問題156 星座の問題
午後６時30分、北の空に北極星Ｎと直角二等辺三角形の形になる星Ａ、Ｂ、Ｃが
図のように見えました。
（Ｎの左にＢ、Ｂの上にＣ、Ｃの左にＡで、ＮＢ＝ＢＣ＝ＣＡ）。
何時間か後に星Ａと星Ｂが同時に地平線に沈みました。そのあと星Ｃが沈みました。
星Ｃが沈んだ時刻を求めてください。
ただし、星Ａ、Ｂ、Ｃは北極星の周りを24時間かけて反時計周りに１周します。
また、地平線は水平な直線とします。
問題の出典
算数オリンピックに挑戦
算数オリンピック委員会編
講談社ブルーバックス
2005年ファイナル問題
(出題：河野秀樹)
答えと解説
解答・その1
（ペンネ－ム：バルタン星人）
答え
午後１１時３０分
考え方：ＡＢＮＣは平行四辺形で、ＡＢが地平線に来るには４５度回転する。
また、Ｎから地平線に下ろした垂線の足をＨとすると
ＮＣ＝２ＮＨ
故にＣが地平線に来るときは、正弦が１／２となる３０度さらに動くことになる。
１時間に１５度ずつ回転するので（４５＋３０）／１５＝５時間後
解答・その2
（ペンネ－ム：スモークマン）
今回の問題は...AB が同時に水平線に没するときの図を描いてみたら...
C が水平線に移動するまでの角度は...NC=√2 : 水平線までの高さ=√2/2 となるので...
角度にすると 30°なので...
AB が水平になるまで 45°と加えて...
24*((30+45)/360)=2+3=5
6:30+5:00=11:30 pm
になりますね ♪
解答・その3
（ペンネ－ム：迷子の雄猫）
星Ａと星Ｂが同時に地平線に沈んだときの星Ｃの位置をＤ
星Ｃが地平線に沈んだときの星Ｃの位置をＥとおく。
星Ａと星Ｂが同時に地平線に沈んだとき
直線ＡＢが水平なので、直線ＮＤも水平になる。
このときの回転角度は４５度。
ＮＢ＝ＢＣ＝ＣＡの長さを１と置くと
三角形ＡＢＣ、三角形ＮＢＣ、の面積が１／２なので、
三角形ＤＮＥは、面積が１／２、斜辺が√２
斜辺に垂線を下ろしたとき、その垂線の長さは１／（√２）
斜辺：垂線の長さの比が２：１の直角三角形の角度は、
９０度、６０度、３０度、であるので、角ＤＮＥは３０度。
よって、以上より、星Ｃが地平線に沈んだときの回転角度は７５度。
一日で３６０度回転する星が７５度回転するのに必要な時間は、
２４時間＊７５度／３６０度＝５時間。
午後６時30分より５時間経過した時刻は午後11時30分。
答：午後11時30分
解答・その4
（ペンネ－ム：AND）
答え：１１時３０分
（初期状態から分かること）
N・A・B・Cは定義より、平行四辺形になっており、NＢ＝ＢＣ＝ＣＡの長さを１と
すると、ピタゴラスの定理からＮ－Ａ＝√５、N－C＝√２ となり、また、
平行線Ｎ－ＣとＡ－Ｂの間の距離は、√２÷２となります。
また、初期状態（６時３０分）時点の水平線と線分Ｎ－Ｃとの角度は、定義
（ＮＢ＝ＢＣ）より４５度となります。
（星Ａ・Ｂが同時に水平線に沈んだことから分かること）
ここで、まずＡとＢは同時に水平線に沈んだのですから、そのときは北極星Ｎと
星Ｃは水平線と平行になっていることになります。 このことから水平線と
北極星の間の距離は、√２÷２となります。
（星Ｃが水平線に沈む時刻を想定して分かること）
いま、星Ｃが水平線に沈んだ状態を考えると北極星Ｎと星Ｃの間の距離は、
√２であり、星Ｃと水平線の距離は√２÷２となりますから、星Ｃが水平線に
沈んだ時点での線分Ｎ－Ｃと水平線の角度は、Ｓｉｎ（Ｘ）＝１／２から３０度と
なります。
（これまで、分かったことを整理すると）
以上より、求める答えは、６時３０分より、７５度／３６０度角度が回転した
