Weekend Mathematics／問題／問題73

７３．２００３年の問題

図１

図１のような１目が１cmの方眼があります。Ａから矢印のような方眼を１個ずつ塗ることにしました。 例えば、方眼を５個塗ったとき、図２にようになります。以下の問いに答えなさい。

（１）方眼を１５個塗った図形の周の長さを求めなさい。

（２）方眼を１５個塗った図形と周の長さが同じになるのは、方眼をいくつ塗ったときですか？ 当てはまる数をすべて答えなさい。

図２

（３）方眼を２００３個塗った図形の周の長さを求めなさい。

（４）方眼を２００３個塗った図形と周の長さが同じになるのは、方眼をいくつ塗ったときですか？当てはまる数のうち、最も小さい数と、最も大きい数を答えなさい。

解答・その１

（ペンネ−ム：WHORYU）

(1)15個塗ったときは、4*4=16の正方形から、1個欠けた状態です。
したがって、周長は4*4の正方形と同じ16cm。

(2)上記と同様に考えて、同じ周長は、13.14.(15).16個の場合です。

(3)2003の平方根は44.7・・・より、2003=45*44+23。
したがって周長は正方形45*45と同じ45*4=180cm

(4)正方形45*45と同じ周長の図形は、
最小45*44+1=1981
最大45*45=2025

解答・その２

（ペンネ−ム：kiyo）

（１）
15=4²-1
4*4=16
　　　　答え １６ｃｍ

（２）
　最大　4*4=16 4*4=16
　最小 3*4+1
　　　　答え １３、１４、１５(今回のもの)、１６
　

（３）
2003=45²-22
45*4=180
　　　　答え １８０ｃｍ

（４）
　最も小さい数 44*45+1=1981
　最も大きい数 45*45=2025

解答・その３

（ペンネ−ム：Banyanyan）

こういうのは、簡単な場合を調べて、規則性を発見するとうまくいくはず。（？） とりあえず、調べてみましょう。

１個	１×４＝４cm	→１×１
２個	（１＋２）×２＝６cm	→１×２
３個	２×４＝８cm
４個	２×４＝８cm	→２×２
５個	（２＋３）×２＝１０cm
６個	（２＋３）×２＝１０cm	→２×３
７個	３×４＝１２cm
８個	３×４＝１２cm
９個	３×４＝１２cm	→３×３
１０個	（３＋４）×２＝１４cm

よって、 （N−１）×（N−１）個より多く、（N−１）×N個以下の場合
　　　（N−１＋N）×２＝N×４−２cm
（N−１）×N個より多く、N×N個以下の場合
　　　　N×４cm

（１）
１５個は、３×４＝１２個より多く、４×４＝１６個以下だから
１６個の場合と同じだから、４×４＝１６cm

（２）
（１）より１３個、１４個、１６個

（３）
２００３個は、４４×４５＝１９８０個より多く、４５×４５＝２０２５個以下だか ら４５×４＝１８０cm

（４）
最小　４４×４５＋１＝１９８１個
最大　４５×４５＝２０２５個

解答・その４

（ペンネ−ム：リナライ）

まず、これは四角形の四隅から一つ出た時に周の長さが2ｃｍ伸びます。
例えば、マスが一つ塗りつぶされてる時から二つ塗りつぶされる時に周の長さが2ｃｍ増えます。
二つ目から三つ目も同じです。
三つ目から四つ目は、四隅の間になるので長さの変化はありません。
つまり、マスが塗りつぶされる時、大きい四角形が出来て、次に塗りつぶされる時は周の長さが2ｃｍ長くなります。
また、四角形は常に横-縦が1または0の長方形か正方形となります。
なので、長方形の時に次の隅まで行くための必要な長さが1大きくなります。
周の長さが2ｃｍ増えるのに必要なマス目の数を順に表わすと、1マス塗ってある所から、 1、1、2、2、3、3、4、4、5、5……と、二つ進むごとに1ｃｍ大きくなります。
この数列の和を考えることにより、 長方形または正方形になるのは n=1、2、4、6、9、12、16、20、25、30……の場合になります。

（1）n=15の時、12＜ｎ＜16の範囲にあります。
従って周の長さがｎ=16の時と等しくなるので
4×4＝16
A　16cm

（2）12＜ｎ＜16により、
13マス塗ったときから16マス塗ったときまで、周の長さは常に同じである。

（3）n=2003の時は……数字がでかすぎますね（＾＾；
長方形または正方形になるｎの列は、ｎ²とｎ（ｎ+1）が交互に続いていて、 1²、1（1+1）、2²、2（2+1）……となります。
44×45=1980、45²=2025より、44×45＜2003＜45²
従って、45²=2025の時と周の長さは同じ。
4×45=180
A　180ｃｍ

