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１５１．８つの三角形の面積

正方形ＡＢＣＤは面積が９cm^２で、 正方形ＥＦＧＨは正方形ＡＢＣＤのそれぞれの辺を３等分した点を通っています。 このとき、次の各問いに答えなさい。

(1) [図１] で、色のついた部分(２つの正方形を重ねてできた８つの三角形)の面積は何cmですか。

(2) [図１] の頂点Ａ、Ｆ、Ｂ、Ｇ、Ｃ、Ｈ、Ｄ、Ｅを結んだ [図２] で 色のついた部分(８角形との隙間にできた８つの三角形)の面積は何cmですか。

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問題の出典

センスのよい脳をつくる　大人の算数パズル
河瀬　厚　著
自由国民社
豊島岡女子学園中学校・2006年

答えと解説

解答・その1

（ペンネ−ム：やなせ）

問い１
図を0.5ｃｍ間隔の升目の上に描くと非常に解りやすくなります。
小さな△Ｅ Ｉ Ｊの面積は大きな△Ａ Ｋ Ｉの面積の半分になるのが解ります。
大きな△Ａ Ｋ Ｉの面積は□Ａ Ｂ Ｃ Ｄの面積の1/18
これから小さな△Ｅ Ｉ Ｊの面積は□Ａ Ｂ Ｃ Ｄの面積の1/36
それぞれに４個づつあるので
□Ａ Ｂ Ｃ Ｄの面積の1/18×４＋1/36×４＝8/36＋4/36＝12/36＝1/3
答え　　　３ cm²

問い２
△Ｅ Ｉ Ａの面積は底辺の長さと高さが△Ｅ Ｉ Ｊと同じなので面積も同じになります。
全体で８個有るので
□Ａ Ｂ Ｃ Ｄの面積の1/36×8＝8/36＝2/9
答え　　２ cm²

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解答・その2

（ペンネ−ム：teki）

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解答・その3

（ペンネ−ム：バルタン星人）

答え
　１）３
　２）２

考え方：
　１）大きな三角形（Ａ他）は４個で、一辺１の正方形が２個できる。
　　　小さな三角形（Ｅ他）は４個で一辺１の正方形が１個できる。
　　　あわせて３になる。
　２）一つの三角形は底辺１、高さが小さな三角形Ｅと共通なので面積は等しくなる。
　　　１／４×８＝２　

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解答・その4

（ペンネ−ム：のっこん）

（１）
８個の三角形（直角二等辺三角形）は次の２種類に分けられる　　各々４個である
　　(i)大きい方・・・直角をはさむ辺の長さが１
　　(ii)小さい方・・・斜辺の長さが１
(i)と(ii)の相似比は（√２）：１　　よって面積比は２：１
(i)の面積＝１/２ だから、(ii)の面積＝１/４
　　　（１/２）＋（１/４）＝３/４ 　S＝（３/４）・４＝３(cm²）

（２）
８個の三角形はいずれも（１）における(ii)の面積に等しいから
　　　S＝（１/４）・８＝２（cm²）

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解答・その5

（ペンネ−ム：オヤジ）

（１） 図１の４つの斜辺 ｃｍの直角２等辺三角形の面積 ：４×１×１÷２＝２ｃｍ^２　・・（�T)

他の４つの斜辺１ｃｍの直角２等辺三角形の面積：４× ×÷２＝１ｃｍ^２・(�U）

従って　（�T），（�U）より　２＋１＝３ｃｍ^２　　　　　　　　　　∴　３ｃｍ^２
　　

（２） 図２の８つの三角形は、全て合同で
一辺が，ｃｍ　 と　１ｃｍ　挟まれる角が　１３５°より
８× ×１×÷２＝　２ｃｍ^２　　　　　　　　　　∴　２ｃｍ^２　　　

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解答・その6

（ペンネ−ム：haya）

(1) 3 cm²
(2) 2 cm²

【解き方】
(1) 大きな三角形は直角を挟む二辺が 1cm であるから面積は
　　　 [(1 x 1)/2] x 4 = 2 cm²
小さな三角形は斜辺が 1cm、直角を挟む二辺が cm なので面積は cm²
面積の合計は、 2 + 1 = 3 cm²
(2) △EADは、底辺が 3cm、高さが 1/2 cm だから、面積は
　　　 (3 x 1/2)/2 x 4 = 3 cm²
内部の小さな白い三角形の面積は (1) より 1 cm² だから 面積は、3 - 1 = 2 cm²

