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問題160 色の塗り方
Weekend Mathematics問題/問題160 色の塗り方

問題160 色の塗り方

一列に並んだ6個のマスを赤、白、黒のいずれかの色で塗り分ける。 ただし、赤いマスが連続してはいけないものとする。 塗り分け方は何通りあるか。


問題の出典

ジュニア数学オリンピック2003-2008
数学オリンピック財団編
日本評論社

答えと解説

解答・その1

(ペンネ−ム:浜田 明巳)

EXCELのマクロで解きました.答は448通りです.
赤,白,黒をそれぞれを1,2,3で表し,各マスに入る数を最初からa(n)(1≦n≦6)とする.
n=1のとき,1≦a(1)≦3
2≦n≦6のとき,
  a(n−1)=1のとき2≦a(n)≦3,
  a(n−1)≧2のとき1≦a(n)≦3となる.
これを元にマクロを使って,a(1)からa(6)を求める.

Option Explicit
Dim a(6) As Integer
Sub Macro1()
    Sheets("Sheet1").Select
    Cells(1, 1).Value = 0 '答
    Call saiki(1)
    Range("A1").Select
End Sub
Sub saiki(ByVal n As Integer)
    Dim j As Integer
    If n = 1 Then
      a(1) = 1
    ElseIf a(n - 1) = 1 Then '赤は連続しない
      a(n) = 2
    Else
      a(n) = 1
    End If
    While a(n) <= 3
      If n < 6 Then
        Call saiki(n + 1)
      Else
        Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + 1
        For j = 1 To 6
          Cells(Cells(1, 1).Value, j + 1).Value = masu(a(j))
        Next j
        Range("B" & Cells(1, 1).Value).Select
      End If
      a(n) = a(n) + 1
    Wend
End Sub
Private Function masu(ByVal n As Integer) As String
    Select Case n
      Case 1
        masu = "赤"
      Case 2
        masu = "白"
      Case Else
        masu = "黒"
    End Select
End Function



解答・その2

(ペンネ−ム:巷の夢)

問題の条件を考慮し、組み合わせを考えると下記の表のように整理され、 赤は続きの桝に入れない、即ち、赤が2個の場合6C2=15でなく10通り、 赤が3個の場合は6C3=20でなく4通りであることに注意すれば良い。

色数組み合わせ
16001
0601
25106
5016
1506
0516
42015
40210
24015
04210
33020
3034
0334
341130
14130
32160
31240
23160
13240
21312
12312
22260
合計448
即ち、求める個数は448通りである。


解答・その3

(ペンネ−ム:のっこん)

白、黒については隣り合ったマス同士が同色でもよいと解釈しました
6個のマスをA,B,C,D,E,Fとする
前半の3つのマスA,B,Cについて考える
 Aが赤でCが赤・・・2通り
 Aが赤でCが白・・・2通り
 Aが赤でCが黒・・・2通り
 Aが白でCが赤・・・2通り
 Aが白でCが白・・・3通り
 Aが白でCが黒・・・3通り
 Aが黒でCが赤・・・2通り
 Aが黒でCが白・・・3通り
 Aが黒でCが黒・・・3通り
まとめると
 Aが赤・・・6通り、Aが白・・・8通り、Aが黒・・・8通り
 Cが赤・・・6通り、Cが白・・・8通り、Cが黒・・・8通り
後半の3つのマスD,E,Fについても同様だからAをDと読みかえて
 Dが赤・・・6通り、Dが白・・・8通り、Dが黒・・・8通り
1)Cが赤となる6通りについては、Dが白か黒の16通りとつなげてよい
2)Cが白となる8通りについては、Dは何色でもよいので22通りとつなげてよい
3)Cが黒となる8通りについても、Dは何色でもよいので22通りとつなげてよい
 6・16+8・22+8・22=448(通り)


解答・その4

(ペンネ−ム:ykak)

答え 448通り

考え方
3色使って6マスを塗る塗り方の数は全部で3の6乗=729通りあるが、この中で赤が連続している塗り方 を数えてその数を全体の数から引く。
赤が連続している塗り方のパターンは、図のとおり全部で20通りあり、これを順番にAからTとする。

  1. Aは、赤が6マス連続している塗り方で、その塗り方は1通り (A=1)

  2. B、Cは赤が5マス連続している塗り方で、赤でないマスは白か黒しか塗れないから、 その塗り方の数は、B、Cとも2通り。
       (B、C=2)

       
  3. D、E、Fは赤が4マス連続している塗り方で、赤に隣接しているマスは白か黒、 それ以外ののマスは赤、白、黒とも塗れるから、その塗り方は、
       DとFが、2×3の6通り。 (D、F=6)
       Eは、2×2の4通り。 (E=4) 