時刻を求めればよいことになります。
７５度は（１時間＝１５度より）５時間ですから、求める星Ｃが水平線に沈んだ
時刻は、１１時３０分となります。
解答・その5
（ペンネ－ム：マオ）
解答：午後11時30分
AC=BN,AC//BNより□ABNCは平行四辺形。
BN=1 とすると、CN=√2 , AN=√5となる。
A,Bが地平線に沈むときのA,B,C位置をA',B',C'
Cが地平線に沈むときの位置をC"とする。
ABが地平線に重なるとき、C'N//A'B'より、
点BはC'N上にある。
点Nから地平線に垂線を下ろし、交点をHとすると、
△NHB'は直角二等辺三角形で、NB'=1 より NH=√2/2
NC"=√2より、△NC"Hは 1:2:√3の直角三角形となり、
∠C"NH=60°となる。
よって∠CNC"=∠CNC'+∠C'NH-∠C"NH
=(45+90-60)°
=75°
点Cが地平線に沈むまでにかかる時間は
24×75÷360=5
これより、点Cが地平線に沈む時刻は
5時間後の 午後11時30分
解答・その6
（ペンネ－ム：再出発）
星Ａ、Ｂは地平線に辿り着くまでにＮを中心に∠ＢＮＣ＝４５゜だけ回転します。
つぎに、線分ＡＢ上にＣＮ＝ＤＮとなるように点Ｄをとると
∠ＤＮＣ＝３０゜となり、
（∵ 点Ｄから線分ＮＣに垂線ＤＥを下ろすとＤＥ：ＤＮ＝１：２）
点ＣがＮを中心に線分ＡＢに辿り着くまでに３０゜だけ回転します。
したがって、午後６時３０分から星たちは
北極星を中心に７５゜だけ回転したように見えます。
それに要した時間は
２４×７５÷３６０＝５ 時間です。
このことから星Ｃが沈んだ時間は午後１１時３０分であることが分かります。
解答・その7
（ペンネ－ム：三角定規）
「星Ａと星Ｂが同時に地平線に沈んだ」 とき，
線分 NB は反時計回りに 45゜ 回転して図のようになった。
線分 NC がさらにθ回転し星Ｃが沈むとき，図のように，∠CNC'＝∠NC'D で
sin∠NC'D＝ND/NC'＝1/2
だから，θ＝30゜
星々は，北極星Ｎの回りを１時間に 15゜回転するから，45゜＋30゜ 回転するのは 5 時間後。
よって，星Ｃが地平線に沈むのは，午後11時30分。…［答］
解答・その8
（ペンネ－ム：namiusagi）
星Aと星Bが同時に地平線に沈んだので、図のA',C',B',Nの様になる。この時45°回転したことになる。
ここから図のA'',C'',B'',Nの様になった時が星C(C'')が沈んだ時である。
図の角αは30°だから、β=30°、γ=15°、δ=30°で午後6時30分から75°回転したことになる。
24時間で一周（360°）するので
(75/360)*24=5
∴午後11時30分
解答・その9
（ペンネ－ム：杖のおじさん）
答 午後11時30分です。
Ａ，Ｂの星が地平線に沈むのは45°回転した時である。
従って 一時間の回転角度は (３６０°)/２４＝15°なので (４５°)/(１５°)＝3 時間 後となる。
下の図はＡ，Ｂの星が地平線に沈んだ時のＣ星の位置です。
ＮＥ＝ＣＤ 長さをXとする。
ＡＣ＝ＣＢ＝ＢＮ 長さをYとする。
ＮＣ＝ＮＦ 長さをZとする。
∠ＣＮＦ＝∠ＮＦＥ は錯角で同じ角度です。
X＝1としてYを求めるとY＝√2
Z＝√(Y2+Y2 )＝2となります。
∠ＮＦＥを求めます。
SINθ＝Ｘ/Ｚ＝１/２＝0.5
従って角度は30°になります。
時間は ３０°/１５°＝2 時間後となる。
Ｃ星が地平線に沈むのは、午後6時30分＋3時間＋2時間＝午後11時30分 となります。
解答・その10
（ペンネ－ム：やなせ）
星間距離Ｎ，Ｂ＝Ｂ，Ｃ＝Ｃ，Ａと
