Weekend Mathematics／問題／問題45
４５．ＣＤの問題
あるレコード店(ＣＤ店？)の話。
古くなったロックのＣＤのバーゲンをやっています。
３０枚は２枚１組で１ドル、もう３０枚が３枚１組で１ドルという破格のお値段です。
もちろん、最初の１日で６０枚完売です。
３０枚の２枚１組１ドルのＣＤは、売り上げが１５ドル、３０枚の３枚１組１ドルのＣＤは、売り上げが１０ドル。
しめて２５ドルの売り上げです。
次の日も、マネージャーは６０枚のレコードをお店に並べました。
店員「値段が２種類あるなんて面倒だな、３０枚が２枚１組１ドル、３０枚が３枚１組１ドルなんだから、
５枚１組２ドルにして、６０枚全部一緒に並べちゃおうか、どうせ同じこったから」
閉店までに、やはり６０枚全部売り切れました。
しかし、売り上げ金を計算していたマネージャー氏、あっと驚きの声をあげました。
なんと２５ドルではなくて、２４ドルしか売り上げがないじゃないですか！
どうして１ドル消えてしまったのでしょう？
お客さんへのおつりをどこかで間違えたのでしょうか？
１ドル消えてしまった理由を考えてください。
ａｈａ！Ｇｏｔｃｈａ ゆかいなパラドックス１
マーチン・ガードナー編 竹内郁雄訳
日経サイエンス社
（ペンネ−ム：海東のおとめ）
２枚１組で１ドルのＣＤをＡ、３枚１組で１ドルのＣＤをＢとする。
最初はＡのＣＤは全部で１５組売ることが出来て、売上金が１５ドル。ＢのＣＤは同様に１０ドル。
あわせて２５ドル。
次の売り方ではＡを１組、Ｂを１組ずつ、５枚１組で売るとすれば、Ｂは１０組しかないから５枚１組のＣＤは１０組しか
できないはず。（２ドル×１０＝２０ドル）
そうするとＡが５組（１０枚）残るので、最初の売り方なら５ドルの売上金になる（１ドル×５＝５ドル）が、
５枚２ドルで売ってしまったため（２ドル×２＝４ドル）１ドル損をしてしまった。
（ペンネ−ム：長距離ランナーたけぼう）
３０枚２枚１組で１ドルとしたら、１枚あたり１／２ドル。
３０枚３枚１組で１ドルとしたら、１枚あたり１／３ドル。
だからそれぞれ１枚ずつで２枚５／６ドル。
よって１枚あたり、５／１２ドル。だから５枚あたり２５／１２ドル。
しかし店員は、６０枚を５枚１組２ドルで売ったということで、
この時の１枚あたりの値段は２／５ドル。
これが６０枚だと、
６０×２／５＝２４ドル。
最初の売り方だと、６０×５／１２＝２５ドル。
よって２５−２４＝１で１ドルの差が出来てしまう。
（ペンネ−ム：mhayashi）
まず、最初の日のＣＤ１枚当たりの値段を算出する。
３０枚を２枚１組で１ドルで売る場合、１枚当たりの値段は１／２ドル
３０枚を３枚１組で１ドルで売る場合、１枚当たりの値段は１／３ドル
よって最初の日のＣＤ１枚当たりの値段は (1/2+1/3)/2=5/12 より５／１２ドル
（ゆえに売り上げは 60×(5/12)=25 より２５ドルとなった。）
次に、明くる日のＣＤ１枚当たりの値段を算出する。
６０枚を５枚１組で２ドルで売る場合、１枚当たりの値段は２／５ドル
（ゆえに売り上げは 60×(2/5)=24 より２４ドルとなった。）
以上より、ＣＤ１枚当たりの平均的な値段を見ると、5/12＞2/5 より、
最初の日より次の日のほうが安く設定してしまっていることが分かる。
P.S.売り上げの差は２枚組と３枚組のセット数の違いから生じます。