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解答・その7

（ペンネ−ム：ykak）

1)　３ cm²
2)　２ cm²

考え方
1)問題の三角形のうち大きいほうの三角形は、直角をはさむ２辺の長さがどちらも１センチメートル だから、２等辺三角形であり、三角形の直角でない他の二つの内角は４５度である。
小さいほうの三角形の直角でない内角は、大きいほうの三角形の４５度の内角と同じだから、４５度で、 これも２等辺三角形である
正方形ABCDで、各辺を３等分した点を縦横に結んでできる９つの小さい正方形を考えると、 この正方形は１辺の長さが１だから、面積は１ cm² であるが、大きいほうの三角形は、上に述べたことから この正方形の半分の面積であることが分かる。
また小さいほうの三角形は、一番長い辺を軸にして正方形の内部に折り返してみると分かりやすいが、 小さい正方形の面積の４分の１になる。
問題の面積は、大きいほうも小さいほうも各４個分の面積だから、２分の１×４と４分の１×４を足して３ cm² になる。

2)問題の三角形を1)の小さいほうの三角形と比べてみる。正方形の辺ADを三角形の底辺と考えると 問題の三角形と小さいほうの三角形は、底辺がどちらも１で、高さもおなじであるから、面積は等しい。 答えは三角形８個分の面積だから、４分の１×８で２ cm² となる。

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解答・その8

（ペンネ−ム：受験生の父）

(1) 8つの三角形のうち、頂点A,B,C,Dを含む4つを合わせると一辺が1cmの正方形二つ になります。 残りの4つ、頂点E,F,G,Hを含むものを合わせると一辺が1cmの正方形一つになりま す。 よって
　答　：　1×1×3＝3 cm²

(2) 8つの三角形の一つ、例えば頂点AとEを含むものは、図１の頂点Eを含む三角形と 底辺が同じ長さで頂点を共有しているので、同じ面積になります。この三角形は4つ 合わせると一辺が1cmの正方形になるので、8つですとその倍、 すなわち
　答　：　2 cm² となります。

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解答・その9

（ペンネ−ム：迷子の雄猫）

（１）
正方形ＡＢＣＤの面積が９cm²なので、正方形ＡＢＣＤの一辺は３cm
三角形Ａが直角二等辺三角形になるので、直線ＡＣと直線ＥＦが４５度で交差している。よって、
三角形Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄは合同で、直角をはさむ一辺が１cmの直角二等辺三角形
三角形Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈは合同で、斜辺が１cmの直角二等辺三角形
よって、三角形Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄを２つ組み合わせると一辺が１cmの正方形になる。
三角形Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈを４つ組み合わせると一辺が１cmの正方形になる。
図１で、色のついた部分の面積は３cm²

（２）
辺ＡＤの３等分点をＫ、Ｌとする。
Ｅから辺ＫＬに垂線を引き、垂線と辺ＫＬの交点をＰとする。
角ＥＫＰと角ＥＬＰが等しく４５度なので、角ＫＥＰと角ＬＥＰも等しく４５度。
三角形ＥＫＰと三角形ＥＬＰは辺ＥＰが共通で、 辺ＥＫと辺ＥＬの長さが等しいので合同であるので、 一辺が０．５cmの直角二等辺三角形。
三角形ＡＫＥは底辺１cm高さ０．５cmの三角形になるので、面積は０．２５cm²
図２で、色のついた部分の面積は三角形ＡＫＥが８つ分になるので、 面積は２cm²

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解答・その10

（ペンネ−ム：T_Tatekawa）

(1)
まず，正方形同士が45度ずれている事を確かめます．
頂点Aを含む色のついた三角形は，題意から斜辺以外の二辺の長さが 同じです．
頂点Aは直角なので，他の二つの角は45度です．
対頂角を用いて順々に示して行くと，色のついた三角形は 全て直角二等辺三角形だと分かります．
次に辺ADに注目します．
正方形の面積が9 cm² なので，正方形の一辺の長さは3cmです．
辺が三等分されると，各々の線分の長さは1cmです．
頂点A, D を含む直角二等辺三角形は一辺の長さが1cmです．
頂点Eを含む直角二等辺三角形は，斜辺の長さが1cmです．
よって，頂点A, B, C, D を含む直角二等辺三角形の面積は
　　(1 x 1) /2 = 1/2 cm²
頂点E, F, G, H を含む直角二等辺三角形の面積は
　　(1 x 1/2) /2 = 1/4 cm²
それぞれ4つずつあるので，合計の面積は
　　(1/2 + 1/4) x 4 = 3 cm²

(2)
点Eの斜辺の長さが1cmであるので，三角形ADEの高さは 1/2cm．
よって，求める面積は
　　(((3-1)x 1/2)/2) x 4 = 2 cm²

