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問題127 カレンダーの問題
Weekend Mathematics問題/問題127

127.カレンダーの問題

下は2007年7月のカレンダーです。タカシ君はこの7月には毎週1回ずつ合計5回の サッカーの試合をします。試合の曜日は月曜日が1回、水曜日が2回、土曜日が1回、 日曜日が1回です。タカシ君がサッカーをする日付の数の和はいくつですか。

2007年7月のカレンダー


問題の出典

広中杯ハイレベル中学数学に挑戦
算数オリンピック委員会監修
講談社ブルーバックス
2002年トライヤル問題改題

答えと解説

解答・その1

(ペンネ−ム:浦島五郎)



解答・その2

(ペンネ−ム:のっこん)

(1)29日(日)に試合がある
 月・・・2  9 16 23
 水・・・4 11 18 25
 土・・・7 14 21 28
水の試合を4 11とすると 16 28に試合をするか、21 23に試合をするかになるが いずれにしても、
月+土=44  
月+水+水+土=59
日+月+水+水+土=88 となる
水の選び方は4C2=6通りあるが、いずれも総和は88である

(2)30日(月)に試合がある
 日・・・1  8 15 22
 水・・・4 11 18 25
 土・・・7 14 21 28
水の試合を4 11とすると 15 28に試合をするか、21 22に試合をするかになるが いずれにしても、 日+土=43  
日+水+水+土=58
日+月+水+水+土=88 となる
水の選び方は4C2=6通りあるが、いずれも総和は88である
(答)88 


解答・その3

(ペンネ−ム:スモークマン)

第五週は日曜か月曜しかできない。
29(日)とするとき、
月の候補は、29-a*7+1・・・a=1〜4
水の候補は、29-b*7+3・・・b=aと異なる1〜4のうちの2個
土の候補は、29-c*7+6・・・c=a,b と異なる1〜4
つまり、すべて足すと、29*5-7*Σ(1〜4)+13=29*5-70+13=88

30(月)のとき、
日の候補は、30-a*7-1
水の候補は、30-b*7+2
土の候補は、30-c*7+5
すべて足すと、30*5-7*Σ(1〜4)+8=150-70+8=88
何れにせよ同じく88 


解答・その4

(ペンネ−ム:転位反応)

先ず、毎週、試合が開催されることから、第5週については29日の日曜日、または 30日の月曜日の開催が必要となる。

また、第1週から第4週の各曜日の日付は、以下のように表現できる。 日曜日の日付=1+7(n−1)
月曜日の日付=2+7(n−1)
水曜日の日付=4+7(n−1)
土曜日の日付=7+7(n−1) 、但し、 n=1,2,3,4

さて、ケースごとに日付の合計を求める。
ケースT:日曜日開催が29日の場合
毎週開催として一般性を失わないように、n=p,q,r,sと置く。 p≠q≠r≠s

日付の合計
29+〔2+7(p−1)〕+〔4+7(q−1)〕+〔4+7(r−1)〕+〔7+7(s−1)〕
(p+q+r+s)+18
88
ここで、p,q,r,sは其々1,2,3,4の何れかなので、p+q+r+s=10

同様にして、
ケースU:月曜日開催が30日の場合

日付の合計
30+〔1+7(p−1)〕+〔4+7(q−1)〕+〔4+7(r−1)〕+〔7+7(s−1)〕
7(p+q+r+s)+18
88
よって、答えは88


解答・その5

(ペンネ−ム:FausT)

え〜と、なになに?
何日かはわからないけど、月1、水2、土1、日1の5つの日付の合計はいくつになるか?って問題だよね? どの週にどの曜日になるかによって合計数が違ってくる・・・ような気がするなぁ。 ということで、実際にいくつかやってみれば、その法則性でも見つけられるかな?早速やってみよう。

まずは、第一週目〜第五週目に上記の順に充てていこう。
すると・・・2日、11日、18日、28日、29日。これらを合計すると・・・88日。

さて、今度は逆に第五週目〜第一週目に順に充てていこうか。
すると・・・30日、25日、18日、14日、1日。これらの合計は・・・え〜と、 あれっ?88日!?同じになったけど、これは偶然か必然か?

そうか!
どうやらどの週のどの曜日の組み合わせになっても、合計が88日になるような気がしてきたぞ。 あとはこのことを示せばいいのかな。

・・・ということで、証明。
選択する5つの日は、第一週目〜第五週目のそれぞれの週のいずれかの日であるので、 週の最初である日曜日の数に月曜なら1、水曜なら3というように該当する曜日に対して数を足せばいいのかな。 2007年7月の日曜は、1日、8日、15日、22日、29日であり、 このそれぞれに曜日に該当する数<月曜=1、水曜=3(水曜は2週ある)、土曜=6、日曜=0> を順不同で加えることになるので、求める合計数は、

   (1+8+15+22+29)+(1+3+3+6+0)= 88

よって、どの週のどの曜日の組み合わせでも合計数は88日となる。 ・・・こんなんで証明したことになるかな?