星間を結んだ線、Ｎ，ＢとＢ，Ｃ直交する
又Ｂ，ＣとＣ，Ａも直交する
線Ｎ，ＢとＣ，Ａは地平線と平行になる
現在の時間は午後６時半
２４時間で１周する
少しは解りやすいかと思って北極星Ｎを中心に円を描いてみた
与えられた条件から地平線から北極星Ｎの高さは星Ｎ，Ｃ間の半分になります。
図ではＡ’、Ｂ’、Ｃ’の時が星Ａ，Ｂが同時に地平線に沈む時です。
求めるのはＣが地平線に沈む時間ですから沈むときの星Ｃの地点をＣ”とすれば
∠Ｃ，Ｎ，Ｃ”の角度Ｗが解れば
Ｃが沈むまでの経過時間が解ります。
∠Ｂ，Ｎ，Ｃは４５°なので残りの∠Ｘがいくらかですが
ＮからＣ”に線を引くと平行線に交わる線分がなんたらかんたらの定理で
∠Ｙ＝∠Ｘ
Ｎから地平線に直交する線を引き交わるところをＤとすると
線分Ｄ，Ｃ”＝Ｎ、Ｄ×２
∠Ｎ，Ｄ，Ｃ”直角なので誰かさんの三角形の定理から
∠Ｘ＝３０°＝∠Ｙが解ります。
これから
∠Ｗ＝４５°＋３０°になる
２４時間で１周するので
２４×７５÷３６０＝５（時間）
午後６時３０分＋５時間＝午後１１時３０分
答え
午後１１時半
解答・その11
（ペンネ－ム：オヤジ）
とすると
となる
先ず、Ａ，Ｂが地平線に同時に沈む状況を考える。
角速度は、
ＡＣと地平線, またＢＮと地平線のなす角度は,
であり、
角速度を考えると、午後６時３０分の４５÷１５＝３時間後の
午後９時３０分
この時 北極星から地平線におろした垂線の足をＨとすると長さ
次に, Ｃが地平線に沈む状況を考えると 
三角形ＮＣＨを考えると
ＮＨ：ＣＮ：ＣＨ＝１：２： 
従って ∠ＮＣＨ＝ 
従って ∠ＮＣＢ＝ 
角速度を考えると 午後６時３０分の ７５÷１５＝５時間後の
午後１１時３０分
∴ 午後 １１時３０分
解答・その12
（ペンネ－ム：のっこん）
星Ａが地平線に沈む時にそれが占める位置をＰ、
星Ｂが地平線に沈む時にそれが占める位置をＱ、
星Ｃが地平線に沈む時にそれが占める位置をＲとする。
Ｐ、Ｑ、Ｒは水平な直線上にある
ＮＢ＝ＢＣ＝ＣＡ＝１ とし
Ｎ（０、０）、Ａ（－２、１）、Ｂ（－１，０）、Ｃ（－１、１）とする
Ｂの軌跡は x2+y2=1・・・(1)
Ｃの軌跡は x2+y2=2・・・(2)である
△ＮＡＢ≡△ＮＰＱ、∠ＡＢＮ＝135°だから
ＮＱの方程式は y=x・・・(3)
(3)を(1)に代入して Ｑ（－1/√2、－1/√2）
よってＲのy座標は－1/√2
y＝－1/√2 を(2)に代入して
Ｒのx座標は－√3/√2
ＮＢの延長にＲから垂線を下し、その足をＨとすると
ＲＨ：ＨＮ：ＮＲ＝1：√3：2
よって∠ＢＮＲ＝30°
∠ＣＮＲ＝∠ＣＮＢ＋∠ＢＮＲ＝45°＋30°＝75°
15°の回転で1時間だから
75°の回転では5時間
Ｃが沈むのは5時間後の午後11時30分
解答・その13
（ペンネ－ム：haya）
点 C が水平線に没する時刻は 11時30分 です。
【解き方】
点 N を中心に回転して A, B 点が同じ高さに並ぶには、線分 AB の延長線と水平線のなす角度、
つまり 45°回転する必要がある、このための時間は
24 x 45 / 360 = 3 (H)
ここから点 C が水平線に没するには、N を中心として半径 CN の円弧を描いた時に線分 AB と交わる点を D として、
θ = ∠CND だけ更に回転させる必要がある。
出題の図で、N を原点とする直交座標を考え、B の座標を (-1,0)、C を (-1,1)ととる。
従って回転に必要な時間は、
3 + 2 = 5 (H)
時刻の初期値は 6:30 であるから、点 C が水平線に没する時刻は
11:30
となる。
解答・その14
