１４４．正多角形の問題
右図のように、１辺の長さが１の正６角形の各辺の外側に、
１辺の長さが１の正６角形を１つずつくっつけると、くっつけた正６角形の
となりあう２つの１辺は共有する。
１辺の長さが１の正ｍ角形の各辺の外側に１辺の長さが１の正ｎ角形を１ずつくっつけたとき、
くっつけた正ｎ角形のとなりあう２つが１辺を共有するようなｍ,ｎの組として考えられる
ものをすべて求めなさい。ただし、例としてあげた（ｍ,ｎ）＝（６，６）を除きます。
問題の出典
広中杯ハイレベル中学数学に挑戦
算数オリンピック委員会監修
講談社ブルーバックス
2003年ファイナル問題
答えと解説
解答・その1
（ペンネ－ム：のっこん）
m=3 の場合について考える
内角は60度だから
180°-30°＝150°より
内角が150度の正多角形が存在すればよい
180（n-2)/n＝150 を解いてn＝12
よって（m,n）＝（3,12）は解の１つである
360＝30・12＝36・10＝40・9＝45・8＝60・6＝72・5＝90・4
内角が72度、80度、180度の正多角形は存在しないから
（m,n）＝（3,12）、（4,8）、（10,5）
解答・その2
（ペンネ－ム：巷の夢）
題意より表にまとめると、以下の様になる。
| ｍ角形 | 頂点の角度(°) | 外角(°) | 外角/2 (°) | ｎ角形 |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 60 | 300 | 150 | 12 |
| 4 | 90 | 270 | 135 | 8 |
| 5 | 108 | 252 | 126 | |
| 6 | 120 | 240 | 120 | 6 |
| 7 | 900/7 | 1620/7 | ||
| 8 | 135 | 225 | 112.5 | |
| 9 | 140 | 220 | 110 | |
| 10 | 144 | 216 | 108 | 5 |
| 11 | 1620/11 | |||
| 12 | 150 210 | 105 |
ｎ角形を四角形とするには外角が180°でなければならず、その様な図形は存在しない。
因って上記表より、求めるものは（3,12）、（4,8）および（10,5）の3種類である。
解答・その3
（ペンネ－ム：転位反応）
正ｍ角形の内角をαとすると ３６０＝ｍ（１８０－α）・・・(1)
正ｎ角形の内角をβとすると ３６０＝ｎ（１８０－β）・・・(2)
また、題意から α＋２β＝３６０・・・(3)
(1)(2)(3)から、ｍ、ｎについて整理すると
ｎ＝４ｍ／（ｍ－２）・・・(4)
ｍ＝２ｎ／（ｎ－４）・・・(5)
ここで、ｍ、ｎは整数であることから、ｍ≧３、ｎ≧５
さて、題意を満たすには、①式から、ｍは３６０の約数であり、かつ
そのｍに対して④式から求められるｎも整数であることが必要十分条件である。
３６０＝２×２×２×３×３×５から考えられるｍを書き出し、それぞれに対して
ｎを求めｎ≧５について整理すると下表の通り。
但し、少数の場合、小数点以下３桁まで表示。
よって、求める（ｍ，ｎ）＝（３，１２）、（４，８）、（１０，５）である。
| ｍ | ｎ |
|---|---|
| 3 | 12 |
| 4 | 8 |
| 5 | 6.667 |
| 6 | 6 |
| 8 | 5.333 |
| 9 | 5.143 |
| 10 | 5 |
解答・その4
（ペンネ－ム：バルタン星人）
答え（３，１２）、（４，８）、（１０，５）
元の図形の一つの角の角度をＡとすると
（３６０－Ａ）／２の角度の正多角形を作れるかどうかの問題。
中心と一辺でできる三角形を考えるとその中心角は
Ａ／２になるのでこれが３６０の約数になれば成立
３角形６０度→３０度 １２角形
