１１２．円すいに巻いた糸の長さ
下の図のような円すいがあります。この底面の周上の点Ａから円すいにひもを２回り巻きつけてＡに戻るとき、ひもの長さが最短になる場合は何cmでしょうか。
Weekend Mathematics／問題／112の問題
１１２．円すいに巻いた糸の長さ
下の図のような円すいがあります。この底面の周上の点Ａから円すいにひもを２回り巻きつけてＡに戻るとき、ひもの長さが最短になる場合は何cmでしょうか。
大人に役立つ算数の時間
手島勝朗 監修
永岡書店
解答・その1
（ペンネ－ム：浜田 明巳）
この円すいの頂点をＯとし，ＯＡに沿って側面を切り取る展開図を考える．底面の半径が２，母線の長さが２４であるから，展開図のおうぎ形の中心角は，
３６０°×２／２４＝３０°（プログラムではｋ）
ひもを２周するのであるから，このおうぎ形を２つつないだ中心角６０°のおうぎ形を考えればよい． 図からＯＡ1＝ＯＡ3，∠Ａ1ＯＡ3＝６０°となるので，△ＯＡ1Ａ3は正三角形となる． 故に求める長さは，Ａ1Ａ3間の最短距離である
Ａ1Ａ3＝ＯＡ1＝２４（cm）
となる．
Visual Basicでのプログラムを作ってみた．このプログラムにより，ひもの巻き具合がよく分かる．
Option Explicit Sub Form_Load() Picture1.BackColor = vbWhite Picture1.Scale (-11, 20)-(11, -2) Picture2.BackColor = vbWhite Picture3.BackColor = vbWhite Picture3.Picture = LoadPicture("mondai112a.gif") Picture4.BackColor = vbWhite Picture4.Scale (-13, 1)-(14, -26) End Sub Sub Command1_Click() Dim O1x As Double '円すいの頂点 Dim O1y As Double Dim O1z As Double Dim A1x As Double Dim A1y As Double Dim A1z As Double Dim P1x As Double '円すいの底面の円周上の点 Dim P1y As Double Dim P1z As Double Dim Q1x As Double '糸上の点 Dim Q1y As Double Dim Q1z As Double Dim O2x As Double '展開図の頂点(おうぎ形の中心) Dim O2y As Double Dim A21x As Double Dim A21y As Double Dim A22x As Double Dim A22y As Double Dim A23x As Double Dim A23y As Double Dim P2x As Double '展開図のおうぎ形の弧上の点 Dim P2y As Double Dim Q2x As Double '展開図の糸上の点 Dim Q2y As Double Dim x1_min As Double Dim y1_min As Double Dim x1_max As Double Dim y1_max As Double Dim xx As Double Dim yy As Double Dim OQ As Double Dim k As Double '展開図のおうぎ形の中心角 Dim t As Double Dim kizami As Double Dim tenhankei As Double ' O1x = 0 O1y = 0 O1z = Sqr(24 * 24 + 2 * 2) O2x = 0 O2y = 0 A1x = 0 A1y = 2 A1z = 0 P1z = 0 k = 2 / 24 * 360 A21x = 24 * Cos(radian(270 - k)) A21y = 24 * Sin(radian(270 - k)) A22x = 0 A22y = -24 A23x = -A21x A23y = A21y Q2y = A21y kizami = 0.1 x1_min = 2 x1_max = -2 tenhankei = 0.1 Picture1.Cls For t = 0 To 360 Step kizami xx = f3(2 * Cos(radian(t)), 2 * Sin(radian(t)), 0, 1) yy = f3(2 * Cos(radian(t)), 2 * Sin(radian(t)), 0, 2) Picture1.PSet (xx, yy), vbBlack If x1_min > xx Then x1_min = xx y1_min = yy End If If x1_max < xx Then x1_max = xx y1_max = yy End If Next t Picture1.Line (x1_min, y1_min)-(f3(O1x, O1y, O1z, 1), f3(O1x, O1y, O1z, 2)), vbBlack Picture1.Line -(x1_max, y1_max), vbBlack Picture1.Line -(f3(0, 0, 0, 1), f3(0, 0, 0, 2)), vbBlack Picture1.Circle (f3(2, 0, 0, 1), f3(2, 0, 0, 2)), tenhankei, vbRed '点A Picture1.CurrentX = f3(2, 0, 0, 1) Picture1.CurrentY = f3(2, 0, 0, 2) Picture1.Print "A" Picture1.CurrentX = f3(O1x, O1y, O1z, 1) Picture1.CurrentY = f3(O1x, O1y, O1z, 2) Picture1.Print "O" Picture4.Cls Picture4.Line (A21x, A21y)-(O2x, O2y), vbBlack Picture4.Line -(A23x, A23y), vbBlack Picture4.Line (O2x, O2y)-(A22x, A22y), vbBlack Picture4.Circle (O2x, O2y), 24, vbBlack, radian(270 - k), radian(270 + k) Picture4.Circle (A21x, A21y), tenhankei, vbRed Picture4.Circle (A22x, A22y), tenhankei, vbRed Picture4.Circle (A23x, A23y), tenhankei, vbRed Picture4.CurrentX = A21x Picture4.CurrentY = A21y Picture4.Print "A1" Picture4.CurrentX = A22x Picture4.CurrentY = A22y Picture4.Print "A2" Picture4.CurrentX = A23x Picture4.CurrentY = A23y Picture4.Print "A3" Picture4.CurrentX = O2x Picture4.CurrentY = O2y Picture4.Print "O" kizami = 0.0005 For t = 270 - k To 270 + k Step kizami P2x = 24 * Cos(radian(t)) P2y = 24 * Sin(radian(t)) Q2x = (P2x - O2x) / (P2y - O2y) * (Q2y - O2y) + O2x OQ = Sqr((Q2x - O2x) * (Q2x - O2x) + (Q2y - O2y) * (Q2y - O2y)) P1x = 2 * Cos(radian((t - (270 - k)) * 360 / k)) P1y = 2 * Sin(radian((t - (270 - k)) * 360 / k)) Q1x = ((24 - OQ) * O1x + OQ * P1x) / (OQ + (24 - OQ)) Q1y = ((24 - OQ) * O1y + OQ * P1y) / (OQ + (24 - OQ)) Q1z = ((24 - OQ) * O1z + OQ * P1z) / (OQ + (24 - OQ)) Picture1.PSet (f3(Q1x, Q1y, Q1z, 1), f3(Q1x, Q1y, Q1z, 2)), vbRed Picture4.PSet (Q2x, Q2y), vbRed Picture2.Cls Picture2.Print Sqr((Q2x - A21x) * (Q2x - A21x) + (Q2y - A21y) * (Q2y - A21y)); "cm" Next t End Sub Sub Command2_Click() Unload Me End Sub Private Function f3(ByVal x As Double, ByVal y As Double, ByVal z As Double, ByVal i As Integer) As Double '空間座標を平面座標に変換 Dim x1 As Double Dim y1 As Double Dim z1 As Double Dim x2 As Double Dim y2 As Double Dim Px As Double Dim Py As Double x1 = y * Cos(rotate(2)) + x * Sin(rotate(2)) 'z軸回り y1 = z z1 = -y * Sin(rotate(2)) + x * Cos(rotate(2)) x2 = x1 'y軸回り y2 = y1 * Cos(rotate(1)) - z1 * Sin(rotate(1)) Px = x2 * Cos(rotate(3)) - y2 * Sin(rotate(3)) 'z軸回り Py = x2 * Sin(rotate(3)) + y2 * Cos(rotate(3)) If i = 1 Then f3 = Px Else f3 = Py End If End Function Private Function rotate(ByVal i As Integer) As Double Select Case i Case 1 'y軸について回転 rotate = radian(35) Case 2 'z軸について回転 rotate = radian(-60) Case Else 'x軸について回転 rotate = 0 End Select End Function Private Function radian(ByVal x As Double) As Double radian = 4 * Atn(1) / 180 * x End Function
解答・その2
（ペンネ－ム：teki）
答え ２４ｃｍ
円錐の展開図を描くと、側面は半径２４ｃｍ、中心角３０度の扇形になります。 ひもを２周巻きつけるのですから、その最短経路は、半径２４ｃｍ、中心角６０度 の扇形上で直線（この扇形の弦）になります。 よって、その長さはできる三角形が正三角形なので、扇形の半径と同じ２４ｃｍ ですね。 図を描いてみれば一発ですが、あえて頭の中だけで解きました。
