Weekend Mathematics問題/問題15

15.直方体の問題

(1)下の図のように小さな立方体を縦3個、横4個、高さ2個 積み重ねて直方体ができています。 この直方体を、A、B、Cの3つの点を通る平面で切りました。 小さな立方体のうち何個が切られましたか。



(2)今度は6×4×3に積み上げて直方体を作ります。 この直方体を、A、B、Cの3つの点を通る平面で切りました。 小さな立方体はいくつ切られるでしょうか





問題の出典


(1)のみ法政大学第二中学校'92入試

パズルより面白い中学入試の算数

ピ−タ−・フランクル

講談社






答えと解説












答えと解説

回答・その1

(ペンネ−ム:Hungry Bear)


何もわざわざスライスしなくても  そのまま作図をすれば答がでます。
(1)については左の図参照。
答え 12個


直線AB,BC,CD(赤い線)が それぞれ小さな立方体の辺と交差する点を直線(青い線)で結び 黄色い面の青い線で仕切られた数を数えれば答はでます。 一目瞭然です。
(2)は24個ですがよく見ると1ヶ所3本の直線が交差する 点Oがあります。
もしこれが1点で交わらなければ ここに小さな三角形ができ25個となります。


点Oで3本の直線が交わっていることの証明

手前の6個の立方体を取り除いた平面がこの図です。

X,Y座標で考えると
  直線Lは(3,0)(9,3)を通るので
     Y=(1/2)X−(3/2)・・・(イ)
  直線Mは(0,2)(4,8)を通るので
     Y=(3/2)X+2・・・・・・・(ロ) となる
  点Dの座標  (イ)にX=4を代入し Y=1/2   (4,1/2)
  点Eの座標  (ロ)にY=3を代入し X=2/3   (2/3,3)
  よってD,Eを通る直線は  Y=(−3/4)X+(7/2) となる
  ここでX=2の時 Y=2となり 点Oで交わる。

以上3つの図についても、ご本人の提供です。



回答・その2

(ペンネ−ム:BABY MINNIE)


3列それぞれについて考える。
図より、12個の小さな立方体が切られた。





正解者(ペンネ−ム)

Hungry Bear

BABY MINNIE

コレクトコ−ルは106番!


まとめ

立体を考えるのは、なかなかむずかしいですよね。
そこで、水平に1段ずつ分けてみました。
上面を通過する線と下面を通過する線を赤でかきました。
これをつなぐ面が切断面となるわけです。
切られる立方体を黄色でぬってあります。




(1)については12個の立方体が切られます。






(2)については24個の立方体が切られます。
立体のまま考えようとせず、平面にわけて考えるのがコツですね。

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