ま、とにかく、答えは 【 88日 】 で間違いなさそうですね。  ( 以 上 )


解答・その6

(ペンネ−ム:ますますタコさん)

解答:88

過程:最初に、最終週は火曜日までしかありませんので、日曜日か月曜日になります。 とりあえず、適当にスケジュールを組んでみましょう。 タカシ君が疲れるといけないので、二日連続にならないようにします。 (とくに深い意味はありません)

一週目 水曜日  4日
二週目 土曜日 14日
三週目 水曜日 18日
四週目 月曜日 23日
五週目 日曜日 29日

とすると、4+14+18+23+29で、88になります。 他の組み合わせ(日程)はどうなるでしょう。 三週目と四週目の曜日(日にち)を入れ替えてみましょう。 4日、14日、16日、25日、29日となり、 4+14+16+25+29で、88になります。おや? どうやら、条件通りに日程を組むと、合計はどれも「88」になりそうです。

曜日ごと数字をnを使って表現すると、
月曜日は、(2+7n)日
水曜日は、(4+7n)日
土曜日は、(7+7n)日
日曜日は、(1+7n)日

水曜日に試合が二回あって、各週一回ですから、試合日の数字の合計は、

   (2+7n)+(4+7n)+(4+7n)+(7+7n)+(1+7n)

になります。ここで、nには、0〜4が一回ずつ入ります。整理すると、

   2+4+4+7+1+(7×(0+1+2+3+4))=18+70=88

となり、何週目の何曜日に試合をしても、条件通りなら、88になります。


解答・その7

(ペンネ−ム:テレスとアリス)

【解答】
第1週から第5週のそれぞれの最初の日(日曜日)(1、8、15、22、29)をベースとして、 第何週が 月、水、土曜日のどれであっても(第5週は水曜、土曜はありませんが)、 月曜日、水曜日、土曜日はそれぞれ、+1日、+3日、+6日として考えることで求まります。

   (1 + 8 + 15 + 22 + 29) + 1 + 3 + 3 + 6 = 88

答えは、 88日です。


解答・その8

(ペンネ−ム:teki)

答え  88日
各週1回ずつ試合をするのですから、曜日がきまれば順番に関係なく 決まりますね。
例えば、第1週に日曜、第2,3週に水曜、第4週に土曜、第5週に月曜 に試合をしても、第1週に水曜、第2週に土曜、第3週に水曜、第4週に月曜、 第5週に日曜としても、88日です。


解答・その9

(ペンネ−ム:杖のおじさん)

答え 88です。
サッカーをする日は毎週1回となっています。従って第5週までの日曜日の  日付の数の合計を計算します。
日曜日 1、8,15,22,29
   5×(1+29)/2=75・ ・ ・ (1)
これに日曜日からの各曜日までの日数を加えます。
 月曜日 1×1回=1
 水曜日 3×2回=6
 土曜日 6×1回=6
即ち 1+6+6=13・ ・ ・ (2)
合計は(1)+(2)=75+13=88となります。
条件に合えばどのような組合せでも合計は88になります。


解答・その10

(ペンネ−ム:ヒャクレン・ラランジャ)

答:88
考え方:
すべての週が日曜日から始まっているので、他の曜日を次のように考えます。
月曜日の日付は、日曜日の日付+1日
水曜日の日付は、日曜日の日付+3日
土曜日の日付は、日曜日の日付+6日

日曜日の日付の合計は、1+8+15+22+29=75
タカシ君は、月曜日(+1日)が1回、水曜日(+3日)が2回、土曜日(+6日)が1回、日曜日(+0日)が1回。
よって、
75+1+3×2+6=88


解答・その11

(ペンネ−ム:オヤジ)

,・・・,A={0,7,14,21,28}とする。
試合のある各曜日は、それぞれ,下記のように表す事ができる。
ただしA〜Aは全て異なるものとする。

 日曜日 :A+1 
 月曜日 :A+2
 水曜日 :A+4,A+4 ただしA,A≠28
 土曜日 :A+7      ただしA≠28

従って求める数は,
(A+1)+(A+2)+(A+4)+(A+4)+(A+7)
(A+A+A+A+A)+18
70+18=88
 ∴88


解答・その12

(ペンネ−ム:こまったコ)

試合をする5日の日付を
日曜日の日付は7a-6、月曜日の日付は7b-5、水曜日の日付は7c-3, 7d-3、土曜日は7e
で表すことにする。
a〜eに入る数字はそれぞれ何週目かを表す。
よって、a〜eには1〜5のいずれかの数字が入る。
ただし、同じ数字が重複して入ることはない。
(1週間1試合なので、数字が重複すると1週間に2試合することになるので矛盾してしまう。)
また水曜日と土曜日は4週目までしかないので a,bのいずれかに必ず5が入ることになる。
この5日の日付の数の和なので