（ペンネ－ム：こたつ）
Nを中心に24時間で360°回転することから1時間で15°＝ π/12回転する
BNの距離を1として、Nを座標の中心とみると
星Cの座標は(Xc , √2sin(3π/4 + tπ/12) )となる。
※tはP.M6:30からの時間（単位は「時間」）
線分ABと線分CNは平行であることから星A,Bが地平線に着いた時、星C,Nも地平線と平行に横に並んでいる状態
そして、この時星Cの地平線からの高さは√2/2である。
よって星Cが沈む時はCの座標が(Xc1 , -√2/2) となる
√2sin(3π/4 + tπ/12) = -√2/2 を満たすtは
Sin(3π/4 + tπ/12) = -1/2 → 3π/4 + tπ/12 =7π/6
よって t = 5
星CはP.M6:30から5時間後に沈む
答えは午後11時30分
解答・その15
（ペンネ－ム：シュレーディンガーの三毛猫）
＜方針＞
星Ａ、Ｂが沈む瞬間の状態から地平線とＮ、Ｃとの関係を示し、
星ＮおよびＣを結ぶ線分の挙動を、Ｎを中心とする単位円から考察する。
＜解答＞
午後6時30分を初期時刻とする。掲題の図より、初期時刻においてＡＣとＢＮは平行で、
また地平線とそれぞれ平行であると解釈する。
ＮＢ＝ＢＣ＝ＣＡ、かつ∠ＮＣＢは直角なので、三角形ＮＢＣと三角形ＡＢＣは互いに合同である。
よって、ＡＢＮＣは平行四辺形である。
題意より、星Ｎからみた星Ａ、Ｂ、Ｃの相対的な位置関係は変わらないので、
星Ａ、Ｂが沈むとき、即ちＡＢが地平線と接するとき、ＣＮは地平線と平行となる。
ここで、ＣＮ＝ＡＢ＝１とおく。このとき、三角形ＡＢＣと三角形ＮＢＣは合同な直角二等辺三角形なので、
ＡＣ＝ＣＢ＝ＢＮ＝1/√2
Ｎから地平線に下ろした垂線と地平線との交点をＰ、
同様にＣから地平線に下ろした垂線と地平線との交点をＨとおく。
三角形ＡＣＨと三角形ＢＣＨは合同であり（∵斜辺と１鋭角がそれぞれ等しい）、
それぞれ直角二等辺三角形となる。
また、ＡＣとＢＮは互いに平行四辺形の対辺なので、
ＡＣ＝ＢＮ、ＡＣ//ＢＮ、∠ＣＡＨ＝∠ＮＢＰ。
よって、三角形ＡＣＨは三角形ＢＮＰとも合同である（∵斜辺と１鋭角がそれぞれ等しい）。
さて、三角形ＡＣＨと三角形ＢＣＨは合同な直角二等辺三角形なので、
三角形ＡＢＣにおいてＨは線分ＡＢを二等分し、かつその長さはＣＨとも等しい。
ＡＢ＝１とおいたのであるから、ＡＨ＝ＨＢ＝ＣＨ＝1/2
三角形ＡＣＨは三角形ＢＮＰとも合同なので、ＣＨ＝ＮＰ＝1/2
従って、星Ｎは地平線から1/2の高さにあることがわかる。
ここで、星Ｎを中心とする単位円（真東からの反時計回りを角度の正とする）をとると、これは星Ｃの軌跡となり、
地平線はｙ＝-1/2の直線で表せる。
星Ａ、Ｂが沈むときのＮＣの角度はπ、ＮＢの角度はπ＋π/4となる。
初期時刻でのＮＢの角度はπなので、初期時刻からＡ、Ｂが沈むまでに
Ａ、Ｂ、Ｃが移動した角度はそれぞれπ/4である。
ここから、初期時刻でのＮＣの角度は
π-π/4＝3π/4 ・・・(1)
と求まる。
一方、Ｃが沈んだときは、Ｃのｙ座標が-1/2となる。
即ち、このときのＮＣの角度θとおいたとき、sinθ＝-1/2、これを第3象限の角として解いて、
θ＝7π/6 ・・・(2)
初期時刻からＣが沈むまでに移動した角度は、
(2)-(1)＝5π/12 ・・・(3)
と求まった。
さて、時間の変化量を⊿t、角度の変化量を⊿θとおくと、星Ｃは24時間でＮの周りを一周することから、
⊿θ＝2π⊿t/24 ；（⊿tの単位は"時間"）
という関係式が得られる。ここに⊿θ＝(3)＝5π/12を代入して⊿tについて解くと、