（ペンネ−ム：しばた）
CD1枚あたりいくらになるかを比較すると…
前者は、2枚1組1ドルのCDは1枚1/2ドルになり
3枚1組1ドルのCDは1枚1/3ドルで、
それらをあわせると、2枚で5/6ドルになり、
1枚あたり5/12ドルになる。
後者は、5枚1組2ドルなので、
1枚あたり2/5ドルになる。
すると、1枚あたりの差は 5/12-2/5=1/60ドルとなり、
60枚で1ドルの差が生じる。
（ペンネ−ム：水の流れ）
店員は１ドル当たりの相加平均を考えて、売ってしまったため、
こんな現象になってしまいました。調和平均で売っておけば良かったのです。
では、分かり易くお話をします。
皆さんは、距離＝速さ×時間 の関係をご存知でしょう。
ここで、距離がCDの枚数で30枚 、速さをCD１ドル当たりの枚数 、
時間を売上金額とします。
誤ってしまった店員は1ドル当たりの枚数を２枚と３枚で
平均をとって、２ドルで５枚から、５／２枚で売ったから、
売上金額は６０÷（５／２）＝２４ ドル にしかならないのです。
もしも、２５ドルの金額を得たいのなら、
１ドルあたり、２枚と３枚の調和平均 １÷［｛（１／２）＋（１／３）｝÷２］＝
１２／５
で売れば良かったのです。
このとき、売上金額は６０÷（１２／５）＝２５ドルになります。
現実には、１２枚５ドルで売れば良かったのです。
ちなみに、正の数 a,b に対して
相加平均は （a＋b）÷２＝（a＋b）／２
調和平均は １÷［｛（１/ａ）＋（１/ｂ）｝÷２］＝２ａｂ／（ａ＋ｂ） です。
（ペンネ−ム：ねこ）
２枚１組で１ドルのＣＤを種類Ａ、３枚１組で１ドルのＣＤを種類Ｂとします。
５枚１組で２ドルという値段は、Ａ：Ｂ＝２：３という比の組み合わせで成り立つも
のです。
（Ａ２０枚、Ｂ３０枚）まではよいのですが、残りのＡ１０枚は、本来は
２枚１組１ドル→１０枚で５ドル
で売れる物であるにもかかわらず
５枚１組２ドル→１０枚で４ドル
で売ってしまうことになります。そのため１ドル売上が少なくなってしまいます。
実際にこんな売り方をする人っているんでしょうか・・・・・・
（ペンネ−ム：マスター ）
３０枚が２枚1組1ドル ３０枚が３枚1組1ドルのとき全部売ると前者は15組
後者は10組売ったことになる。
この時点でレコード店は２枚1組1ドルで売ったほうが得。
しかし、60枚が5枚1組1ドルにすると、前者が1２組
後者が1２組売ったことになり,得である２枚1組1ドルが３組減っている。
そこから1ドルの差がでてきた。
（ペンネ−ム：Ｐ．Ｎハーヴィンジャー）
５枚１組２ドルの商品は、合計１２組ある。その１つの商品の中に３枚１ドル
のＣＤを３枚ずつ入れると、１０組の商品にしか入らないことになる。その１０
組の商品は、その店員の思惑通り５枚で２ドル相当の商品となり、損することな
く販売できる。しかし、残りの２組の商品を構成するには、３枚１ドルのＣＤが
もう無いので、２枚１ドルのＣＤだけを使うことになる。１組に２枚で１ドルの
ＣＤが５枚入り、２.５ドル相当の商品になるが、店員がすべて５枚１組２ドル
で販売してしまったので、１組で０.５ドル、２組あるので計１ドルの損をした
ことになる。だから、２５ドルのはずが２４ドルしかなかったのです。
（ペンネ−ム：かつ）
ここで考えることは１日目と２日目を比較してみることが必要です。