  4. GからJは赤が3マス連続している塗り方であるが、その塗り方の数は次のとおり。
    1) GとJは赤のマスに隣接しているマスは白と黒の2通り、それ以外のマスは3通りだから、
       2×3×3の18通り。
    ただしGの中にはKの塗り方も含まれているが、これはKのところで数えるのでその塗り方の数 (後で述べるとおり2通り)を除いて、Gは16通りとする。
    JもLの塗り方を含んでいるので、同様に16通りとする。 (G、J=16)
    2) HとIは、赤のマスに隣接しているマスが2つあり、これは白と黒の2通りで、残りのマスが3通りだから
       2×2×3の12通り。 (H、I=12)

  5. KとLは、赤マスが2個及び3個連続している塗り方で、残った1つのマスは白か黒しか塗れないから、 それぞれ2通り。 (K、L=2)

  6. MからQは赤マスが2個連続している塗り方であるが、その塗り方の数は次のとおり。
    1) MとQは、赤マスに隣接するマスの塗り方が白と黒の2通り、それ以外のマスが3通りだから、それぞれ    2×3×3×3の54通り。
    ただしMの中には、L、R、Sの塗り方も含まれているが、それはそれぞれの場所で数えるので除外する。
    Lは上に述べた2通りで、RとSは後で述べるように各4通りだから、
       54−2−4−4の44通り。 (M=44)
    Qも同様に、K、S、Tの塗り方を含んでいるから44通り。 (Q=44)
    2) N、O、Pは赤マスに隣接する2つのマスは2通り、それ以外の2つのマスは3通りだから
       2×2×3×3の36通り
    ただしNはTを含んでおり、PはRを含んでいるから、それを除く。
       36−4の32通り (N、P=32)
    Oは重複するものがないのでそのまま36通り (O=36)

  7. R、S、Tは、空いている2つのマスは白か黒しか塗れないから
       2×2の4通り  (R、S、T=4)

  8. 以上のAからTまでの塗り方の数を全部加えると281になる。

答えは、729−281=448




解答・その5

(ペンネ−ム:長崎島原かがみ)

塗り方の総数は3の6乗だから729通り。
このうち,赤が2コマ以上連続している場合を除けばよい。


と書くことにし,場合の数は2×3×2×3=36(通り)である。
では,パターンに分けて場合の数を求めることにする。


したがって,
729−241=488(通り)
(答)488通り


解答・その6

(ペンネ−ム:スモークマン)

赤0:26=64
赤1:25*6C1=32*6=192
赤2:24*5C2=16*10=160
赤3:23*4C3=8*4=32
赤4:この場合必ず赤は連続しちゃう...赤の隙間は3個しかないので...残り2枚じゃ 無理だから...
けっきょく...
64+192+160+32=96+352=448 通り♪


解答・その7

(ペンネ−ム:falcon@中学教師)

448通り

<考え方>赤い色で塗り分けたマスの数で場合分けして考える。
(1) 赤いマスが6個、5個、4個の場合
これらの場合は、どのように配置しても赤いマスが連続するところが出てくるので、0通り。

(2) 赤いマスが3個の場合
赤いマスが連続しないような赤いマスの配置は
 ・ 赤、□、赤、□、赤、□
 ・ 赤、□、赤、□、□、赤
 ・ 赤、□、□、赤、□、赤
 ・ □、赤、□、赤、□、赤
の、4通り。
残りのマスは白か黒で塗り分けるので 2 =8通り。
従って、この場合は4×8=32通りある。

(3) 赤いマスが2個の場合
赤いマスが連続しないような赤いマスの配置は
 ・ 赤、□、赤、□、□、□
 ・ 赤、□、□、赤、□、□
 ・ 赤、□、□、□、赤、□
 ・ 赤、□、□、□、□、赤
 ・ □、赤、□、赤、□、□
 ・ □、赤、□、□、赤、□
 ・ □、赤、□、□、□、赤
 ・ □、□、赤、□、赤、□
 ・ □、□、赤、□、□、赤
 ・ □、□、□、赤、□、赤
の、10通り。
残りのマスは白か黒で塗り分けるので 2 =16通り。
従って、この場合は10×16=160通りある。

(4) 赤いマスが1個の場合
赤いマスが連続することはありえない。赤いマスの配置は6通り。
残りのマスは白か黒で塗り分けるので 2 =32通り。
従って、この場合は6×32=192通りある。

