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問題158　ピラミッドの問題
Weekend Mathematics／問題／問題158　ピラミッドの問題

問題158　ピラミッドの問題

七段のピラミッドがあります。一段目の７つの（　）に １〜７の数字を１つずつ入れます。そうして隣どうしの（　）の 中の数字をたしてその和を一つ上の（　）に入れます。
同じようなたし算をしていき、いちばん上の（　）まで いけば終わりです。

問１
図１は何段のピラミッドの一番目に左から小さい順に１〜７を入れて、 途中まで規則通りにたし算をしたものです。 図１の七段目の（？）に入る数を求めなさい。

　　　図１　　　　 　　 （？）　七段目
　　　　　　　　　　 （　）（　）　六段目
　　　　　　　　　（　）（　）（　）　五段目
　　　　　　　 （　）（　）（　）（　）　四段目
　　　　　　（８）（12）（　）（　）（　）　三段目
　　　　 （３）（５）（７）（　）（　）（　）　二段目
　　　（１）（２）（３）（４）（５）（６）（７）　一段目

問２
七段のピラミッドの一番上の（　）の中の数を最大にするためには、 一段目の７つの（　）に１〜７をどのような順で入れればよいですか。

問題の出典

算数オリンピックに挑戦
算数オリンピック委員会編
講談社ブルーバックス
2007年トライアル問題

答えと解説

解答・その1

（ペンネ−ム：浜田　明巳）

エクセルのマクロで解きました。
問１．256

問２．最大値は350で，並び方は次の８通り．
1 3 5 7 6 4 2
1 3 6 7 5 4 2
1 4 5 7 6 3 2
1 4 6 7 5 3 2
2 3 5 7 6 4 1
2 3 6 7 5 4 1
2 4 5 7 6 3 1
2 4 6 7 5 3 1

ようするに，真ん中を最大の7にして，左右に行くほど小さくすればいいようです．端になる程、足される回数が減るので，なるべく端に小さい数を持って来れば，一番上が最大となるのでしょう．

Option Explicit
Dim a(7, 7) As Integer
Sub Macro1()
    Call mondai1(1)
    Call mondai2(1)
End Sub
Sub mondai1(ByVal x As Variant)
    Sheets("Sheet1").Select
    Dim j As Integer
    Dim jj As Integer
    For j = 1 To 7
      a(j, 1) = j
    Next j
    For j = 2 To 7
      For jj = 1 To 7 - (j - 1)
        a(jj, j) = a(jj, j - 1) + a(jj + 1, j - 1)
      Next jj
    Next j
    Cells(1, 1).Value = a(1, 7)
    Range("A1").Select
End Sub
Sub mondai2(ByVal x As Variant)
    Sheets("Sheet2").Select
    Cells(1, 1).Value = 0
    Cells(2, 1).Value = 0
    Range("A1").Select
    Call saiki(1)
End Sub
Sub saiki(ByVal n As Integer)
    a(n, 1) = 1
    While a(n, 1) <= 7
      If onaji(n) = 0 Then
        If n < 7 Then
          Call saiki(n + 1)
        Else
          Call check(1)
        End If
      End If
      a(n, 1) = a(n, 1) + 1
    Wend
End Sub
Sub check(ByVal x As Variant)
    Dim j As Integer
    Dim jj As Integer
    For j = 2 To 7
      For jj = 1 To 7 - (j - 1)
        a(jj, j) = a(jj, j - 1) + a(jj + 1, j - 1)
      Next jj
    Next j
    If Cells(1, 1).Value <= a(1, 7) Then
      If Cells(1, 1).Value < a(1, 7) Then
        Cells(1, 1).Value = a(1, 7)
        Cells(2, 1).Value = 1
        Columns("B:H").Select
        Selection.ClearContents
        Range("A1").Select
      Else
        Cells(2, 1).Value = Cells(2, 1).Value + 1
      End If
      For j = 1 To 7
        Cells(Cells(2, 1).Value, j + 1).Value = a(j, 1)
      Next j
    End If
End Sub
Private Function onaji(ByVal n As Integer) As Integer
    Dim j As Integer
    onaji = 0
    j = 1
    While onaji = 0 And j < n
      If a(j, 1) = a(n, 1) Then
        onaji = 1
      Else
        j = j + 1
      End If
    Wend
End Function


