１５３．４桁の整数
４桁の整数があります。この整数の各位の数字はすべて異なっていて、また０ではありません。
この整数の数字をならべかえてできるすべての整数のうち最大の整数とこの整数との差は3618で、
最小の整数とこの整数との差は4554です。この４桁の整数を求めてください。
問題の出典
算数オリンピックに挑戦
算数オリンピック委員会編
講談社ブルーバックス
2004年トライアル問題
答えと解説
解答・その1
（ペンネ－ム：浜田 明巳）
エクセルのマクロで解きました．答は５９１３です．
Option Explicit
Dim a(4) As Integer
Sub Macro1()
Sheets("Sheet1").Select
Cells(1, 1).Value = 0
Range
Call saiki(1)
End Sub
Sub saiki(ByVal n As Integer)
a(n) = 1
While a(n) <= 9
If onaji(n) = 0 Then
If n < 4 Then
Call saiki(n + 1)
Else
Call check(1)
End If
End If
a(n) = a(n) + 1
Wend
End Sub
Sub check(ByVal x As Variant)
Dim b(4) As Integer
Dim s As Integer
Dim ss As Integer
Dim dame As Integer
Dim j As Integer
Dim jj As Integer
Dim jjj As Integer
For j = 1 To 4
b(j) = a(j)
Next j
For j = 1 To 4 - 1
For jj = j + 1 To 4
If b(j) < b(jj) Then
b(0) = b(j)
b(j) = b(jj)
b(jj) = b(0)
End If
Next jj
Next j
dame = 0
j = 1
While dame = 0 And j <= 2
s = 0
For jj = 1 To 4
ss = a(jj) - b(-jj * (j = 1) - (5 - jj) * (j = 2))
For jjj = 1 To 4 - jj
ss = ss * 10
Next jjj
s = s + ss
Next jj
s = Abs(s)
If (j = 1 And s = 3618) Or (j = 2 And s = 4554) Then
j = j + 1
Else
dame = 1
End If
Wend
If dame = 0 Then
Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + 1
s = 0
For j = 1 To 4
ss = a(j)
For jj = 1 To 4 - j
ss = ss * 10
Next jj
s = s + ss
Next j
Cells(Cells(1, 1).Value, 2).Value = s
End If
End Sub
Private Function onaji(ByVal n As Integer) As Integer
Dim j As Integer
onaji = 0
j = 1
While onaji = 0 And j < n
If a(j) = a(n) Then
onaji = 1
Else
j = j + 1
End If
Wend
End Function
解答・その2
（ペンネ－ム：バルタン星人）
答え
５９１３
考え方：
並べ替えた最大の数をＡＢＣＤとすると最小はＤＣＢＡ
ＡＢＣＤ－ＤＣＢＡ＝３６１８＋４５５４＝８１７２
Ａ－Ｄが８になるのはＡ＝９ Ｄ＝１の時のみ
本来の数の末尾（ＢまたはＣ）は、１１－８＝３
また先頭は５または６、５の時題意を満たし
元の数は５９１３
解答・その3
（ペンネ－ム：オヤジ）
解 ５９１３
∵ 求める数を ｘ とすると
最大値－ｘ＝３６１８ ・・・Ⅰ
ｘ－最小値＝４５５４ ・・・Ⅱ
Ⅰ＋Ⅱより
最大値 － 最小値＝ ８１７２ ・・・Ⅲ