１日目は、３０枚づつでわけるので２枚１組が１５組、３枚１組が１０組できます。
２日目は５枚１組１２組できます。よっておつりを間違ったわけでは、ないのです。
ここで１日目の分け方で５枚１組をつくってみると・・・
２枚 ３枚 →５枚
２枚 ３枚 →５枚
２枚 ３枚 →５枚
２枚 ３枚 →５枚
２枚 ３枚 →５枚 ５枚１組が１０組できる
２枚 ３枚 →５枚
２枚 ３枚 →５枚
２枚 ３枚 →５枚
２枚 ３枚 →５枚
２枚 ３枚 →５枚
２枚
２枚
２枚→５ドル この１０枚で２組できる！４ドル
２枚
２枚
ここで１ドルの差が出る。
ついでにいうと、６０枚を全部２枚１組にすると・・・３０ドル
６０枚を全部３枚１組にすると・・・２０ドル
よって２枚１組を多くすることが値段を高くすることができます。
ちなみに５枚１組を２枚と３枚に分けると
２枚１組に使う枚数は、２４枚。
３枚１組に使う枚数は、３６枚。
つまり１日目に２枚１組に使う枚数と比べると、
１日目のほうが多く使っているので値段の差が出るわけです。
（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん ）
２枚組１ドルで売るべきＣＤ５組分を５枚組２ドルで２組売ってしまったためです。
◎：２枚組１ドルのＣＤ、 ○：３枚組１ドルのＣＤとすると、
・ちゃんと商売をしていたとき、
| ◎ ◎| | ◎ ◎| | ◎ ◎| | ◎ ◎| | ◎ ◎ | |
| １ | ＋１ | ＋１ | ＋１ | ＋１ | ＝５ |
| ◎ ◎| | ◎ ◎| | ◎ ◎| | ◎ ◎| | ◎ ◎| | ◎ ◎| | ◎ ◎| | ◎ ◎| | ◎ ◎| | ◎ ◎ | |
| １ | ＋１ | ＋１ | ＋１ | ＋１ | ＋１ | ＋１ | ＋１ | ＋１ | ＋１ | ＝１０ |
| ○○○｜ | ○○○｜ | ○○○｜ | ○○○｜ | ○○○｜ | ○○○｜ | ○○○｜ | ○○○｜ | ○○○｜ | ○○○ | |
| １ | ＋１ | ＋１ | ＋１ | ＋１ | ＋１ | ＋１ | ＋１ | ＋１ | ＋１ | ＝１０ |
| 合計 ２５ |
・楽をしようとしたとき、
| ◎ ◎ ◎ ◎ ◎｜ | ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ | |
| ２ | ＋２ | ＝４ |
| ◎ ◎｜ | ◎ ◎｜ | ◎ ◎｜ | ◎ ◎｜ | ◎ ◎｜ | ◎ ◎｜ | ◎ ◎｜ | ◎ ◎｜ | ◎ ◎｜ | ◎ ◎ | |
| ○○○｜ | ○○○｜ | ○○○｜ | ○○○｜ | ○○○｜ | ○○○｜ | ○○○｜ | ○○○｜ | ○○○｜ | ○○○ | |
| ２ | ＋２ | ＋２ | ＋２ | ＋２ | ＋２ | ＋２ | ＋２ | ＋２ | ＋２ | ＝２０ |
| 合計 ２４ |
店員が売るＣＤをよく確かめなかったのが失敗の原因です。
（ペンネ−ム：柿本 浩）
２枚で１ドルのＣＤ：Ａ
３枚で１ドルのＣＤ：Ｂ として
Ａ・Ｂ共に３０枚なのでそれぞれを単独で売るならば
Ａ：３０÷２＝１５組 ⇔ １５ドル
Ｂ：３０÷３＝１０組 ⇔ １０ドル で合計２５ドルの売上となる
ところがこれをＡ２枚＋Ｂ３枚の５枚一組で売る事を考えると