解答・その2

（ペンネ−ム：スモークマン）

問１
これは単に計算するだけですね...
256

問２
明らかに...大きい数が真ん中にあれば繰り返したされるので...
1,3,5,7,6,4,2
1,3,6,7,5,4,2
1,4,5,7,6,3,2
1,4,6,7,5,3,2
で...350 がMax♪
でいいのかな...^^

解答・その5

（ペンネ−ム：やなせ）

最上階までに足される数字の個数
端の場合

						１個						
					１個		０個					
				１個		０個		０個				
			１個		０個		０個		０個			
		１個		０個		０個		０個		０個		
	１個		０個		０個		０個		０個		０個	
１個		０個		０個		０個		０個		０個		０個

２番目の場合

						６個						
					５個		１個					
				４個		１個		０個				
			３個		１個		０個		０個			
		２個		１個		０個		０個		０個		
	１個		１個		０個		０個		０個		０個	
０個		１個		０個		０個		０個		０個		０個

３番目の場合

												
						１５個						
					１０個		５個					
				６個		４個		１個				
			３個		３個		１個		０個			
		１個		２個		１個		０個		０個		
	０個		１個		１個		０個		０個		０個	
０個		０個		１個		０個		０個		０個		０個

真ん中の場合

												
						２０個						
					１０個		１０個					
				４個		６個		４個				
			１個		３個		３個		１個			
		０個		１個		２個		１個		０個		
	０個		０個		１個		１個		０個		０個	
０個		０個		０個		１個		０個		０個		０個

足される回数は上の図のようになります。

問い１
最上階の数を求める式は
１×１＋２×６＋３×１５＋４×２０＋５×１５＋６×６＋７×１＝２５６
答え　　２５６

さらに同図から中の方に大きな数字を持ってくると合計が多くなるので
問い２の答えは
両端は１と２。　　端から２番目は３と４。　　さらに３番目は５と６。　　中央は７です。
ちなみに最上階の数は
１×１＋３×６＋５×１５＋７×２０＋６×１５＋４×６＋２×１＝３５０

解答・その6

（ペンネ−ム：杖のおじさん）

一段目の１，２，３，４，５，６，７、を置き換えて
一段目をＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ、とすると
二段目はＡ＋Ｂ，Ｂ＋Ｃ，Ｃ＋Ｄ，Ｄ＋Ｅ，Ｅ＋Ｆ，Ｆ＋Ｇの6個の数字となります。
三段目はＡ＋２Ｂ＋Ｃ，Ｂ＋２Ｃ＋Ｄ，Ｃ＋２Ｄ＋Ｅ，Ｄ＋２Ｅ＋Ｆ，Ｅ＋２Ｆ＋Ｇの５個の数字となります。
四段目はＡ＋３Ｂ＋３Ｃ＋Ｄ、Ｂ＋３Ｃ＋３Ｄ＋Ｅ，Ｃ＋３Ｄ＋３Ｅ＋Ｆ，Ｄ＋３Ｅ＋３Ｆ＋Ｇ，の４個の数字となります。
五段目はＡ＋４Ｂ＋６Ｃ＋４Ｄ＋Ｅ、Ｂ＋４Ｃ＋６Ｄ＋４Ｅ＋Ｆ，Ｃ＋４Ｄ＋６Ｅ＋４Ｆ＋Ｇ、の３個の数字になります。
六段目はＡ＋５Ｂ＋１０Ｃ＋１０Ｄ＋５Ｅ＋Ｆ、Ｂ＋５Ｃ＋１０Ｄ＋１０Ｅ＋５Ｆ＋Ｇ，の２個の数字になります。
七段目はＡ＋６Ｂ＋１５Ｃ＋２０Ｄ＋１５Ｅ＋６Ｆ＋Ｇ、の数字になります。