Ⅲより ８１７２＝９８６１－１６８９ ＝ ９６４１－１４６９
＝９５３１－１３５９ ＝ ９４２１－１２４９
などが考えられる
条件より
９５３１ １３５９ －３６１８ ＋４５５４ ５９１３ ５９１３
解答・その4
（ペンネ－ム：haya）
5913 です
【解き方】
求める 4桁の整数を n_ans とすると
(1) 降順に桁並べ替え(n_ans) - n_ans = 3618
(2) n_ans - 昇順に桁並べ替え(n_ans) = 4554
(1) + (2) から
降順に桁並べ替え(n_ans) - 昇順に桁並べ替え(n_ans) = 8172
降順に桁並べ替えた４桁の整数を左から順に z, y, x, w とすると
z y x w - w x y z --------------------- 8 1 7 2
z - w = 8
w - z = 2 or 10 + w - z = 2
より、0 を不可とすれば、z = 9, w = 1 を得る。
(1) より
n_ans = 降順に桁並べ替え(n_ans) - 3618 = 9531 - 3618 = 5913
PS： 百の位以下で 0 を不可としなければ 4802 も解になります。
解答・その5
（ペンネ－ム：長崎島原 かがみ）
求める整数をｐ、並べかえた最大数をＭ、並べかえた最大数をｍとする。
題意より、Ｍ－ｐ＝３６１８、ｐ－ｍ＝４５５４ だから、
この２式を辺々加えると、
Ｍ－ｍ＝８１７２
となる。
そこで、
Ｍ＝９□□□
ｍ＝１□□□
しか考えられないので、次に□□□を試行錯誤して入れてみることにした。
そして、
Ｍ＝９５３１
ｍ＝１３５９
としてみると、
Ｍ－ｍ＝８１７２
となる。
次に、ｐ＝５９１３ とすると、
Ｍ－ｐ＝９５３１－５９１３＝３６１８
ｐ－ｍ＝５９１３－１３５９＝４５５４
となる。したがって、求める整数は ５９１３ である。
解答・その6
（ペンネ－ム：迷子の雄猫）
最大の整数をx、最小の整数をz、この４桁の整数をyとおく。
この整数の各位の数字はすべて異なっているので
それぞれの数字を小さい順からa,b,c,dとおく。
a,b,c,dいずれも０ではなく、
この整数の数字をならべかえてできる すべての整数のうち
最大の整数とこの整数との差は3618で、
最小の整数とこの整数との差は4554であるので、
x-y=3618
y-z=4554
x-z=8172 より
1000d+100c+10b+a - (1000a+100b+10c+d) = 8172 ...（式1）
d=8とすると、a=1でもxとzの差が8000を下回るので、d=9、a=1
式1に代入して
9000+100c+10b+1 - (1000+100b+10c+9) = 8172
100c+10b - (100b+10c) = 180
9c-9b = 18
c-b = 2
よって、(c,b) = (7,5) , (6,4) , (5,3) , (4,2)
xの１の位が１で、x-y=3618なのだから、
yの１の位を考えると、3でなくてはならない。
よって、(c,b)=(5,3)であり、この整数は5913
9531-5913=3618
5913-1359=4554
であるので題意を満たす。
解答・その7
（ペンネ－ム：SOU）
今、各位の数字が a,b,c,d で構成されていて、
d＞c＞b＞a
という関係があるとする。
これにより表される最大の整数、最小の整数は各々
1000d + 100c + 10b + a
1000a + 100b + 10c + d
となり、その差は 8172 なので
999(d-a) + 90(c-b) = 8172 ★
という関係式ができる。
8172の、1の位を決められるのは、左辺の 999(d-a) の部分だけで、
d-a = 8
でなければならない。
条件から、
(d,a)=(9,1)
以外に無いことがわかる。すると★は
c-b = 2
となる。組み合わせとしては、
(c,b) = (4,2),(5,3),(6,4),(7,5),(8,6)
があげられるが、この中で残り二つの条件を満たすものは
(c,b) = (5,3)