(5) 赤いマスが0個の場合
赤いマスが連続することはありえない。
6個のマス全てを白か黒で塗り分けるので、この場合は 2 =64通りある。

(1)〜(5)より、求める塗り分け方は0+32+160+192+64=448通り。


解答・その8

(ペンネ−ム:オヤジ)

6個のマスに左から 1〜6と番号を付ける。
例えば、赤を1番目、3番目、6番目に塗るのを 1−3−6 の様に表す。
赤を塗る個数によって場合分けする。

(T) 赤マス 0個 の場合   白・黒のみ ・・2 通り = 64通り
(U)赤マス 1個 の場合   6×2 通り = 192通り
(V)赤マス 2個 の場合  
  (1)1−3  2 通り
  (2)1−4  2 通り
  (3)1−5  2 通り
  (4)1−6  2 通り
  (5)2−4  2 通り
  (6)2−5  2 通り
  (7)2−6  2 通り
  (8)3−5  2 通り
  (9)3−6  2 通り
  (10)4−6  2 通り
 (1)〜(10)より 10×2 通り = 160 通り
(W)赤マス 3個 の場合
 (1)1−3−5  2 通り 
 (2)1−3−6  2 通り
 (3)1−4−6  2 通り
 (4)2−4−6  2 通り
 (1)〜(4)より 4×2 通り = 32 通り

(T) 〜(W)は、排反事象より和の法則から
   64+192+160+32= 448 通り
 ∴ 448 通り


解答・その9

(ペンネ−ム:迷子の雄猫)

それぞれのマスは一色で塗り分けるとする。
赤いマスが連続してはいけないので、赤いマスの数は0マス以上3マス以下である。

赤いマスが0マスのとき:1通りのうち連続しないのは1通り
赤いマスが1マスのとき:6通りのうち連続しないのは6通り
赤いマスが2マスのとき:15通りのうち連続しないのは10通り
赤いマスが3マスのとき:20通りのうち連続しないのは4通り

さて、赤いマス以外はどのように塗ろうが構わないので、
赤以外のマスの数をxと置くと
(赤以外のマス目の塗り分け方)は2x通り
よって
 1×64 + 6×32 + 10×16 + 4×8
= 64 + 192 + 160 + 32
= 448
答え:448通り


解答・その10

(ペンネ−ム:T_Tatekawa)

赤のマスとそれ以外で区別します.

  1. 赤を使わない場合
    6個のマスを白,黒のいずれかで塗り分けるので,26 = 64 通り

  2. 赤を1つ使う場合
    白と黒で5つのマスを塗り分けで,その後で赤のマスを割り込ませる事を考える.
    白と黒の塗り分け方は 25=32 通り
    割り込ませる位置は 6 通り
    よって 32 x 6 = 192 通り

  3. 赤を2つ使う場合
    白と黒で4つのマスを塗り分けで,その後で赤のマスを別々の場所に割り込ませる事を考える.
    白と黒の塗り分け方は 24=16 通り
    割り込ませる位置は 5x4/2 = 10 通り
    よって 16 x 10 = 160 通り

  4. 赤を3つ使う場合
    ◯を白か黒,■を赤とすると,
    ◯■◯■◯■
    ■◯■◯■◯
    ■◯■◯◯■
    ■◯◯■◯■
    のいずれかの塗り方になる.
    白と黒の塗り分け方は 23=8 通り
    赤の入り方のパターンは 4通り
    よって 8 x 4 = 32

以上 1〜4 を合計すると,
64 + 192 + 160 + 32 = 448通り


解答・その11

(ペンネ−ム:バルタン星人)

答え
448通り

考え方:以下の仮定のもとに解きました。
赤は連続しないとだけ書いてあるので白及び黒は連続して良い。
ますには一定の向きがあり、180度回転して同じ色の順番になっても それは別の塗り方とカウントする。

赤が0〜3個で場合分けして考える。(4個以上は連続が出る)
 1)0個の場合は、2=2×2
 2)1個の場合は6×2
 3)2個の場合赤の塗り方が10通り 10×2=5×2
 4)3個の場合、ますに1−6の順番をつけると赤の塗り方は
   (1,3,5)(1,3,6)(1,4,6)(2,4,6)
の4通りだから4×2=2
これを足すと14×2=7×64=448


解答・その12

(ペンネ−ム:シュレーディンガーの三毛猫)