この数式のＡ〜Ｇまでに１〜７を当てはめると
１＋（６×２）＋（１５×３）＋（２０×４）＋（１５×５）＋（６×６）＋７＝２５６

一番上の数字を大きくするには倍数の大きい２０倍のＤを７として次に大きい１５倍のＣ，Ｅに６又は５を入れて、次に大きい６倍数のＢ，Ｆに４又は３を入れて、最後のＡ，Ｂに２と１を並べます。 例として次のように並べて計算すると
１３５７６４２→１＋１８＋７５＋１４０＋９０＋２４＋２＝３５０となります。

解答・その18

（ペンネ−ム：teki）

問１．　２５６

問２．　２３＝８通りの解答がありますが、一例を示します。
　　　１，３，５，７，６，４，２
　　　（１と２、３と４、５と６は入れ替え可能）
中央に最大数の７を入れ、これを取り巻くように大きい数から順に外側に向かって入れていけば完成します。 この場合の７段目の数は、いずれも３５０となります。

＜解法＞
算数で言えば、「パスカルの三角形」、数学で言えば２項定理ですね。
各数が７段目までに何回足されるかを考えます。
パスカルの三角形を利用すれば、

　　　　　　　　　　　　１
　　　　　　　　　　　１　１
　　　　　　　　　　１　２　１
　　　　　　　　　１　３　３　１
　　　　　　　　１　４　６　４　１
　　　　　　　１　５　10　10　５　１
　　　　　　１　６　15　20　15　６　１

で、問１は、１×１＋６×２＋１５×３＋２０×４＋１５×５＋６×６＋１×７＝２５６
問２は、最大数を中央に持ってくればいいことが、一目瞭然です。

解答・その7

（ペンネ−ム：巷の夢）

今、左から右への順番を1〜7とする。これらの順番を隣り合う2つの順番を加え、逆ピラミッドの数を記述してみると、

(1)　　　　　　(2)　　　　　　(3)　　　　　　(4)　　　　　　(5)　　　　　　(6)　　　　　(7)
　　(1)+(2)　　　　　(2)+(3)　　　　(3)+(4)　　　(4)+(5)　　　　(5)+(6)　　　(6)+(7)
     (1)+2×(2)+3　　(2)+2×(3)+(4)   ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
        (1)+3×(2)+3×(3)+(4)   ・・・・・・・・・・・・・・・・・
            ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
                 ・・・・・・・・・・・・・・
         (1)+6×(2)+15×(3)+20×(4)+15×(5)+6×(6)+(7)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　となる。 これより

問1.
(1)＝1、(2)＝2、・・・・・・、(7)＝7を式(1)+6×(2)+15×(3)+20×(4)+15×(5)+6×(6)+(7)に代入して、256を得る。

問2.
式(1)+6×(2)+15×(3)+20×(4)+15×(5)+6×(6)+(7)を最大にするには、 (4)＝7、(3)＝5、(5)＝6、(2)＝3、(6)＝4、(1)＝1、(7)＝2を代入すれば良い。
この合計は350となる。ところで、(3)と(5)、(2)と(6)、(1)と(7)は入れ替えても良いので組み合わせは8通りとなる。
因って求めるものは、
1365742、1375642、1465732、1475632、2365741、2375641、2465731及び2475631
である。

解答・その8

（ペンネ−ム：マオ）

1段目の数字を、左から順にa,b,c,d,e,f,gとする。
規則に従って、2段目は左から順に
　a+b,b+c,c+d,d+e,e+f,f+g
3段目も同様にして
　a+2b+c,b+2c+d,c+2d+e,d+2e+f,e+2f+g
となり、続けていくと、7段目は
　a+6b+15c+20d+15e+6f+g　… (※)
となる。

問1．256
(※)より、
　1+12+45+80+75+36+7=256

問2．
(※)より、
1段目の左から4番目に最大の数値を、3，5番目に次に大きい数値を、 2，6番目に次に大きい数値をおけば、7段目の数値が最大になる。 よって、1段目の左から順に次のように並べればよい。
　1番目…1(または2)
　2番目…3(または4)
　3番目…5(または6)
　4番目…7
　5番目…6(または5)
　6番目…4(または3)
　7番目…2(または1)