の組のみ。以上の事から元の整数は 5913 //
解答・その8
（ペンネ－ム：のっこん）
最小の整数の千の位をa,百の位をb,十の位をc,一の位をd とする
（以下これを abcd のように表わす）
最大の整数は dcba と表わされる
3618 + 4554 = 8172 だから abcd+8172=dcba ・・・(1) となる
(1) の百の位の計算において b≦７ だから b+1≦8, b+2≦9
よって百の位から千の位への繰り上がりはない
a+8=d より a=1,d=9
(1) にa=1,d=9 を代入して 1bc9+8172=9cb1・・・(2) となる
(2) の一の位の計算において 9+2=11 だから 十の位の計算は c+8 となる
c≧3 だから c+8≧11 よって百の位の計算は b+2 となる
b+2=c を満たすのは次の５つ
(b,c)=(2,4),(3,5),(4,6),(5,7),(6,8)
(a,b,c,d)=(1,2,4,9) の時、求める整数は5803・・・これは1,2,4,9 の並べ替えではない
=(1,3,5,9) の時、 〃 5913・・・これは1,3,5,9 の並べ替えである
=(1,4,6,9) の時、 〃 6023・・・これは1,4,6,9 の並べ替えではない
=(1,5,7,9) の時、 〃 6133・・・これは1,5,7,9 の 〃
=(1,6,8,9) の時、 〃 6243・・・これは1,6,8,9 の 〃
よって求める整数は 5913
もっと簡単な解き方があるんだろうなあ～
いい問題だと思います
解答・その9
（ペンネ－ム：falcon@中学教師）
＜答え＞
5913
＜考え方＞
求める整数を X とし、４桁を構成している４つの数字を a, b, c, d とする。
さらに一意性は変わらないので、a＞b＞c＞d とする。
表現を簡単にしたいので、
ならべかえてできる最大の整数を abcd
最小の整数を dcba と表現することにする。
与えられた条件は
abcd－X＝3618
X－dcba＝4554
この２つの式を足して、abcd－dcba＝8172という式を作る。
ここで４桁目の結果に注目すると、
各桁は１～９の数のみを用いることが条件なので、a=9, d=1 と決まる。
次に、残りのb, c を決定するために筆算の形を取って考えてみる。
９ｂｃ１ －１ｃｂ９ －－－－－ ８１７２４桁目は繰り下がりの影響を受けず、１桁目で繰り下がりが起こるのは明白。
あとは２桁目で繰り下がりが起こるかどうか。
（１）繰り下がりが起こらないとすると・・・
２桁目の計算は（ｃ－１）－ｂ＝７
３桁目の計算はｂ－ｃ＝１
この２つの式の連立方程式には解がないので不適
（２）繰り下がりが起こったとすると…
２桁目の計算は１０＋（ｃ－１）－ｂ＝７
３桁目の計算は（ｂ－１）－ｃ＝１
この２つの式の連立方程式には解が無数に存在し、その条件はｂ－ｃ＝２
よって、繰り下がりが起こったとして残っている数字から考えると
（ｂ，ｃ）＝（８，６）、（７，５）、（６，４）、（５，３）、（４，２）
元々与えられている条件の一つ、abcd－X＝3618
これを変形させてX＝abcd－3618としてこの式に候補を当てはめていくと
題意に合うのは（ｂ，ｃ）＝（５，３）のみで、X＝5913と出てくる。
（もう一つの条件式に当てはめて確認すると、やはりこれも成り立つ。）
解答・その10
（ペンネ－ム：Kの人）
4桁の数の各桁の数を a,b,c,d とし、 d＜c＜b＜a とする。
4桁の数を並び替えてできる最大の数とこの数との差が3618、
最小の数との差が4554であるので最大の数と最小の数との差は 3618+4554=8172 となる。
このことから、
(1000a+100b+10c+d)-(1000d+100c+10b+a)=8172
という式が成り立つ。これを整理して、
111(a-d)+10(b-c)=908
さて a,b,c,d はそれぞれ1桁の0でない自然数で d＜c＜b＜a であるので a-d , b-c もそれぞれ1桁の0でない自然数である。
