Weekend Mathematics／問題／116の問題
１１６．共同作業の問題
ある仕事をするのに、ＡとＢ、ＢとＣ、ＣとＡの２人ずつですると、 それぞれ１５日、２０日、１２日かかる。 この仕事をＡ、Ｂ、Ｃの３人ですると、何日かかるか。
大人に役立つ算数の時間
手島勝朗 監修
永岡書店
解答・その1
（ペンネ－ム：やなせ）
まず
Ａ＆Ｂ＝１５
Ｂ＆Ｃ＝２０
Ａ＆Ｃ＝１２
これから一体何個作るかを最小公倍数から求めると６０個になります。 一日の制作数
Ａ＋Ｂ＝４
Ｂ＋Ｃ＝３
Ａ＋Ｃ＝５
この方程式から、Ａ＝４－ＢをＡ＋Ｃ＝５に代入して
（４－Ｂ）＋Ｃ＝５
Ｂ－Ｃ＝－１
この式と、Ｂ＋Ｃ＝３
Ｂ＝１、Ｃ＝２
が求められます。ここから
Ａ＝３
三人で作業すると何日で完成かですから
６０÷（３＋１＋２）＝１０
答えは１０日間です。
解答・その2
（ペンネ－ム：オヤジ）
全仕事量を、１５、２０、１２の最小公倍数６０とする。
それに対してＡ．Ｂ．Ｃ の一日の仕事量をそれぞれａ、ｂ、ｃとすると 題意より
１５（ a＋ｂ）＝６０・・・(1)
２０（ｂ＋ｃ）＝６０・・・(2)
１２（ｃ＋ａ）＝６０・・・(3)
よって
ａ＋ｂ＝４・・・(4) ｂ＋ｃ＝３・・・(5) ｃ＋ａ＝５・・・(6)
従って （(4)＋(5)＋(6)）÷２ より
ａ＋ｂ＋ｃ＝６
よって 求める日数は
６０÷（ａ＋ｂ＋ｃ）＝６０÷６＝１０
∴ １０日
解答・その3
（ペンネ－ム：teki）
答え １０日
暗算で計算できますね。
仕事量を１５、２０、１２の最小公倍数を６０とすると、A+B＝４、B+C=３、C+A=５が成立します。
で、A=３、B=１、C=２ と出てきます。
あとは、３人でやる場合の日数は、６０÷（１＋２＋３）＝１０日。
解答・その4
（ペンネ－ム：杖のおじさん）
答え １０日
A, B, C の三人の一日の仕事量は、AとB、BとC、CとA の一日の仕事量を足して ２で割ればA＋B＋Cの一日の仕事量が分ります。式は次のようになります。 一日の仕事量は仕事をXとすると三人の仕事量の合計は
A+B+C=(（A+B）＋（B+C）＋（C+A）)/2＝(X/15+X/20+X/12)/2=(12X/60)/2=12X/120=X/10
従ってA、B, Cが共同でその仕事をすると一日の仕事量が１/10なので１０日となります。
解答・その5
（ペンネ－ム：三角定規）
A，B，Cの1日の仕事量を ａ，ｂ，ｃ，仕事の総量を Ｗ とすると，題意より
（ａ＋ｂ）×１５＝Ｗ …(1)
（ｂ＋ｃ）×２０＝Ｗ …(2)
（ｃ＋ａ）×１２＝Ｗ …(3)
これより
ａ＋ｂ＝Ｗ/１５ …(1)’
ｂ＋ｃ＝Ｗ/２０ …(2)’
ｃ＋ａ＝Ｗ/１２ …(3)’
（(1)’＋(2)’＋(3)’）/２ ： ａ＋ｂ＋ｃ＝（Ｗ/２）（１/１５＋１/２０＋１/１２）＝Ｗ/１０ …(4)
よって，この仕事を Ａ，Ｂ，Ｃ ３人ですると １０日 かかる。
解答・その6
（ペンネ－ム：蜘蛛の巣城）
算数的に考えるのは、案外難しいです。 ちょっと、ズルをして方程式を立ててしまいます。
A,B,Cそれぞれの仕事効率を a,b,c であらわします。 「仕事効率」という語でいいのでしょうか。 要するに、「１日あたりの仕事量」のことです。 仕事量は飼い葉桶何杯分ということでも何でもよろしい。 単位は 「仕事量／日」 としましょう。変化率ですね。
R は与えられた一定の仕事量 （ R=1でもよいのですが）
３式を加えて
を得ます。この式は、３人で10日かかるということを意味しています。
解答・その7
（ペンネ－ム：meira）
ある仕事の量をWとし，A，B，Cの1日当たりの仕事量をそれぞれA，B，Cとすると，題 意より