<答> 448通り

<解法>
塗り分けられた6つのマスのうち赤いマスの数について場合分けし、条件を満たす場合の数を調べる。

(1. 一般に、n個の要素からr個を選ぶ場合の数(組み合わせ)は以下の式で表せる。
   ≡n!/r!(n - r)!
   (n,rはともに非負整数で、 n≧r. ※このnとrの条件は以降ことわりなく用いる。)
ここでn!は「nの階乗」であり、
   n!≡1×2×3×・・・・・×n  , 0!≡1
である。

(2. また、n個の要素から重複を許して選び、r個並べる場合の数は、n通りある。
    (並べるr個のそれぞれにn通りずつの選び方があるので、nをr回かければよい)

さて本問の条件は、
「6個のマスのうち赤いマスがr個あるとする。  赤のマスはそれぞれ、赤以外の(6−r)個のマスの隣にできる (6−r+1)個の場所のいずれか1つずつのみ存在する」
と言い換えることができる。

具体的にr=3のときを図示する。赤以外の2色のいずれかで塗られたマスは6-r=6-3=3個存在し、 これを”*”で表すと、
残り3個の赤のマスは図の"_"の部分の4箇所(6−r+1)のうちいずれかに1つずつ入れれば赤いマスは連続しない。

  _*_*_*_ 

赤で塗られるマスは (1.より6−r+143=4通りあり、かつ、 赤以外で塗られたマスの場合の数は(2.より、26−r=23=8通りある。
よって、r=3の時、条件を満たす塗り分け方は4×8=32通りあることがわかる ・・・@
ところが、r≧4のときは(6−r+1)<4 であり、6−r+1は(1.で挙げたn≧rの条件を満たさないので不適である。
(このことは、赤いマスが4個以上のときは必ず赤いマスが連続することを意味する。)
したがって、0≦r≦3の範囲で場合分けを行い、同様の手続きをすればよいことになる。
@) r=3のとき
  これは前述した。@より32通り。
A) r=2のとき
  赤を塗る場合の数は 6−r+152=10
  かつ、赤以外の2色を塗り分ける場合の数は26−r=24=16
  10×16=160 (通り)
B) r=1のとき
  赤を塗る場合の数は 6−r+161=6
  かつ、赤以外の2色を塗り分ける場合の数は26−r=25=32
  6×32=192 (通り)
C) r=0のとき
  このときは、赤以外の2色を重複を許して6つ塗り分ける場合の数となるので、
  26=64 (通り)
@)〜C)より、題意を満たす塗り分け方の場合の数は
  32+160+192+64=448 (通り)  ・・・[答]

# 因みに、この結果は、条件を与えないで3色を塗り分ける場合の数
  36=729 (通り) の約61.5%に相当する。


解答・その13

(ペンネ−ム:Nと〜)

答 448通り
まず、赤の塗り方が何通りあるか考える。
  赤が0マスの場合………1とおり。
  赤が1マスの場合………6とおり。
  赤が2マスの場合……10とおり。[6C2-5=10]
  赤が3マスの場合………4とおり。
続いて、それぞれの場合の白黒の塗り方を考える。
  赤が0マス……2の6乗で64とおり。
  赤が1マス……2の5乗で32とおり。その6倍……192とおり。
  赤が2マス……2の4乗で16とおり。その10倍…160とおり。
  赤が3マス……2の3乗で8とおり。その4倍…………32とおり。
全部あわせて
  64+192+160+32=448(とおり)


解答・その14

(ペンネ−ム:転位反応)

赤いマスの個数に応じて、それらが連続しない配置を全て書き下し、それぞれの場合について、残りのマスを白又は黒で塗り分ける組合せを数え上げれば良い。
なお、赤いマスが4個の場合、少なくとも二つのマスが連続するため、それ以上の個数の場合については考える必要は無い。よって、題意の塗り分け方は448通り。




解答・その15

(ペンネ−ム:haya)

塗り分け方は 448 通りです。

【解き方】
赤マス ● は連続して配置できない制限があるのでその限定されたパターンを先ずリストアップし、 それぞれに対して白・黒のマス _ の順列の数を求めて合計する。




解答・その16

(ペンネ−ム:夜ふかしのつらいおじさん)

赤いマスが隣り合わない塗り分け方を数えるのに、 赤いマスの個数で場合分けをします。

※ 4個以上の場合はありません。
∴ 64+192+160+16=432通り。
なお、6個のマスを赤、白、黒のいずれかの色で塗り分ける方法は、36=729通りあります。

残り赤が連続する場合を補って確かめておきます。
赤のマスの個数で場合分けをします。

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