４角形９０度→４５度 ８角形
５角形１０８度→５４度 ×
６角形１２０度→６０度 ６角形
７，８，９→×
１０角形１４４度→７２度 ５角形
相手が４角形以下になると９０×２＝１８０度
となるのでありえないので、上記組が全て。
解答・その5
（ペンネ－ム：ＳＯＵ）
正多角形の1つの内角の外側を2つに分けたものが外接正多角形の1つの内角なので、それは
で与えられる。これを1つの内角として正多角形を構成できるかどうかは、
を満たすような正の整数nが存在するかどうかで判断する。変形すると、
となるが、これに対応するm,nの組みは、
の4組。同時に、正の整数の範囲ではこれ以外には存在しないことが云える。
最終的に、例のものを除いた
が答え。
解答・その6
（ペンネ－ム：スーパーやまちゃん）
正m角形の外側に正ｎ角形が敷き詰められるので、正ｍ角形の内角の外側の角が、
正ｎ角形の内角の2倍に等しくなる。
ゆえに、正ｍ角形の内角 = 
なので、
正ｎ角形の内角 = 
よって、 
mn+2n = 2mn-4m
mn-4m-2n = 0
n(m-2) = 4m
したがって、整数ｎはｍの分数関数である。正ｍ角形なのでｍ＞２、ｍは整数。
ｎが整数となるのはｍ－２が８の約数のときである。
∴ m-2 = 1,2,4,8 のとき、つまり m = 3,4,6,10 のときである。
題意より、m ≠ 6 なので、求める(m,n)の組は次のとおりである。
(m,n) = (3,12),(4,8),(10,5)・・・答え
解答・その7
（ペンネ－ム：T_Tatekawa）
m=3：残り300度
300/2=150
一つの角が150度の正多角形は
360/(180-150)=12
なので正十二角形。n=12。
m=4：残り270度
270/2=135
一つの角が135度の正多角形は
360/(180-135)=8
なので正八角形。n=8。
m=5：残り262度 これは出来ない。
m=6：残り240度 これは例題なのでパス。
逆に 6 以下の n を考えると、
n=6 の場合は2つとなりあわせると頂点の角度が
240度になり、残りは120度。例題の通りになる。
同様に n=5 の場合は頂点の残り角度は
360-108*2=144度
144 度は正十角形です．
m=10, n=5 のとき、成り立ちます．
n=4 の場合は頂点の残り角度は
360-90*2=180度
これに該当する正多角形は存在しない。
n=3 の場合は頂点の残り角度は
360-60*2=240度
これに該当する正多角形は存在しない。
以上より
(m, n)=(3, 12), (4, 8), (10, 5)
が残りの答えである。
解答・その8
（ペンネ－ム：teki）
（ｍ、ｎ）＝（３，１２） （４，８） （１０，５）
最初は図形の問題かと思いましたが、解いてみると整数方程式ですね。
正ｋ角形の１つの内角は、π-2π/ｋ です。（正ｋ角形をその中心を通る
線でｋ個の二等辺三角形に分割すれば明らかです。）
条件より、 π-2π/m＋2*(π-2π/n)=2π
故に 2/m+4/n=1 → (m-2)(n-4)=8 が成立します。
m,nはともに３以上の整数ですので、(m-2,n-4)=(1,8) (2,4) (4,2) (8,1)
よって
（ｍ、ｎ）＝（３，１２） （４，８） （１０，５）
実際に、正三角形の周りに正１２角形、正方形の周りに正８角形、正
１０角形の周りに正５角形を敷き詰めると、条件にあった図形ができ
ますね。
解答・その9
（ペンネ－ム：迷子の雄猫）
題意を満たす正ｎ角形の内角２つ分の角度が、正ｍ角形の（外角＋１８０度）に一致す
る。 ．．．（１）
（１）より、正ｍ角形の（外角＋１８０度）ｍ個の合計が、正ｎ角形の（内角）２ｍ個
の合計と一致する。