15(A+B)=W…(1)
20(B+C)=W…(2)
12(C+A)=W…(3)
と書ける。 ある仕事量をA，B，Cの3人に割り当てるとn日で出来たとすると，
n(A+B+C)=W…(*)
と書ける。 (1),(2),(3)をA,B,Cについて解くと
A=W/20, B=W/60, C=W/30
この値を(*)式に当てはめるとn=10
以上でこの仕事をA，B，Cの3人ですると10日かかる。
解答・その8
（ペンネ－ム：浜田 明巳）
全体の仕事量をＷ，Ａ，Ｂ，Ｃの１日における仕事量をそれぞれＡ，Ｂ，Ｃとする．条件から，
１５Ａ＋１５Ｂ＝Ｗ………(1)
２０Ｂ＋２０Ｃ＝Ｗ………(2)
１２Ｃ＋１２Ａ＝Ｗ………(3)
(2)×３－(3)×５ －６０Ａ＋６０Ｂ＝－２Ｗ
∴－３０Ａ＋３０Ｂ＝－Ｗ………(4)
(1)×２＋(4) ６０Ｂ＝Ｗ
∴Ｂ＝Ｗ／６０
(1)から，Ａ＝(Ｗ－１５Ｂ)／１５＝(Ｗ－Ｗ／４)／１５＝Ｗ／２０
(3)から，Ｃ＝(Ｗ－１２Ａ)／１２＝(Ｗ－３Ｗ／５)／１２＝Ｗ／３０
∴Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝Ｗ／２０＋Ｗ／６０＋Ｗ／３０＝(３＋１＋２)Ｗ／６０＝Ｗ／１０
故に３人同時に仕事をすると，１０日かかる．
解答・その9
（ペンネ－ム：nao）
仕事の量を１とすると、１日にする仕事の量はそれぞれ、
Ａ＋Ｂ＝１／１５、 Ｂ＋Ｃ＝１／２０、 Ｃ＋Ａ＝１／１２
全部足して整理すると、
（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）×２＝１／１５＋１／２０＋１／１２＝１／５
（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）＝１／１０
ＡとＢとＣは３人で１日に１／１０の仕事をする。
１÷１／１０＝１０
答 １０日
解答・その10
（ペンネ－ム：テレスとアリス）
【解答】
Ａ、Ｂ、Ｃの３人の一日の仕事量をそれぞれ ａ、ｂ、ｃ とします。 また、全体の仕事量を１とします。 ＡとＢ、ＢとＣ、ＣとＡの２人ずつですると、それぞれ１５日、２０日、１２日かかる との設問から、次の式が成り立ちます。
15 × （ａ + ｂ） ＝ 1 ・・・ ①
20 × （ｂ + ｃ） ＝ 1 ・・・ ②
12 × （ｃ + ａ） ＝ 1 ・・・ ③
①の両辺に4を掛けて、
60 × （ａ + ｂ） ＝ 4
②の両辺に3を掛けて、
60 × （ｂ + ｃ） ＝ 3
③の両辺に5を掛けて、
60 × （ｃ + ａ） ＝ 5
それぞれの式をまとめると、
60 × （（ａ + ｂ） + （ｂ + ｃ） + （ｃ + ａ）） ＝ 4 + 3 + 5
60 × （2 × （ａ + ｂ + ｃ）） ＝ 12
120 × （ａ + ｂ + ｃ） ＝ 12
両辺を12で割って
10 × （ａ + ｂ + ｃ） ＝ 1
この仕事をＡ、Ｂ、Ｃの３人ですると、10日かかることになります。
答え 10日
もうひとつ・・・
【解答】
Ａ、Ｂ、Ｃの３人の一日の仕事量をそれぞれ ａ、ｂ、ｃ とします。 ＡとＢ、ＢとＣ、ＣとＡの２人ずつですると、それぞれ１５日、２０日、１２日かかる との設問から、一日の仕事量は次の式で表されます。
ａ + ｂ ＝ 1/15
ｂ + ｃ ＝ 1/20
ｃ + ａ ＝ 1/12
左辺どうしと、右辺どうしを足しても式は成り立ちます。
ａ + ｂ + ｂ + ｃ + ｃ + ａ ＝ 1/15 + 1/20 + 1/12
2 × （ａ + ｂ + ｃ） ＝ 4/60 + 3/60 + 5/60
ａ + ｂ + ｃ ＝ 12/60 × 1/2