⊿t＝5(時間)
初期時刻が午後6時30分だったので、星Ｃが沈む時刻は午後11時30分。
解答・その16
（ペンネ－ム：藍の空）
Ｎは北極星であるから、不動であるとする。
状態Ⅰにおいて、Ｎから地平線に引いた垂線を点Ｏとする（この点も不動である）。
直線ＢＣについてＮと対称な点をＮ’とする。
また、ＡＣ＝ＣＢ＝ＢＮ＝Ｎ’Ｂ＝a とする。
ＡＣ＝ＮＢ ，∠ＡＣＢ＝∠ＮＢＣ＝９０°(…(1))，ＢＣは一致
この３点より △ＡＢＣ≡△ＮＣＢ
∴ ＡＢ＝ＮＣ
また、△ＡＢＣは二等辺三角形であり、(1)より
∠ＣＡＢ＝∠ＣＢＡ＝４５°
∴ ＡＢ＝√2 a（＝ＮＣ）
状態Ⅰで、Ｎ’はＡの真下に位置するので、
Ｎ’ＢＡ＝４５° となるので、直線ＡＢと水平線とは45°の角度をなしている。
ｎ時間後にＡとＢが同時に水平線に沈むとき、ＡＢは水平線と平行（一致）であるから、
ｎ時間の間に４５°Ａ，Ｂは移動したと分かる。
ところで、２４時間で一周（３６０°回転）するということは１時間で１５°回転するということである。
よって、ｎ*１５＝４５ ∴ｎ＝３ （９時３０分に沈んだ）…(2)
なお、ＡＢ＝ＣＮ ， ＡＣ＝ＢＮより四角形ＡＢＮＣは平行四辺形であるから
ＡＢが水平線と平行であるとき、ＣＮも水平線と平行である。
次に、図について考える（ただし、Ｃの位置は状態Ⅱと同じであり、横線は地平線である）。
星Ｃがｍ時間後に地平線に沈むとき、その位置はＣ’であるから、∠ＮＣ’Ｏ＝θ とすると
sinθ = Ｃ’Ｎ／ＮＯ
Ｃ’Ｎは半径であるから sinθ = (a/√2) /√2 a = 1/2
∴ θ=30°
ＣＮ//Ｃ’Ｏ であるから錯角より ∠ＣＮＣ’＝∠ＮＣ’Ｏ＝３０°
よって、星Ｃは３０°回転したとき地平線に沈む。
よって ｍ*１５＝３０ ∴ｍ＝２ （二時間後に沈む）…③
(2),(3)より 午後６時３０分から５時間後に星Ｃは地平線に沈むので
星Ｃの沈んだ時刻は、 午後１１時３０分 である //
解答・その17
（ペンネ－ム：巷の夢）
* BとCを逆にして考えてください。
題意よりAB=BC=CN＝1とすると、下記の図が描ける。
今、A、C各々の地平線に沈んだ位置をA’,C’とし、∠A‘をα、∠C’NN’をβとすると、
∠NC’N’はα+βとなる。
これはCが沈むまでに動いた角度であるから、同時刻に沈んだAについての移動角ANN’もα+βとなる。
又、△NC’A’と△NABは合同である。（∵AN=NA’、AB=NC’、∠NAB＝∠A’NC’より二辺挟角が等しい）
即ち∠ANB＝αとなる。これより∠BNC＝45°＝α+βとなる。
因って、AとCは午後6時30分から3時間後（15°で1時間）に沈んだことになる。
次にBについて考えると、午後9時30分の位置はCである。
このBの沈んだ位置をB’とすると
NB’＝√2、又NN’＝1/√2＝√2/2であるから、NB’： NN’＝2：1の直角三角形。
因って４、△NB’N’において∠B’＝30°である事が分かる。
30°は2時間であるのでBはA,Cより2時間遅れて沈んだことになる。
即ち、求めるものは午後11時30分である。
解答・その18
（ペンネ－ム：falcon@中学教師）
午後11時30分
＜考え方＞
△NCBはNB＝BC＝CA 、∠ACB＝∠NBC＝９０°より、△ABCと合同な直角二等辺三角形とわかる。
Nより地平線に垂線NDを下ろすと、星Aと星Bが同時に地平線に沈むとき、星の位置関係は図１のようになる。
∠CNB＝４５°なので、辺NBに注目すると図１は午後6時30分の図より４５°回転した図とわかる。