   7a-6+7b-5+7c-3+7d-3+7e=7(a+b+c+d+e)-17

a=5の時、b,c,d,eには1から4のいずれかが入ればよい。
b=5の時、b,c,d,eには1から4のいずれかが入ればよい。
ということはいずれの場合でも、a+b+c+d+e=1+2+3+4+5=15になる。
これを上の式に代入すると7x15-17=88
よって試合をする日付の数の和は88。


解答・その13

(ペンネ−ム:レイ)

七月は一日が日曜なので、 各曜日について次のように値を定める

 Sun = 1, Mon = 2, Tue = 3, Wed = 4, Thu = 5, Fri = 6, Sat = 7

すると、週ごとの曜日の日付は 7×(N 週目-1) + 上記に定めた曜日の値 で求まる
条件より、5週ある中で各週に 1回試合をするので、求める式は次の様になる

 7×(1-1) + 7×(2-1) + 7× (3-1) + 7×(4-1) + 7×(5-1) + Sun + Mon + Wed + Wed + Sat
= 70 + 1 + 2 + 4 + 4 + 7
= 88

従って、サッカーをする日付の数の和は 88 となる


解答・その14

(ペンネ−ム:バルタン星人)

答え:88日
今回は簡単ですね。日にちが入れ替わっても同じ日数だけ加減されるので適当に 日にちを選んで足したの答えです。 もう少し数学的に書くなら

 1+7A
 2+7B
 4+7C
 4+7D
 7+7E

全部足すと18+7(A+B+C+D+E)
A〜Eは各0〜4なのでその和は10
故に88


解答・その15

(ペンネ−ム:kohji)

第1週から試合の日を

   a,7+b,14+c,21+d,28+e 1≦a,b,c,d≦7 1≦e≦3

として表すとすると、{a,b,c,d,e}={1,2,4,4,7} なので

 a+7+b+14+c+21+d+28+e
=70+a+b+c+d+e
=70+1+2+4+4+7
=88


解答・その16

(ペンネ−ム:三角定規)

1,2,3,4,5,6,7 で,日,月,火,水,木,金,土 を, W1,W2,W3,W4,W5 で第1〜第5周を表すことにする。 すると,サッカーをする5回の日の合計 S は

   ・・・(1)

と表すことができるが,毎週1回ずつ試合することから

    ・・・(2)

また曜日の回数の条件から

    ・・・(3)

(1)(2)(3)より S=7×10+18=88 …[答]


解答・その17

(ペンネ−ム:nao)

やってみればすぐわかるのですが、答は88です。
どうしてそうなるのか?
日曜の数字は1+7×a、月曜は2+7×b、水曜は4+7×c、4+7×d、土曜 は7+7×eとあらわされ、a、bは0から4、c、d、eは0から3のどれかで重 複はありません。
全部足してまとめると、

   1+2+4+4+7+7×(a+b+c+d+e)=18+7×(0+1+2+3+4)=18+7×10=88

となります。
ちなみに、何通り考えられるかというと、第5週が日曜の場合12通り、同じく第5 週が月曜の場合12通りの計24通りあると思います。
大変難しい問題でした。


解答・その18

(ペンネ−ム:T_Tatekawa)

第5週は日曜日か月曜日しかありませんが、この計算では どの週が何曜日かを考える必要はありません。

日曜日を基準に考えます。
月曜日は +1,水曜日は +3,土曜日は +6。
日曜日の日の合計は

   1+8+15+22+29=75

ここに日曜日から平日,土曜日にずれた分の日数を足します。

   75 + 1 + 3 + 3 + 6 = 88

答えは 88 です。


解答・その19

(ペンネ−ム:toshi)

第a週の日曜日の日付を式で表すと、
   日 :7a−6
同様に、月、水1、水2、土を表すと、
   月 :7b−5
   水1:7c−3
   水2:7d−3
   土 :7e
合計は、7(a+b+c+d+e)−17
ここで、毎週1回ずつ試合があるので、a,b,c,d,eには 1,2,3,4,5が各1回ずつ入ります。 つまり、各何週目かは決定しませんが、(a+b+c+d+e)は 必ず(1+2+3+4+5)=15 となります。
よって、7×15−17=88


解答・その20

(ペンネ−ム:than)