ａ + ｂ + ｃ ＝ 12/120 ＝ 1/10
Ａ、Ｂ、Ｃの３人でする一日の仕事量は1/10です。 よって、この仕事をＡ、Ｂ、Ｃの３人ですると、10日かかることになります。
答え 10日
解答・その11
（ペンネ－ム：夜ふかしのつらいおじさん）
ある仕事の全体の量を１とします。
Ａ、Ｂ、Ｃの１日にする仕事の量をそれぞれａ，ｂ，ｃとすると、
ａ＋ｂ ＝１／１５ ・・・ (1)
ｂ＋ｃ＝１／２０ ・・・ (2)
ａ ＋ｃ＝１／１２ ・・・ (3)
(1)＋(2)＋(3)より
２（ａ＋ｂ＋ｃ）＝１／１５＋１／２０＋１／１２＝１／６０×（４＋３＋５）＝１２／６０＝１／５
∴１０（ａ＋ｂ＋ｃ）＝１
となるので、１０日かかります。
解答・その12
（ペンネ－ム：のっこん）
Ａだけだとa日、Ｂだけだとb日、Ｃだけだとc日かかる
1/a+1/b=1/15 より 15(a+b)=ab ・・・(1)
1/b+1/c=1/20 より 20(b+c)=bc ・・・(2)
1/c+1/a=1/12 より 12(c+a)=ca ・・・(3)
(1)、(2)、(3)を力ずくで解いて（※）
（a,b,c)=(20,60,30)
1/20+1/60+1/30=1/10 （答）１０日
※こんなふうに解きました（a,b,cは整数とは限らないのだけれど）
(1)より
(a-15)(b-15)=225
(a-15,b-15)=(1,225),(3,75),(5,45),(9,25),(15,15),(25,9),(45,5),(75,3),(225,1)
よって
(a,b)=(16,240),(18,90),(20,60),(24,40),(30,30),(40,24),(60,20),(90,18),(240,16)・・・(4)
(2)より
(b-20)(c-20)=400 同様にして
(b,c)=(21,420),(22,220),(24,120),(25,100),(28,70),(30,60),(36,45),(40,40), (45,36),(60,30),(70,28),(100,25),(120,24),(220,22),(420,21)・・・(5)
(3)より
(c-12)(a-12)=144
同様にして
(c,a)=(13,156),(14,84),(15,60),(16,48),(18,36),(20,30),(21,28),(24,24), (28,21),(30,20),(36,18),(48,16),(60,15),(84,14),(156,13)・・・(6)
(4)、(5)、(6)をすべて満たすのは(a,b,c)=(20,60,30)
解答・その13
（ペンネ－ム：みけねこ）
答え:１０日
＜解1＞
Ａ、Ｂ，Ｃ、が１日に処理する仕事量をそれぞれ、ａ，ｂ，ｃ,とする。 題意より
15（ａ＋ｂ）＝20（ｂ＋ｃ）＝12（ｃ＋ａ）
連立して解くと
ａ＝1.5ｃ、ｂ＝0.5ｃ
となる。よって、ＡはＣの1.5倍、ＢはＣの0.5倍の仕事を１日すると考えられる。 すなわち、Ａ，Ｂ，Ｃ、３人の仕事量は、Ｃの仕事量の3倍と等しい。 また、Ａ，Ｂ、２人の仕事量は、Ｃの仕事量の２倍であり、Ａ，Ｂで１５日かかっている。 日数は人数に反比例するから、
１／2ｃ:１５＝１／3ｃ:ｘ （ｘは求める日数）
∴ ｘ＝１０
＜解2＞
ＡとＢで１日あたり全体の1／１５、ＢとＣで１／２０、ＣとＡで１／１２、をするので、 これらを足して２で割るとＡ，Ｂ，Ｃの３人で１日あたり全体の１／１０、をすることが分かる。 従って、１０日。
解答・その14
（ペンネ－ム：巷の夢）
A,B及びCがこなす仕事量を各々1/A、1/B及び1/Cとすると、題意より