解答・その15

（ペンネ−ム：namiusagi）

問い1の答　　256

問い2の答　　左から2,4,6,7,5,3,1又は1,3,5,7,6,4,2　　最大数　350

考え方
最下段(一段目）を左からa,b,c,d,e,f,gとし、題意に添って二段目を表すと左から
　　a+b,b+c,c+d,d+e,e+f,f+g
となり、三段目は左から
　　a+2b+c,b+2c+d,c+2d+e,d+2e+f,e+2f+g
同様に七段目を表すと、
　　a+6b+15c+20d+15e+6f+g
となる。係数の一番大きいのがdだから7を入れ、次に大きいc,eには6,5　又は5,6を入れ、 三番目に大きいb,fには4,3または3,4を入れ、いちばんちいさいa,gには2,1又は1,2を入れる。　

解答・その16

（ペンネ−ム：falcon@中学教師）

問1
２５６
問2
真ん中を７にしてその両隣から、５と６、３と４、２と１を組にして左右に配置していく。 （ちなみに七段目は３５０）

＜考え方＞
問1
素直に足していって出す、というのが１つ。
あとは、一段目を左からa, b, c, d, e, f, g と置き、七段目を求めると a + 6b + 15c + 20d + 15e + 6f + gとなるので、 それぞれ文字に1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 を代入して計算する手が１つ。
問2
問1後半の考え方で出た七段目の形・係数を見て判断。

＜補足＞
頂点の形の文字の係数は結局二項定理やパスカルの三角形を用いて出すことができる。 一段目の数のそれぞれが、どう枝分かれして頂点の位置に達するかを考えればなるほどである。

解答・その21

（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん）

問題を少し変えて答えます。
２数の和を上に積み重ねるより、下に下ろしていく方が自然なので上下を反対にして答えます。
次のようにパスカルの三角形と逆さまのピラミッドを用意します。


逆さピラミッドの位置を上からの段数と左からの順番の２組の数で表すことにします。
例えば、上から３段目で左から２番目の位置を（３，２）とします。
だから一番下は、（７，１）です。
仕組みになれるために、例としてｃの位置にある数は下に進むと何回足されるかを考えます。
ｂと足す場合と、ｄと足す場合の２回で、２段目の（２，２）と（２，３）の位置に現れます。
３段目は、（２，１）と（２，２）、（２，２）と（２，３）、（２，３）と（２，４）を足すので、（３，１）、（３，２）、（３，３）の位置に現れます。
注意するのは、（３，２）には、（２，２）と（２，３）にｃが含まれていたので、２個分になるということです。
パスカルの三角形の頂点の「１」が逆さピラミッドのｃの位置に重なるように置くと様子が分かりやすくなります。
このように、７段目まででｃの位置にある数は１５回足されることが分かります。


このように考えると、
　　ａの位置は、　　１回
　　ｂの位置は、　　６回
　　ｃの位置は、　１５回
　　ｄの位置は、　２０回
　　ｅの位置は、　１５回
　　ｆの位置は、　　６回
　　ｇの位置は、　　１回
足されます。

問１
　　１×１＋６×２＋１５×３＋２０×４＋１５×５＋６×６＋１×７=２５６
問２
中央が２０回、その両隣が１５回、さらにその外が６回、両端が１回足されるので、
　　「１３５７６４２」、「１３６７５４２」、「１４５７６３２」、「１４６７５３２」（それぞれの逆順も）
のように配置すれば良いことになります。 この場合、合計は３５０のようです。 また、１と７、２と６、３と５を入れ替えると我が小さくなります。 この場合、合計は１６２のようです。
おまけに、（３５０＋１６２）／２＝256です。

解答・その9

（ペンネ−ム：オヤジ）

一段目の左から順に，A，B，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ　とすると七段目の数は、 　　Ａ＋６Ｂ＋１５Ｃ＋２０Ｄ＋１５Ｅ＋６Ｆ＋Ｇ
となる

問１
従って　Ａ＝１，Ｂ＝２，Ｃ＝３，Ｄ＝４，Ｅ＝５，Ｆ＝６，Ｇ＝７　を代入すると
　　∴２５６

問２
七段目の数を最大にするには　ＡまたはＧ＝１または２，ＢまたはＦ＝３または４， ＣまたはＥ＝５または６，Ｄ＝７のとき最大値　３５０　最大にする数の並びは，８通り　 すなわち