正多角形の外角の合計が３６０度であることより、ｍ，ｎの間には以下の関係が成り立
つ。
１８０ｍ ＋ ３６０ ＝ （（ｎ－２）＊１８０÷ｎ）×２ｍ
ｍ ＋ ２ ＝ （（ｎ－２）÷ｎ）×２ｍ
（１）より、ｎ＝４以下だと正ｍ角形の内角が１８０度以上になってしまうため題意を
満たさない。
また、ｍ＜６の範囲では、正多角形は正３角形、正４角形、正５角形しかない。
よって、題意を満たす可能性のある（ｍ，ｎ）の組は（３，ｎ），（４，ｎ），（５，
ｎ），（６，６），（ｍ，５）の５組だけである。
（３，ｎ）の場合、ｎ＝１２
（４，ｎ）の場合、ｎ＝８
（５，ｎ）の場合、ｎ＝６．６６...となるので、題意を満たす正ｎ角形は存在しない。
（ｍ，５）の場合、ｍ＝１０
よって、題意を満たす（ｍ，ｎ）の組は、例としてあげた（ｍ,ｎ）＝（６，６）を除
くと（３，１２），（４，８），（１０，５）の３組だけである。
解答・その10
（ペンネ－ム：テレスとアリス）
くっつけた正ｎ角形のとなりあう２つが１辺を共有するとき、
正ｍ角形の一つの角と、正ｎ角形の二つの角の和は360度です。
（180 - （360 / ｍ）） ＋ 2（180 - （360 / ｎ）） ＝ 360
このことから
4ｍ ＝ ｍｎ - 2ｎ
の関係が成り立ちます。
ｍの値を 3から順次当てはめてみます。
（ｍ、ｎ）＝（3、12）
（ｍ、ｎ）＝（4、8）
（ｍ、ｎ）＝（6、6）
（ｍ、ｎ）＝（10、5）
これ以外には無さそうですが、証明できません。
解答・その11
（ペンネ－ム：オヤジ）
多角形の外角の和は、2πより正ｍ角形の一つの内角の外側の角は、 
この角が、正ｎ角形の内角２個分となっているので、 従って、一個の正ｎ角形の内角は、 
、
よって正ｎ角形の外角の一つは、 
また、多角形の外角の和は、2πより
ｎは、自然数・・・（１）であり、次の式を満たす
・・・（２）
（１），（２）を満たす 自然数m,nは、
∴ (m,n)=(3,12),(4,8),{(6,6)},(10,5)
解答・その12
（ペンネ－ム：杖のおじさん）
答えは（３，１２）（４，８）（１０，５）です。
多角形の内角は次の計算式で求めます。
X角形とすると１８０°―（３６０°÷X）となります。
そこで問題の条件を式にすると
（１８０°―（（３６０°÷ｍ））＋２（１８０°―（（３６０°÷ｎ））＝３６０°
となります。
１８０°―（３６０°÷ｍ）＋３６０°―（７２０°÷ｎ）＝３６０°
３６０°÷ｍ＋７６０°÷ｎ＝１８０°
３６０°ｎ＋７６０°ｍ＝１８０m
両辺を１８０°で割ると
２ｎ＋４ｍ＝ｍ・ｎ
これを展開すると
ｍ・ｎ－２ｎー４ｍ＝０
両辺に８を加算して
ｍｎー４ｍ－２ｎ＋８＝８
（ｍ－２）（ｎ－４）＝８
そうすると（ｍ－２）及び（ｎ－４）は８の約数でともにその積が８となります。
ｍ－２、ｎ－４＝（１，８）（２，４）（４，２）（８，１）である。
m―２＝１→m＝３ n－４＝８→n＝12 の場合 （３，１２）
m―２＝2→m＝4 n－４＝4→n＝8 の場合 （４，８）
m―２＝4→m＝6 n－4＝2→n＝6 の場合 （６，６）
m―２＝8→m＝10 n－4＝1→n＝5 の場合 （１０，５）
（ｍ、ｎ）＝（３，１２）（４，８）（６，６）（１０，５）である。
例題の（６，６）を除くので
答えは（ｍ、ｎ）＝（３，１２）（４，８）（１０，５）である。
解答・その13
（ペンネ－ム：スモークマン）
正m角形の一つの内角＝(180*m-360)/m=180-360/m
残りの 360-(180-360/m)=2(180-360/n)を満たす整数 m,n を求めればよい。
360/m-180+720/n=0
2/m+4/n=1
2n+4m=mn
m(n-4)-2(n-4)=(m-2)(n-4)=8
8=1*8=2*4