15（1/A +1/B）＝20（1/A +1/C）＝12（1/A +1/C）
が成立します。この方程式を解くと、
B＝3A＝2C
という関係がでます。そこで3人でやると X日かかるとすると、
X（1/A +1/B +1/C）＝15（1/A +1/B）
個々に先程のB＝3A＝2Cを代入すると、X＝10となります。 因って求めるものは10日となります。
解答・その15
（ペンネ－ム：namiusagi）
答 10日かかる
A,B,Cの１日あたりの仕事量を、それぞれa,b,cとすると仕事の総量は、
15(a+b)……(１)
20(b+c)……(２)
12(c+a)……(３)
で表せる。(１)=(２)より、15(a+b)=20(b+c)だから、15a=5b+20cで約分して
3a=b+4c……(４)
(１）=(３)より、15(a+b)=12(c+a)だから、
3a=12c-15b……(5)
(2)=(3)より、20(b+c)=12(c+a)だから、 3a=5b+2c…… (6)
(4)(5)より、b+4c=12c-15bだから、16b=8cで約分して 2b=c、これを(2)に代入して、
20(b+2b)=20*3b=60b……(2')
を得る。(1)=(2')からaを求めると、15(a+b)=60bだから、 15a=45bで約分してa=3bとなる。 A,B,Cの３人での所要日数をxとすると、
x(a+b+c)=x(3b+b+2b) =x*6b
で、(2')に等しい ので、x*6b=60b=10となる。
＜別解＞
答10日かかる
ABの１日あたりの仕事量は、全体の1/15
BCの１日あたりの仕事量は、全体の1/20
CAの１日あたりの仕事量は、全体の1/12だから、これを加えると ３人の１日分の仕事の２倍に相当するので２分すれば
｛（1/15）+（1/20） +（1/12）｝/2=1/10
１日当り全体の1/10の仕事量だから10日かかることになる。
解答・その16
（ペンネ－ム：ＦａｕｓＴ）
Ａ、Ｂ、Ｃがそれぞれ１日でこなす仕事量を、ａ、ｂ、ｃとすると、次の関係式が得られる。
１５（ａ＋ｂ）＝２０（ｂ＋ｃ）＝１２（ｃ＋ａ）
この式から、
ａ：ｂ：ｃ ＝ ３：１：２
が得られ、 仮に全体の仕事量を６０とすれば、
ａ＝３、ｂ＝１、ｃ＝２
となり、３人で行う仕事量はａ＋ｂ＋ｃ＝６であるから、 １０日でやりとげることになる。 よって、
１０ 日 ・・・・・・【解】
となる。
解答・その17
（ペンネ－ム：Toru）
A+B=1/15,B+C=1/20,C+A=1/12とすると
A+B+C=(1/15+1/20+1/12)/2=1/10
より 10日-----答え
ちなみに
A=1/10-1/20=1/20,B=1/10-1/12=1/60,C=1/10-1/15=1/30
よりA１人では20日、B１人では60日、C１人では30日かかる。
正解者
teki オヤジ namiusagi 巷の夢 のっこん Toru 杖のおじさん 浜田 明巳 やなせ meira テレスとアリス nao 夜ふかしのつらいおじさん みけねこ ＦａｕｓＴ 三角定規 蜘蛛の巣城
一人よりは二人、二人よりは三人で取り組んだ方が、当然ですが仕事は速く終わりますね。
ここでの仕事量は一定ですが、いただいた解答では、 それをXとする、１とする、60(15,20,12の最小公倍数）とするというように 分かれたかなと思います。 また、特に設定することなく、３者の関係のみで解答を求めていただいた方もいらっしゃいます。 相対的なものですから、どれでもいいわけですね。
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