移動できるので、面積は

   (49+1+25+9)π÷4=21π(m2





解答・その8

(ペンネ−ム:巷の夢)

今回の問題は、私の大好きな軌跡問題で4箇所の角で紐の長さが、1、7、5及び3m に変わり、各々の箇所で1/4円を描くところがポイントですね。細かい計算は省略致し ますが、求める面積は21πp2となります。



解答・その9

(ペンネ−ム:夜ふかしのつらいおじさん)

ヤギが食べられる草地の面積は、半径が1,3,5,7の四半円の合計になります。
   S=1/4・(12+32+52+72)π=21π

問題111





解答・その10

(ペンネ−ム:ドンキー)

まずは下のように点A〜Fを決めます.

問題111

ヤギをつないでいるひもの長さは7mなので,何も障害物がなければ, ヤギは点Bを中心とする半径7mの円の内部を動くことが出来ます。 ただ,壁ABにより,ヤギはどれだけ頑張っても上図で直線ABより下の部分は, 点Aを中心として半径1mの円の内部しか動けません. 同じように,直線BCより右側は,点Cを中心とする半径5mの円, さらに直線CDより下側は,点Dを中心とする半径3mの円の内部しか動けません.

よって上の図のような範囲をヤギは動けます. 食べることの出来る草地の面積は,4分の1の円が4つあることから

   (1×1+7×7+5×5+3×3)×π×1/4=21π(m2)   ・・・(答)





解答・その11

(ペンネ−ム:やなせ)

問題110

ヒツジさんが出来るだけ小屋から離れて移動できる 軌跡を求めればその範囲内がヒツジさんが草を食べることが 出来る面積になります。
最初ヒツジさんは小屋に沿って右へC点まで移動し そこで綱が一杯になってので仕方なく下方面Dまで移動します。 それ以上はこちら方面へ移動できないので、仕方なくCに戻り 今度は綱が一杯に張りつめた状態でF点まで移動 そこから更に進んでH点まで、もう食いしん坊だから もう止まらず続いてI点まで移動 これが小屋から出来るだけ離れて移動できる軌跡です。 そこで面積ですが
A.Bは6mで綱は7mだからB.C間は1mになります。
次にA.E間は2mなのでE.F間は5mに
更にE.G間も2mなのでG.H間は3mになります。

そこで食べられた草原の面積ですがそれぞれの円の中心角は 90°なので各円の面積は全円の1/4になります。

1/4円A.F.Dの面積は
   7m×7m×π×1/4
1/4円E.F.Hは
   5m×5m×π×1/4
1/4円G.H.Iは
   3m×3m×π×1/4
1/4円B.C.Dは
   1m×1m×π×1/4
この合計になります π×1/4は共通なので

   (7×7+5×5+3×3+1)π÷4=84π÷4=21π

答え21πm2(約65.95m2





解答・その12

(ペンネ−ム:Toru)

絵を書いたつもりということにして、 求める面積は半径7m、1m、5m、3mの円の1/4をたしたものになるから、円周率 をπとすると

   (72+12+32+52)π/4=21π (m2)





解答・その13

(ペンネ−ム:解答ルパン)

問題111

上の図のように原点Oからヤギが動ける範囲は半径1m、3m、5m、7mの 1/4円の面積の総和になるので

   π×(12+32+52+72)/4=21π m2

となりました。




解答・その14

(ペンネ−ム:三角定規)

問題111

山羊が草を食べることができるのは右図の着色した4つの4分円内で,その面積は,

問題111






正解者

teki のっこん ドンキー
Toru 杖のおじさん ブラック
やなせ T_Tatekawa 巷の夢
解答ルパン 浜田 明巳 みいた
三角定規 夜ふかしのつらいおじさん





まとめ

今回も解答の公開が遅くなってしまい、ご迷惑をおかけしてしまいました。申し訳ありません。
今回に問題は、糸をピンとはって、その糸がはく面積を求めればいいですね。 皆さんから図を提供していただいています通り、半径の異なる1/4円を4つ組み合わせたものになります。
(小屋の中には、草がはえていないと考えましょう。)





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