（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ） ＝（１，３，５，７，６，４，２）
　　　　　　　　　　　　　　　 ＝（１，３，６，７，５，４，２）
　　　　　　　　　　　　　　　 ＝（１，４，５，７，６，３，２）
　　　　　　　　　　　　　　　 ＝（１，４，６，７，５，３，２）
　　　　　　　　　　　　　　　 ＝（２，３，５，７，６，４，１）
　　　　　　　　　　　　　　　 ＝（２，３，６，７，５，４，１）
　　　　　　　　　　　　　　　 ＝（２，４，５，７，６，３，１）
　　　　　　　　　　　　　　　 ＝（２，４，６，７，５，３，１）
　　∴　最大値　３５０　，一段目の数は，上記　８通り

解答・その22

（ペンネ−ム：再出発）


図は逆三角形に描きましたが、７段目の和は a1,a2,a3,...,a7
がそれぞれGOAL目指して最短で行く道筋の数が それぞれの係数になっています。 従って七段目の和は



したがって

問１の答は
２５６

問２の答は
aiを用いて表すと、
(a1,a7)=(1,2),(2,1)
(a2,a6)=(3,4),(4,3)
(a3,a5)=(5,6),(6,5)
a4=7


解答・その3

（ペンネ−ム：迷子の雄猫）

問１

　　　　　　　　　 　　 （256）　七段目
　　　　　　　　　　 （112）（144）　六段目
　　　　　　　　　（48）（64）（80）　五段目
　　　　　　　 （20）（28）（36）（44）　四段目
　　　　　　（８）（12）（16）（20）（24）　三段目
　　　　 （３）（５）（７）（９）（11）（13）　二段目
　　　（１）（２）（３）（４）（５）（６）（７）　一段目

問２
それぞれの括弧の中の数字を１増やすと、 一番上の段の数字がいくつ増えるかを計算すると、 以下のようになる。

　　　　　　(１)
　　　　　(１)(１)
　　　　(１)(２)(１)
　　　(１)(３)(３)(１)
　　(１)(４)(６)(４)(１)
　(１)(５)(10)(10)(５)(１)
(１)(６)(15)(20)(15)(６)(１)

よって、七段のピラミッドの一番上の（　）の中の数を最大にするためには、 一段目の７つの（　）に１〜７を以下の通りに入れるとよい。
（４）に７
（３）、（５）に６，５（順不同）
（２）、（６）に４，３（順不同）
（１）、（７）に２，１（順不同）

解答・その11

（ペンネ−ム：T_Tatekawa）

問１
一段目の各々のカッコから，七段目の？まで右上，左上に進んで 到達する道順が何通りかを数えます．
　１，７：１通り
　２，６：６通り
　３，５：１５通り
　４：２０通り
この通りの回数だけ，たし算では？のところに上がるまで各々の数を 足し上げています． よって，

　　  4 x 20 + (3+5) x 15 + (2+6) x 6 + (1+7) x 1
　　= 80 + 120 + 48 + 8
　　= 256

問２
問１の考え方を元にすると，七段目の？を最大にするには，一段目の 内側に大きな数を置けば良い． 例えば

　　(1) (3) (5) (7) (6) (4) (2)