ところで、昨今の小中学校では、円周率πを３として計算させている ところが多くあると聞いています。 そうすると、底面の円周はちょうど１２ｃｍになっちゃいます。 ということは、この問題の場合、底面に沿ってひもを２回巻きつければ これが正解と同じ値になってしまいます。 これだと、せっかくのいい問題が台無しですね。 何事も省略しちゃいけません。
ある国では、円周率πを３．１６と法律で決めているらしいです。 なぜ、３．１６という値かというと、√１０に近いからだそうです。 こちらのほうは、例えばオイラーのζ関数の値が非常にきれいになりますね。 例えば、ζ（２）＝π２／６が５／３、ζ（４）＝π４／９０が１０／９ 等。 ことらのほうがお奨めですね。
解答・その3
（ペンネ－ム：杖のおじさん）
答え ２４ｃｍです
円すいを展開するとおうぎ形が出来ます。おうぎ形の頂角は次の計算で求めます。
糸を２巻きしますので次の図のようになります。
一周目の円すいの展開図はＴＡＢ、二周目の円すいの展開図はＢＴＣです。
Ａ点とＣ点をむ結んだ線の長さになります。
円すいの頂角の求め方
頂角＝３６０°×（円すいの底面の半径）／（おうぎ形の半径）＝３６０°×２／２４＝３０°
２周するので三角形頂点∠ＡＴＢ＝３０°×２＝６０°
TA＝TC=２４cmなので正三角形です。従って線分AC＝２４cmです。
解答・その4
（ペンネ－ム：のっこん）
この円すいの側面の展開図は半径２４cmの十二分円。 ２回りするから半径２４cmの六分円を書き、 ＡとＡを直線で結ぶと一辺の長さが２４cmの正三角形となる。
（答）２４cm
※「この問題は底面の半径を１とした時、母線の長さを４より大きくしないと成り立たない」 と思いますが、どうですか？
解答・その5
（ペンネ－ム：T_Tatekawa）
円すいの展開図を作ると，半径2cmの円と半径24cmの扇形の 組み合わせになる．演習の長さと弧の長さが同じなので，扇形の角度は
360 * (2/24) = 30 度
円すいの底面の周上の点からひもを２回り巻き付けてもとに戻るという事は， 扇形を二つつなげて，弧の両端を結ぶということ． この時の最短距離は弦になる．
扇形二つを合わせた角度は 60 度なので， 弦は扇形の半径二つと合わせて正三角形をなす． よって，最短距離は扇形の半径と同じ 24cm となり， 円すいにひもを２回り巻き付けて元に戻る最短距離は 24cm．
解答・その6
（ペンネ－ム：巷の夢）
円錐を展開すると頂角が30°の扇形になります。AからOAまでの最短経路は直線ですから12㎝となります。一周したあともう一周しながら元のAに戻らねばなりませんので、最短経路は今来た直線路となります。即ち元来た道と同様に戻れば良いので24㎝が解答です。
解答・その7
（ペンネ－ム：夜ふかしのつらいおじさん）
この円すいの展開図は、扇形OAA’です。
底面の円の半径をｒ、母線の長さをＲとすると、
∠ＡＯＡ’＝360°×ｒ／Ｒ＝30°です。
糸を2回巻き付けるので、この展開図をもう１つ書いておきます。
この図でＡ、Ａ’、Ａ''は円すいを作ったときに重なります。
面に伸び縮みがない（曲がるだけ）ので、ＡとＡ''を結んだ長さが最短です。
△ＯＡＡ''が正三角形になるので答えは24ｃｍです。
解答・その8
（ペンネ－ム：yokodon）
円錐面の展開図を考えると良い。半径 24 cm の扇形になる方の、その中心角は
360°× 2/24 ＝ 30°
である。
求めるひもの長さの最小値は、半径 24 cm の扇形の弧の両端点の各々から、それ と向かい合う線分（円錐の母線）に下ろした垂線の長さ２本の和に等しい。
円錐の頂点をＯ、この両端の点をＡ，Ｂとし、Ａから線分ＯＢ、Ｂから線分ＯＡに 下ろした垂線の足をＰ、Ｑとすると、∠ＯＡＰ＝∠ＯＢＱ＝ 60°なので、線分ＡＰ 、線分ＢＱの長さは 12 cm
よって、求める長さは 24 cm となる。
解答・その9
（ペンネ－ム：Toru）
底面の周は４πであるから 円錐をＡをとおる母線で切って展開すると 半径２４ 中心角π／６の扇形となる。２周まわすのだからこれを２つくっつけて、 中心角π／３ この扇形の底角から底角への最短距離を求めればよいが、これは直線 で中心角π／３から頂点もつなげば正三角形になるので ２４cm--- 答え
解答・その10
（ペンネ－ム：三角定規）
与えられた円錐の展開図は下の <図１>のとおりで，側面を展開すると，中心角30ﾟの扇形OAA'となる。
<図２>のように，この扇形を２つ用意すると，円錐の側面に２回貼りつけることができ，このとき図の赤い線分AA'' は，円錐に２回巻きついてA に戻る，あきらかに最短の閉曲線である。 △OAA'' は正三角形だから，AA''＝24 cm
蛇足ながら，<図３> の A0A3，…，A0A6は， 円錐に3回，…6回糸を巻きつけるときの最短の糸の長さで，
となります。
最後のA0A6 は，円錐の頂点近くに6回巻きつけるもので，48＋δ とすべきでしょうか。
正解者
のっこん teki 巷の夢 杖のおじさん Toru 浜田 明巳 yokodon T_Tatekawa 夜ふかしのつらいおじさん 三角定規
「ひもを２まわり」というところが、「扇形２個分」になるところがおもしろいですね。
のっこんさんのご質問「『この問題は底面の半径を１とした時、母線の長さを４より大きくしないと成り立たない』と思いますが、どうですか？」ですが、 この場合は、連結の扇形の中心角が１８０°を越えてしまいますから、同じ発想ではだめですね。 ただしその場合でも、２周する最短のコースというのは存在するはずですよね。
また、三角定規さんは、巻きつける回数を増やすとどうなるかという考察をしてくださいました。どうもありがとうございました。
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