・m-2=1, n-4=8 のとき、
m=3, n=12
・m-2=8, n-4=1 のとき、
m=10,n=5
・m-2=2, n-4=4 のとき、
m=4, n=8
・m-2=4, n-4=2 のとき、
m=6, n=6
以上から・・・
(m,n)=(3,12), (4,8), (6,6), (10,5)
解答・その14
（ペンネ－ム：三角定規）
題意が成り立つとき，<図１> のように正m角形の内角(α)と正n角形の内角(β)２つ の和は 2πに等しい。
∴ (m－2)π/m＋2(n－2)π/n＝2π
整理して mn－4m－2n＝0 ∴ (m－2)(n－4)＝8
m，n は自然数だから，(m－2，n－4)＝(1，8)，(2，4)，(4，2)，(8，1)
∴ (m，n)＝(3，10)，(4，8)，(6，6)，(10，5)
(6，6) を除き， (m，n)＝(3，12)，(4，8)，(10，5) …[答]
これらを図示すると <図２> のようになります。
解答・その15
（ペンネ－ム：夜ふかしのつらいおじさん）
正ｎ角形の１つの内角は、度の単位で表すと 
これらが１つの頂点の周りに集まっているので次の等式が成り立っています。
整理して
これをｎについて解き直すと、
このグラフを書くと、
このグラフ上の点で、自然数の(m,n)の組を読むと、
(1)：（３，１２）、 (2)：（４，８）、 (3)：（６，６）、 (4)：（１０，５）
（漸近線をみるとこれ以外にないことが納得できます。）
(1) 
(2) 
(3)の例は蜂の巣を連想すればよいので省略します。（問題の要求にはありません）
(4) 
正解者
| teki | ＳＯＵ | 夜ふかしのつらいおじさん |
| のっこん | T_Tatekawa | 転位反応 |
| 杖のおじさん | 迷子の雄猫 | 巷の夢 |
| スモークマン | オヤジ | スーパーやまちゃん |
| 三角定規 | テレスとアリス | バルタン星人 |
コメント
今回の問題は、正多角形を正多角形で囲むという問題でしたが、tekiさんがおっしゃっているように、図形の
問題が整数方程式の問題になるところがおもしろいなあと思います。
三角定規さんから、おもしろいお話をいただきました。
今回問題の正３-正12角形，正方-正８角形は，
それらをうまく繰り返すことによって平面を埋め尽くすことができます。
正10-正５角形の場合は，それらのみで隙間なく埋め尽くすことはできませんが，一部をうまく重ね一部に隙間を作ることで添付のような美しい繰り返し模様を作ることができます。これなどは，歩道を敷き詰めるレンガブロックなどにあってもよさそうに思います。複雑すぎるでしょうか？
街中で探してみるとおもしろいかもしれませんね。
ところで、正多角形を正多角形で囲むといえば、思い起こすのは、サッカーボールですね。
サッカーボールは、正六角形が２０個、正五角形が１２個でできています。
下の図は、正五角形のまわりに正六角形を描いたものです。
（正確に描くのにちょっと苦労しました。）
正六角形の脇に隙間ができていますが、
もちろんこれは平面を敷き詰めるわけではなく、球面を作るために必要な隙間ですね。
それにしても、正五角形と正六角形を組み合わせて球面（に近い形）を作るのですから、
不思議といえば不思議です。
ぐりまさんより
サッカーボールは、正２０面体の頂点の「面取り」をすることで構成できます。
正２０面体は、１つの頂点に正三角形が５枚集まっていますので、面取りした結果の断面は五角形、
もともとの正三角形は３隅を切られて六角形になるわけです。
もとの頂点は１２個なので、五角形１２枚、六角形２０枚の立体になります。
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