(1, 2), (3, 4), (5, 6) の左右は逆でも良い． この場合の七段目の数は

　　  7 x 20 + (5+6) x 15 + (3+4) x 6 + (1+2) x 1
　　= 140 + 165 + 42 + 3
　　= 350


解答・その14

（ペンネ−ム：superyamachan）

問1 ２５６

問2 一段目の数列を｛an｝、二段目を｛bn｝、三段目を｛cn｝…とする と、七段目はgとおける。
この問題の定義より、bk＝ak＋ak+1、ck＝ck＋ck+1、…、g＝f1＋f2
よって、
　　　g＝e1＋e2＋e2＋e3
　　　　＝e1＋2e2＋e3
　　　　＝d1＋d2＋2(d2＋d3)＋d3＋d4
　　　　＝d1＋3d2＋3d3＋d4
　　　　＝c1＋c2＋3(c2＋c3)＋3(c3＋c4)＋c4＋c5
　　　　＝c1＋4c2＋6c3＋4c4＋c5
　　　　　・・・・・・・・・・・
　　　　＝b1＋5b2＋10b3＋10b4＋5b5＋b6
　　　　＝a1＋6a2＋15a3＋20a4＋15a5＋6a6＋a7
係数の違いから、a4＞(a3,a5)＞(a2,a6)＞(a1,a7)が成り立つとき、gが最大となる。
よって、a4＝７、(a3，a)＝(5，6)、(6，5)、(a2，a6)＝(3，4)、(4，3)、(a1，a7)＝(1，2)、(2，1)
ゆえに、（１，３，５，７，６，４，２）（２，３，５，７，６，４，１）
　　　　（１，４，５，７，６，３，２）（２，４，５，７，６，３，１）
　　　　（１，３，６，７，５，４，２）（２，３，６，７，５，４，１）
　　　　（１，４，６，７，５，３，２）（２，４，６，７，５，３，１）

いずれの場合もg＝20×7＋15×(5＋6)＋6×(3＋4)＋(1＋2)＝140＋165＋42＋3＝350

解答・その10

（ペンネ−ム：のっこん）

一段目を左から順に a,b,c,d,e,f,g とすると
二段目は　　〃　　　a+b,b+c,c+d,d+e,e+f,f+g となり
三段目は　　〃　　　a+2b+c,b+2c+d,c+2d+e,d+2e+f,e+2f+g となり
四段目は　　〃　　　a+3b+3c+d,b+3c+3d+e,c+3d+3e+f,d+3e+3f+g となり
五段目は　　〃　　　a+4b+6c+4d+e,b+4c+6d+4e+f,c+4d+6e+4f+g となり
六段目は　　〃　　　a+5b+10c+10d+5e+f,b+5c+10d+10e+5f+g となり
七段目は　　　　　　a+6b+15c+20d+15e+6f+g となる

問１
１+６・２+１５・３+２０・4＋15・5＋6・6＋7＝256
問２
七段目の数を最大にするには
　d=7
　(c,e)=(5,6) 逆も可
　(b,f)=(3,4) 　〃
　(a,g)=(1,2) 〃　　とすればよい

解答・その23

（ペンネ−ム：三角定規）

<図１>において，A，B，C，D，E，F，G から T に至る最短経路の数は， 6C0，6C1，6C2，6C3， 6C4，6C5，6C6 で，題意のように数の和を積み上げるとき，T での和に数 A，B，…，はこ の回数だけ反映される。よって，
　　　T＝A＋6B＋15C＋20D＋15E＋6F＋G

(1) 題意より，T＝1＋6・2＋15・3＋20・4＋15・5＋6・6＋7＝256 …[答]<図２>
(2) T を最大にするには，係数が大きいところに大きな数を入れればよいので，
　　　T＝1＋6・3＋15・5＋20・7＋15・6＋6・4＋2＝350 …[答]<図３>




解答・その12

（ペンネ−ム：SOU）

問２

一段目の各々の変数を端から順に

　A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7

とすると、七段目は

　20A4+15(A3+A5)+6(A2+A6)+(A1+A7)　･･･☆

となるので、係数による倍率を考えると

　20*7+15(5+6)+6(3+4)+(1+2)

の時が最も値が大きく、350となる //

問１
　☆で An=n とすればよく、 256 //


解答・その13

（ペンネ−ム：バルタン星人）

問い１：２５６
問い２：１，３，５，７，６，４，２（逆順でもよし）

考え方：ｎ段積みの時、最下段の各項は、 （Ａ＋Ｂ）ｎ−１の係数だけ足されることになる。 ７段なら、６乗の係数、各1，６，１５，２０，１５，６，１回 足されることになるので
　　　　（１＋７）×１＋（２＋６）×６＋（３＋５）×１５＋４×２０
　　　＝８×（１＋６＋１５＋１０）
　　　＝８×３２
　　　＝２５６
最大にするには両端から小さな数をはめ、中央を最大の数に すればよい。この時
（１＋２）×１＋（３＋４）×６＋（５＋６）×１５＋７×２０ ＝３５０が最大となる。