このことから、 111(a-d) は 333,444,555,666,777,888
(1≦a≦6,4≦d≦9であるので)のいずれかであり、10(b-c) は
10,20,30,40,50,60(2≦c≦7,3≦b≦8であるので)のいずれかである。
111(a-d)+10(b-c)=908 であり、908 の1の位が8で、10(b-c) 10,20,30,40,50,60のいずれかなので
111(a-d)=888
a-d=8
10(b-c)=20
b-c=2
である。
a-d=8となる組み合わせは、a=9,d=1のみである。
b-c=2となる組み合わせはa=9,d=1であることを考えて、
(b=8,c=6),(b=7,c=5),(b=6,c=4),(b=5,c=3),(b=4,c=2)
である。
a=9,d=1とし、b,cと上記の組み合わせの中から選んでそれぞれを並び替えた最大の数を作るとそれぞれ
9861,9751,9641,9531,9421 である。これら数からそれぞれ3618を引くと順に
6243,6133,6123,5913,5803 となる。
これらの数の中で3618を引いたあとの数の各桁の数を並び替えて引く前の数になるのは5913のみである。
5913の各桁の数を並び替えてできる最小の数は1359。これと元の数との差は4554であり答えとしてふさわしい。
よって求めるべき数は、5913
解答・その11
（ペンネ－ム：転位反応）
４桁の整数をＲ、最大及び最小の整数をそれぞれＲmax、Ｒminとする。
Ｒmin＜Ｒ＜Ｒmax なので
Ｒmax－Ｒmin＝３６１８＋４５５４＝８１７２
ａ，ｃについては、ａ＝９，ｃ＝１の場合に限られるので
題意から、ｂ＝１，ｄ＝９
従って、差が１８となる２桁の整数を見つければ良い。
考えられる全ての２桁の整数の組合せは以下の通り。
それぞれの組合せについて検証すると、
求める４桁の整数は、Ｒ＝５９１３
解答・その12
（ペンネ－ム：夜ふかしのつらいおじさん）
この整数に使われている４個の数字を小さい順にa,b,c,dとします。
またこの数をpqrsで表します。（p,q,r,sは、それぞれa,b,c,dのどれか）
すると、
求める解答は５９１３です。
解答・その13
（ペンネ－ム：巷の夢）
題意より求める4桁の整数をY、最大数をX、最小数をZとすると
X-Y＝3618 ・・・・・・(1)
Y-Z＝4554 ・・・・・・(2)
この(1)および(2)よりYの4桁目は最大数でなく、最小数でもないとわかる。
(1)+(2)よりX-Z＝8172 ・・・・・(3)
これよりXの4桁目は9、Zの4桁目は1である。すると残りの2数は（2,3,4,5,6,7,8）の中の二つである。
Xは9○△1、Zは1△○9と書ける。
これより △-○＝8ないし10-○ +△-1＝7、即ち、○-△＝2である。△-○＝8となるには9と1しかなく、
これらは既に確定しているので、○-△＝2である。
因って、（○、△）＝（8,6）（7,5）（6,4）（5,3）（4,2）のどれかである。
ところで、(1)と(2)よりYの4桁目は5か6であると分かる。
これより、6なら（○、△）＝（8,6）ないし（6,4）
5なら（○、△）＝（7,5）ないし（5,3） となる。
以上より（X、Z）は（9861,1689）（9641,1469）（9751,1579）（9531,1359）となる。
この4ケースのYを求めると、各々7243,6023,6133.5913となる。
このうち既知の9と1が入っている整数は5913のみであり、これが求めるものである。
解答・その14
（ペンネ－ム：teki）
４桁の数に使われている４つの数字を、小さい順にa,b,c,dとします。
もとの数をAとすると、
A-1000a-100b-10c-d＝3618
1000ｄ+100ｃ+10ｂ+a-A＝4554
が成立します。辺々足して、
1000*（d-a)+100*(c-b)+10*(b-c)+a-d＝8172
元の数も並べ替えた数も４桁なので、千の位が８であることから
d=9 , a=1
です。また、10の位は１の位の引き算から
ｂ-ｃ+9＝7、
100の位は１0の位の引き算から