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解答・その11

（ペンネ−ム：長崎島原　かがみ）

２つの正方形の１辺の長さは違うんですね。あぶないアブナイ！

（１）　

（答）　　３�p^２

（２）　斜線部の１個分は

（答）　　２�p^２

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解答・その12

（ペンネ−ム：スモークマン）

(1)
　　　(1²/2)*4+(1²/2)*(1/2)²*8=2+1=3 cm²

(2)
　　　(1²/2)*(1/2)²*2*8=2 cm²

おまけ・・・真ん中の正方形(EFGH)の面積は(3+2*(1/2))²/2=8 cm² になるんですね♪

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解答・その13

（ペンネ−ム：転位反応）

(1)８つの三角形は下図のように移動できるので面積は３cm²

(2)色の付いた三角形の底辺と高さは、上記(1)の小さい三角形の底辺と高さと等しいので、面積も等しい。 よって、求める面積は２cm²

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解答・その14

（ペンネ−ム：巷の夢）

（1）正方形ABCDの一辺の長さを3aとすると、
その面積が9 cm² であるからa2＝1となる。
4隅の三角形の面積はa2/2が4個なので2 cm²
また、正方形EFGHの4隅の三角形は斜辺の長さ がaであるから面積はa2/4が4個なので1 cm²
これらを加えて、求めるものは3 cm² である。

（2）8個の三角形の高さと底辺の長さは正方形
EFGHに於ける4隅の三角形の面積と等しいので、
4個で1 cm² 、8個なので2 cm² が求めるものである。

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解答・その15

（ペンネ−ム：杖のおじさん）

問１の答え　３ cm² です。
問２の答え　２ cm² です。

正方形ABCDの面積が９ cm² なので線分AJ = JI = ID = 1と分かります。

問１．
△Aと△B と△Cと△Dは同じ面積なのでAの面積を求めて４倍する。
底辺掛ける高さ割る２なので
　　　（１×１）/2 = 0.5×4 = 2 cm² ・・・(1)
△Eと△Fと△Gと△Hは同じ面積なのでEの面積を求めて４倍する。
△Eの高さは次の方程式で求めました。Y = X - 1
Xに１．５を代入するとY = 1.5-1 = ０．５
従ってEの面積は
　　　（1×０．５）/2 = 0.25×４ = １ cm² ・・・(2)
　　　(1)+(2) = ２ cm² ＋１ cm² = ３ cm² です。

問２．

図２は拡大図です。
線分ADとEFの交点をIとする。
線分ADとEHの交点をKとする。
頂点Eより線分ADに垂線を引きその交点をJとする。
△EAIと△EIKの面積は等しい
底辺　AE = IK = 1�p
三角形の高さは線分ADからEの位置まで（EJ）なので同じです。高さは０．５�pなので面積は
　　　０．５×(1/2) = ０．２５
三角形が８個あるので
　　　８×０．２５ = ２ cm²

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解答・その16

（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん）

(1)
図１において、 △APQと合同である三角形は４つあります。
△APQを２つ集めると１辺の長さが１の正方形になります。
だから、１×１×２＝２
△EQRと合同である三角形は４つあります。
△EQRを２つ集めると１辺の長さが１／√２の正方形になります。
だから、(１／√２)×(１／√２)×２＝１
よって、合計の面積は３です。

（２）
図２において、
△AEQと合同である三角形は８つあります。
AQを底辺とした場合、高さは１／２です。
だから、合計の面積は、(１／２)×１×(１／２)×８＝２

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解答・その17

（ペンネ−ム：三角定規）

【解答】
(1) 求める面積は，図の緑色の面積の４倍。
　　よって，4×{(1/2)・1・1＋(1/2)・1・(1/2)}＝2＋1＝3 cm² …(答)
(2) 求める面積は，図の緑色の面積の４倍。
　　よって，4×(1/2)・(1＋1)・(1/2)＝2 cm² …(答)

正解者

長崎島原　かがみ	teki	迷子の雄猫
受験生の父	のっこん	巷の夢
スモークマン	転位反応	ykak
オヤジ	杖のおじさん	やなせ
haya	T_Tatekawa	三角定規
バルタン星人	夜ふかしのつらいおじさん

コメント

(1)については、すぐにお気づきのように、８つの三角形は大きさの違う２種類に分類されます。 また、何人かの方からご指摘をいただいているように、正方形ABCDと正方形EFGHは合同ではありません。 そのあたりに注意する必要がありますね。
(2)については、多くの人の解答にあるように、三角形１つの面積が、(1)に登場した小さい方の三角形の面積と等しい ことから、求めることができますね。

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