解答・その20

（ペンネ−ム：シュレーディンガーの三毛猫）

1段目の数が最上段へどのように寄与するかを、最上段へ至る道筋の場合の数を用いて考察する。
例えば、2段のピラミッドにおいて1段目に左から自然数a,bをおくと、 1段目の和はa+b。最上段である2段目の数もa+bとなって両者は等しくなる。 これを、1段目から2段目に至る道筋がそれぞれ一通り（aは右上へ、bは左上へ）なので、 1段目の数が2段目に登る時に、それぞれ1回ずつ足されるからであると考える。
すると、3段のピラミッドにおいて1段目に左から自然数a,b,cをおいたとき、 1段目の和がa+b+cなのに対し、2段目の和は(a+b)+(b+c)となり1段目の和よりbだけ大きくなることは、 2段目に登る時の道筋が、両端のa,cはそれぞれ右上、左上の一通りであるのに対し、 bは右上と左上の二通りあり、2段目へ2回足されるからである、と考えることができる。 なお、2段目の2数が3段目に登る時の道筋は右上ないし左上の一本ずつなので、 最上段である3段目の数と、2段目の2数の和は等しくなる。
すなわち、 一段上に上る時の道筋が一通りなら1回、二通りなら2回それぞれの数が一段上に足されるというルールと、 最上段へ登る過程で道筋が二通りあるということは、1段目から最上段へ登る道筋が一通り増えるという事実から、 本問は、
　　「一段目のある位置から最上段に登る場合の数とその位置の数との積の、 　一段目のすべての位置についてとった総和が最上段の数に等しい」
と言い換えることができる。

（問１）
7段のピラミッドにおいて、1段目に左から自然数a,b,c,d,e,f,gをおく。 1段目から7段目まで登る道筋の場合の数は、右上または左上に移動する動作を 6回繰り返す組み合わせの数となり、１段目の左から何番目の位置かによって一様に決まる。 1段目の一番左の位置を0、右隣を1、というように番号付けして一番右の位置を6とすると、
　　　6Ci (i=0,1,2,3,4,5,6)
と表式でき、1段目から7段目まで登る場合の数は左から（1、6、15、20、15、6、1）と求まる。 これらとその位置の数との積の総和が7段目の数となるので、1段目の数(a~g)と7段目の数との関係として
　　　（7段目の数）＝1×(a+g)+6×(b+f)+15×(c+e)+20×ｄ ・・・(1)
を得る。
与えられた数は(a,b,c,d,e,f,g)＝(1,2,3,4,5,6,7)なので、これを(1)に代入して 256を解として得る。

（問２）
7段目の数を最大にするためには、(1)の係数に着目して、
　　　d＝7, (c,e)＝(5,6), (b,f)＝(3,4), (a,g)＝(1,2)　･･･(2)
とおけば良く、このとき、最大値350を得る。
なお、(2)のうち、（c,e）、(b,f)、(a,g)に入る数は (1)の対称性により入れ換えても良く、最大値を与える1段目の数はそれぞれ
　　　(a,b,c,d,e,f,g)＝(1,4,5,7,6,3,2)
　　　(a,b,c,d,e,f,g)＝(2,4,5,7,6,3,1)
　　　(a,b,c,d,e,f,g)＝(1,3,5,7,6,4,2)
　　　(a,b,c,d,e,f,g)＝(2,3,5,7,6,4,1)
　　　(a,b,c,d,e,f,g)＝(1,4,6,7,5,3,2)
　　　(a,b,c,d,e,f,g)＝(2,4,6,7,5,3,1)
　　　(a,b,c,d,e,f,g)＝(1,3,6,7,5,4,2)
　　　(a,b,c,d,e,f,g)＝(2,3,6,7,5,4,1)
の8通り存在する。

解答・その4

（ペンネ−ム：haya）

問1： 256

問2： 左から、1, 3, 5, 7, 6, 4, 2 のように中央に大きな数字が来るように配置すればよい。 左右対称なので 23 個の同値の解があり、ピラミッドの頂上は何れも 350 となる。

           350
         170  180
        77  93  87
       32  45  48  39
      12  20  25  23  16
     4  8  12  13  10  6
    1  3  5   7  6  4   2

【解き方】

問1： ひたすら足し算する。

問2： 下の段の数値がピラミッドの頂上に到達するまでに何重に計算されるかは、インドの紀元前の文献またはイタリア人の言うタルタリアの三角形で示される二項係数の如くなるので解を得る。