１０組売った時点で
Ａ：２×１０＝２０枚
Ｂ：３×１０＝３０枚 で、ＢのＣＤは無くなってしまう
残ったＡのＣＤ１０枚を、前日は２枚１ドルで売っていたため
５ドルの売上となったが、５枚２ドルで売ってしまったため
４ドルの売上としかならなかった訳である。
ＡＡＢＢＢ
ＡＡＢＢＢ
ＡＡＢＢＢ
ＡＡＢＢＢ
ＡＡＢＢＢ
ＡＡＢＢＢ
ＡＡＢＢＢ
ＡＡＢＢＢ
ＡＡＢＢＢ
ＡＡＢＢＢ …ここまでは２ドルでもＯＫ
ＡＡＡＡＡ …この２組は２ドル５０セントで売らないと
ＡＡＡＡＡ 割に合わない！
まぁ何ですね、自分の扱っている商品の価値、商法の問題点に気づかずに
闇雲に売上だけ出そうとするのは、低次元の訪問販売みたいなものでしょうか
ふとん乾燥機とか（笑）
（ペンネ−ム：やなせ）
最初の設定
Ａ組 ３０枚÷２枚＝１５組
Ｂ組 ３０枚÷３枚＝１０組
合計２５組で、それぞれが１組１ドルなので
売り上げは２５ドルになります。
めんどくさがりの店員の設定
Ａ組＋Ｂ組 ６０枚÷５枚＝１２組
１組２ドルなので
１２組×２ドル＝２４ドル
つまり、店員の設定では
値段の違った各３０枚を平均２．５枚で１組＝１ドルとして売るようになりま
す。
Ａ組 ３０枚÷２．５＝１２組
Ｂ組 ３０枚÷２．５＝１２組
合計で２４組になります
１組＝１ドルなので
やっぱり２４ドル
こんなんでどうでっしゃろか
（ペンネ−ム：中数の基本）
５枚１組なので１２組を各２ドルで売ったのだから２４ドルで間違いはありません．
しかし、問題：「１ドル消えてしまった理由を考えてください。 」に答えるために
は、店員の思い違いの原因を指摘する必要があります．
＜組数の相違による説明＞
店員は１５組の１ドルと１０組の１ドルを「足せば」？？組の２ドルになると想定
したはずですが、組の数が違うため「１０組の２ドル」に「５組の１ドル」が余りま
す．ところが、５組の１ドルは５ドルにならず、再編成されてて２組の２ドルとなり
１ドル減ります．
組数が同じだったらこの相違は生じなかったはずです．だから、組数が違うのにセッ
トにできると考えたのが間違いの心理的原因です．
＜平均単価よる説明＞
平均単価で説明すると、本来は１枚当たり(30×1/2+30×1/3)/60=5/12ドルで売る予定
のところを、１枚当たり2/5ドルで売っているところがみそです．
単価が変わっているのが原因です．
《感想》
この問題の「答」はいろんな言い回しが可能なようです．
（分数の概念がないと、まんまとかかるかも？）
| 水の流れ | 中数の基本 | ねこ |
| mhayashi | マスター | 夜ふかしのつらいおじさん |
| 浜田 明巳 | いただきます | 海東のおとめ |
| しばた | 柿本 浩 | やなせ |
| もんさん | 長距離ランナーたけぼう | saori |
| かつ | Ｐ．Ｎハーヴィンジャー |
最初この問題を見たときに、一瞬でもええっーって驚いてもらえたでしょうか？
私が思うには、２種類のＣＤの価値が実は微妙に違うということ
(著しく価値の違うものだったら、いくら何でもこんなおおざっぱな売り方はしないでしょう・・・)、
かつ売った枚数が１日めと２日めで違うということでしょうか？
それぞれの方がそれぞれの表現で説明してくださいました。
ありがたいことに、私がかくことはもうなさそうです。
E-mail
戻る
top