ｃ-ｂ-１＝1
で、ｂ＝３、ｃ＝５ となります。
解答・その15
（ペンネ－ム：杖のおじさん）
答え ５９１３
この整数の各桁の数を大きい順にA,B,C,Dとすると最大の数字はA,B,C,Dで
最小の数字はD,C,B,Aとなります。
（例 求める数字が５２３９とすると９５３２が最大で２３５９が最少になります。）
最大から最小を引くと３６１８＋４５５４＝８１７２となります。
従って４桁目は９から９－X=8 →X=9-8=1
この４桁に９と１が入っていることが分かります。A,B,C,D,は０以外なのでA=9
D=1となります。
ABCD-DCBA=９BC1-１CB９＝９００１－１００９＋BC０－CB０＝７９９２＋BC0－CB0＝８１７２
（BC－CB）×１０＝８１７２－７９９２＝１８０
従ってBC－CB=18
B＞CでありBとCは９と１以外の数なのでくり下がって８となるためにはB－C=１＋１＝２にならなければならない。
その条件に当たるのが次の５通りとなります。
（４，２）（５，３）（６，４）（７，５）（８，６）最大の整数は
９BC1－３６１８＝□□□３となります。
BとCのどちらかが３であることが分かります。
これにより上記の組み合わせの中からB=3 C=5であることが分かります。
９５３１－３６１８＝５９１３となります。
最大の数字から求める数字を引くと３６１８なので
９５３１－X=３６１８→９５３１－３６１８＝５９１３
答え ５９１３です。
解答・その16
（ペンネ－ム：lotus）
各桁の数四つを千の位から大きい順に並べ替えた最大数と小さい順に並べ替えた最
小数の差は、3618+4554=8172 となる。
どの桁の数も0ではなく1から9までの整数であるから、差が8000台になるのは
千の位の数が9と1の場合しかあり得ない。
従って、最大数は 9○△１，最小数は1△○9 （○＞△）となり、題意を満たす○と△の数
字を求めていく。
9○△１-8172=1△○9 下三桁に着目し
○△１-172=△○9 → 10+(△-1)-7=○(十の位）、○-1-△=1(百の位) つまり○-△=2
したがって(○、△)は(8,6)(7,5)(6,4)(5,3)(4,2)のいずれかである。
(1と9は既に使っているので(9,7)と(3,1)は不可）
元の数から1△○9を引いた差が4554なので、元の数の一の位の数は3と分かり、
(○、△)の組み合わせで3が含まれているものは(5,3)しかない。
以上から4つの数1,3,5,9が判明したので、あとは条件を満たす数を求めれば良く、
答えは 5913 である。
解答・その17
（ペンネ－ム：三角定規）
求める4桁の整数を N，N を並べ替えてできる最大数を Max，最小数を min とすると，題意より
Max－N＝3618 … (1)
N－min＝4554 … (2)
(1)＋(2)： Max－min＝8172 … (3)
(3)より，N の各位の数は 1，9 を含み，Max＝9□△1，min＝1△□9 … (4)
(4)を(3)に代入して，□△＝86，75，64，53，42 … (5)
(1)－(2)： Max＋min－2N＝－936 ∴ N＝(Max＋min＋936)/2 … (6)
(5)の各数を(6)に代入し題意を満たすものは □△＝53 で，N＝5913 …[答]
正解者
| falcon@中学教師 | teki | バルタン星人 |
| オヤジ | 迷子の雄猫 | のっこん |
| haya | 巷の夢 | lotus |
| 長崎島原 かがみ | 転位反応 | Kの人 |
| 浜田明巳 | 杖のおじさん | 三角定規 |
| 夜ふかしのつらいおじさん | SOU |
コメント
3618と4554を足すと、最大の整数と最小の整数の差になっているという
ところがポイントでしょうか。そこを手掛かりに、４つの数字を絞りこんでいきますが、
三角定規さんの解答にあるように、今度は3618と4554の差を
考えるというのも、おもしろい発想だなあと思います。
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