          1
         1  1
        1  2  1
       1  3  3  1
      1  4  6  4  1
     1  5  10  10  5  1
   1  6  15  20  15  6  1


解答・その19

（ペンネ−ム：長崎島原かがみ）

問１　【答】２５６

問２　一段目の数を左から a、b、c、d、e、f、g とおくと、
七段目の数は a＋６b＋１５c＋２０d＋１５e＋６f＋g となる。（下記参照）
したがって、七段目の数を最大にするためには、係数の大きい方から順に ７〜１と入れていけばよい。すなわち、
　　　d＝７
　　　(c、e)＝(５，６)または(６，５)
　　　(b、f)＝(３，４)または(４，３)
　　　(a、g)＝(１，２)または(２，１)
このとき、最大値は３５０になる。

【答】　　　　　d＝７
　　　　　　　　(c、e)＝(５，６)または(６，５)
　　　　　　　　(b、f)＝(３，４)または(４，３)
　　　　　　　　(a、g)＝(１，２)または(２，１)
　　　　　　　　最大値 ３５０


結局、この数列は二項係数みたいになるんですね。 ７段目は(x＋y)６ の係数 １、６、１５、２０、１５、６、１ が出てきます。 ちなみに、全ての段を左詰めで書いていくと、下記のようになります。

７段目　a+6b+15c+20d+15e+6f+g
６段目　a+5b+10c+10d+5e+f 　　　b+5c+10d+10e+5f+g
５段目　a+4b+6c+4d+e　　　b+4c+6d+4e+f　　　c+4d+6e+4f+g
４段目　a+3b+3c+d　　　b+3c+3d+e　　　c+3d+3e+f　　　d+3e+3f+g
３段目　a+2b+c　　　b+2c+d　　　c+2d+e　　　d+2e+f　　　e+2f+g
２段目　a+b　　　b+c　　　c+d　　　d+e　　　e+f　　　f+g
１段目　a　　　b　　　c　　　d　　　e　　　f　　　g


解答・その17

（ペンネ−ム：転位反応）

１段目の数字をａ，ｂ，ｃ，・・・ｇとし、題意に沿って足し算を行い、整理すると以下の通り。

１段目２段目３段目４段目５段目６段目７段目
a　　　　　　
　a+b　　　　　
b　a+2b+c　　　　
　b+c　a+3b+3c+d　　　
c　b+2c+d　a+4b+6c+4d+e　　
　c+d　b+3c+3d+e　a+5b+10c+10d+5e+f　
d　c+2d+e　b+4c+6d+4e+f　a+6b+15c+20d+15e+6f+g
　d+e　c+3d+3e+f　b+5c+10d+10e+5f+g　
e　d+2e+f　c+4d+6e+4f+g　　
　e+f　d+3e+3f+g　　　
f　e+2f+g　　　　
　f+g　　　　　
g　　　　　　


７段目は、a+6b+15c+20d+15e+6f+g　なので

問１：
１＋６×２＋１５×３＋２０×４＋１５×５＋６×６＋７＝２５６

問２：
７段目の数を最大にするには、下表に沿って１〜７の数字を重複しないように（　）に入れれば良い。
このとき、７段目の数は３５０

a1 or 2
b3 or 4
c5 or 6
d7
e5 or 6
f3 or 4
g1 or 2


正解者

夜ふかしのつらいおじさん teki namiusagi
falcon@中学教師 浜田　明巳 巷の夢
オヤジ のっこん 再出発
長崎島原かがみ superyamachan スモークマン
転位反応 やなせ 迷子の雄猫
SOU haya 杖のおじさん
T_Tatekawa シュレーディンガーの三毛猫 マオ
三角定規 バルタン星人

コメント

一段目の数を左から a、b、c、d、e、f、g とおくと、 七段目の数は
　　a＋６b＋１５c＋２０d＋１５e＋６f＋g
となります。 それぞれの場所を出発して７段目に到達するまでの道順の数を合計しているということになりますが、 二項係数がこんなところにも現れてくるのは、不思議といえば不思議、当然といえば当然ですね。

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