解答:
第一週以前には0日の日数が経っていて、同様に第二週以前には7日、 第三週以前には14日、第四週以前には21日、第五週以前には28の日数が経っている。
そしてこの月は日曜日から始まっているので、日・月・火・・・の順に1〜7まで番号を振る。 これは第何週目かのX日目、という意味合いである。
ここで、たとえば第一週の火曜なら、
   『0(第一週以前の日にち)+3(火曜)=3日』
第三週の木曜なら、
   『14(第三週以前の日にち)+5(木曜日)=19日』
という風に日付が計算できることがわかる。 タカシ君がサッカーをするのは月曜日1、水曜日2、土曜日1、日曜日1、 つまり第何週かとは関係なしに、ある週の2日目に1回、ある週の4日目に2回、 といった具合に考えることが出来る。
そして、それが週に一回なのだから、(第一週)・(第二週)・・・(第五週)と、 (月曜)・(水曜2回)・(土曜)・(日曜)を適当に組み合わせればよく、 日付の数の和は、その組み合わせには依らない。 よって、

   (0+7+14+21+28)+(2+4*2+7+1)=88

よって、タカシ君がこの月にサッカーをする日付の数の和は88である。


解答・その21

(ペンネ−ム:夜ふかしのつらいおじさん)

月曜日は2+7×整数、水曜日は4+7×整数、土曜日は7+7×整数、日曜日は1+7×整数と表せます。
a,b,c,d,eを整数として



a,b,c,d,eの個々の値は分かりませんが、0,1,2,3,4のどれかなので

   a+b+c+d+e=10 ・・・(2)

よって、(1)、(2)より日付の数の和の合計は、88日です。


解答・その22

(ペンネ−ム:TORA)

答え、88日

【過程(説明)】
仮に題一週に全ての練習を行うとして日数の合計を算出。

   1+2+4+4+7=18

どの曜日が第二週〜第五週にきても以下の法則は変わらない

   第二週なら…+7
   第三週なら…+14
   第四週なら…+21
   第五週なら…+28

従ってこれらを全ての和を求めると

   18+7+14+21+28=88

になる。


解答・その23

(ペンネ−ム:巷の夢)

通常の暦を以下の様に7進法であらわすと、
12345610
11121314151620
21222324252630
31323334353640
414243   

この暦から日、月、土を各々1回、そして水を2回選ぶのだが、日及び月以外は4週の中から選ばねばならない。
そこで土曜日を数字10とすると、他は10、20、30及び40台の数字から選ぶしかなく、これら5数の和は7進法で140となる。 一桁目の数は4が2個、1と2が各々1個であるから、7進法で加え、14となる。 即ち5数の総和は154である。これは10進法に直すと

   1×72 + 5×7 + 4 =88

である。 土曜日に20、30及び40を選択しても上記と全く同様な事が成り立つので、求める値は88である。


解答・その24

(ペンネ−ム:Toru)

解答1
とりあえず、全部、第1週目にして計算すると

   1+2+4+4+7=18

2週から5週目の時は7,7x2,7x3,7x4 をたすので これをたして、

   18+(7+7x2+7x3+7x4)=18+70=88

解答2
カレンダーの日付けから1を引いたものを7進法であらわすと 第1週は0,1,2,--,6 第2週は10,11,12,---,16 第3週は20,21,---,26 第4週は30,31,---,36 第5週は40,41,42 と1の位の数が曜日を7の位の数が 第(n-1)週目をあらわす
月1回、水2回、土1回、日1回より

   1の位の和は1+3+3+6+0=16(7進法)

各週1回ずつだから

   位の和は0+10+20+30+40=130(7進法)

よってこの和は146(7進法) 10進法になおして、

   1x72+4x7+6=83

最初に引いた1をもどして5日分で83+5=88 答え

正解者

オヤジ teki ヒャクレン・ラランジャ
のっこん nao バルタン星人
こまったコ スモークマン Toru
杖のおじさん 転位反応 テレスとアリス
巷の夢 TORA than
toshi ますますタコさん 夜ふかしのつらいおじさん
T_Tatekawa レイ 三角定規
kohji 浦島五郎 FausT

まとめ

何人かの方がしているように、条件に合うような日を選んで計算をしてみると、 どんな場合も必ず88になることがわかります。
日曜日を基準にしている方が多かったようですが、 縦に基準を設定し、さらに横にスライドすると考えればいいわけですね。 因みに私自身は真ん中であり、かつ2日重なる水曜日を基準にして、
 4+11+18+25+32=90
 どこかで月曜日(−2)、どこかで日曜日(−3)、どこかで土曜日(+3)
 よって、90−2−3+3=88
と考えました。 この考え方を、巷の夢さんToruさんが、 7進法で整理してくださいました。7の位が週(カレンダーの縦)を表し、1の位が曜日(カレンダーの横) を表しているわけです。
また、TORAさんの解答のユニークなところは、 第1週に曜日を配置し、それから週を割り振るということで、 先に横の配置を決めてから縦に割り振るというものです。


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