辺NDの長さを とおくと、△NBD、△NCBは直角二等辺三角形であるので、NB＝√２ ｘ、NC＝２ｘ となる。
さらに星Cが地平線に沈むとき、Cの上方に∠NEC＝９０°となるようにEをとると、星の位置関係は図２のようになる。
このとき、EC＝ND＝ であるので、 
となる。
よって、EC：NC：EN＝１：２：√３ となるので、∠ENC＝３０°とわかる。
したがって、辺NCに注目すると図２は図１より３０°回転した図であるので、午後６時３０分より７５°回転した図ということになる。
星は２４時間かけて１周するので７５°回転するためには、２４×７５÷３６０＝５時間の経過が必要。
したがって、星Cが沈んだ時間は、午後６時３０分より５時間後の午後１１時３０分。
解答・その19
（ペンネ－ム：転位反応）
星Ｃと星Ｎを結んでできる四角形ＡＢＮＣは平行四辺形であり、
星Ａ，Ｂが同時に地平線に沈む時の図は下記の通り。
星座は２４時間かけて１周するので、
３６０°／２４時間＝１５°／時間
星Ａ，Ｂが同時に地平線に沈むのは、∠Ｂ'ＮＣ'＝４５°なので
４５°／１５°＝３時間後
星Ｃが地平線に沈んだときの図は下記の通り。
Ｃ'、Ｎから地平線へ下ろした垂線との交点をそれぞれＰ、Ｑとする。
Ｃ'Ｎ＝Ｃ''Ｎ (Ｎを中心とする回転円の半径なので)
ＮＱ＝Ｃ'Ｐ (△Ａ'Ｃ'Ｐ≡△Ｂ'ＮＱなので)
Ｃ'Ｐ＝１／２Ａ'Ｂ'＝１／２Ｃ'Ｎ
∴ＮＱ＝１／２Ｃ''Ｎ
よって、△Ｃ''ＮＱは、∠C''ＮＱ＝６０°、∠ＮC''Ｑ＝30°の直角三角形
∴∠Ｃ'ＮＣ''＝３０°
３０°／１５°＝２時間
よって、星Ｃが沈むのは３＋２＝５ 時間後の午後１１時３０分
解答・その20
（ペンネ－ム：夜ふかしのつらいおじさん）
△ABCは直角二等辺三角形です。
星A、Bが地平線に沈むときの様子をA'、B'であらわします。
このとき△ABC、△A'B'C'、△CBN、△C'B'Nはみな合同です。
だから、∠BNC＝４５°です。
星Cが水平線に沈むときの様子をC''であらわします。
Nから水平線に下ろした垂線の足をHとします。
直角三角形NC''Hにおいて、NHの長さを１（直角二等辺三角形ABCの斜辺の半分）とすると、
斜辺のNC''は２（直角二等辺三角形の斜辺）になります。
すると、ピタゴラスの定理より、C''Hの長さは 
になります。
つまり、∠NC''H＝３０°です。（１：２：の直角三角形）
よって、∠BNC''＝３０°です。（平行線の錯覚）
以上から、∠CNC''＝７５°です。
星は２４時間かけて３６０°回るので、
時間経過しています。
よって、時刻は午後11時３０分です。
正解者
| falcon@中学教師 | スモークマン | 藍の空 |
| namiusagi | 再出発 | のっこん |
| シュレーディンガーの三毛猫 | 巷の夢 | haya |
| 夜ふかしのつらいおじさん | AND | 杖のおじさん |
| オヤジ | やなせ | 迷子の雄猫 |
| マオ | 転位反応 | こたつ |
| 三角定規 | バルタン星人 |
コメント
星Ｃが水平線に沈むまでには、北極星Ｎを中心に７５°回転する必要があり、
これには５時間かかりますので、１１時３０分となります。
地球は、約２４時間をかけて自転していますので、１時間あたり１５°の回転ということになります。
（時差もこれに応じて生じますから、経度１５°に対して、時差は１時間ですね。）
最近は夜空を見上げることも少なくなりましたが、冬の空は澄んでいて星が見やすい
ので、たまには星の観察もいいですね。
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