（4）（3）の途中経過より
44×45＜2003＜45²
当てはまる数の最小は1981、最大は2025

解答・その５

（ペンネ−ム：高橋　道広）

答え　(1)16cm　(2)　13,14,(15),16個　(3)　180cm　(4)小さい数1981個　大きい数2025個

(1)(2)
図の赤い線と青い線は同じ長さなので同じ辺上では正方形を１個増減しても周囲 の長さは変わらないことから　13個から16個まで塗ったときの周囲の長さはかわ らない。よって15個の周囲の長さは16個の周囲の長さと同じで4×4=16cm

(3)(4)
一周して右下の位置に来たときには一辺が偶数の正方形状になることに気をつけ ると44×44=1936であることから　さらに正方形を塗るとひとつ飛び出て右に１ 列44個塗りつぶされ、更に上辺に23個塗ると2003個塗ったことになる。 (1)と同じように、同じ辺上では周囲の長さが変わらず、角からひとつ飛び出る と周囲の長さが２増えることから、上辺の正方形を増減しても周囲の長さは変わ らない。 よってもっとも少なくて　2003-22=1981個　最も多くて　45×45=2025個を塗っ たときと同じ周囲の長さになる。 また、周囲の長さは　45×45の正方形の周囲の長さと同じで　4×45=180cmとな る。

解答・その６

（ペンネ−ム：たかまつ　ろろ）

（１）答え　16cm
１目の面積が１cm²なので目の個数がそのまま面積と考えられる。 １辺が4cmの正方形（４×４＝16）の角から１個引いた形になる。正方形の欠けた 部分の辺は左右に移動させてもとの正方形と重ねることができるので周囲の長さはも との正方形と変わらない。よって、 ４×４＝１６

（２）答え　13,14,16
１辺が４cmの正方形になる形はこれしかない。 １２個だと３×４の長方形になり １７個だと４×５の長方形の仲間になってしまうから

（３）答え　180cm
２００３個で１辺が何センチの正方形を作れるかを考える時そのまま√を使えば簡単 だが試験会場などには電卓は持ち込めないのでとりあえず割りやすい２０００を使っ て素因数分解を行い

２０００	＝２×２×２×２×５×５×５
	＝（２０√５）2
	≒４５

４５×４５＝２０２５
２０２５−２００３＝２２
つまり１辺が４５センチの正方形の１辺から２２個引いた形になる。 （１）と同様にもとの正方形と周の長さは変わらないので ４５×４＝１８０

（４）答え　1981と2025
最も大きい時は
　　４５×４５＝２０２５
の正方形の時で 最も小さい時は１辺が４５ｃｍを維持できるために１個でも角に残っている時の
　　２０２５ー４４＝１９８１
となる。

解答・その７

（ペンネ−ム：仮面Ｘ）

（１）１６ｃｍ、（２）１３，１４,１６(個)、（３）１８０ｃｍ、（４）１９８１個、２０２５個
周の長さは順に

�C、６」�G，８、１０，１０」�K，１２，１２、１４，１４，１４」�O，１６，１６，１６、１８，１８，１８，１８」�S，２０，２０，２０，２０、２２，２２，２２，２２．２２」・・・・・です。

（１）、（２）
（１＋１)＋(２＋２)＋(３＋３)＋１＝１３、（１＋１)＋(２＋２)＋(３＋３)＋４＝１６
なので方眼が１３〜１６個のとき周の長さは１６ｃｍです。

（３）、（４）
（１＋１)＋(２＋２)＋(３＋３)＋・・・・・＋(４４＋４４)＝(４４＋１)×４４＝１９８０
なので２００３番目は４４番目の」の次から数えて２３番目になります。
４４番目の」の次は４×４５＝１８０です。それで、１９８１番目〜２０２５番目まで１８０が ４５個ならびます。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

解答・その８

（ペンネ−ム：午年のうりぼう）

（１）、（２）　実際に図を描いて、周の長さを測ってみると、

色を塗られた方眼の個数（個）	１	２	３	４	５	６	７	８	９	１０	１１	１２	１３	１４	１５	１６	１７
色を塗られた方眼の周の長さ（�p）	４	６	８	８	１０	１０	１２	１２	１２	１４	１４	１４	１６	１６	１６	１６	１８

∴　（１）　１６　　　（２）　１３，１４，(１５)，１６　　…（答）

（３）　まず、色を塗られた部分がＡを中心とした正方形になるときを基準にして考える。
色を塗られた部分がＡを中心とした正方形になるのは、色を塗られた方眼の個数が
（２ｎ−１）^２（ｎ＝１，２，３，……）個のときだから、まず、
（２ｎ−１）^２≦　２００３　となる最大のｎを求めると、

	（２ｎ−１）２　≦　２００３
⇔	２ｎ２−２ｎ−１００１≦０
⇔	（１−√２００３）／２　≦　ｎ　≦（１＋√２００３）／２

よって、もとめるｎは、４４＜√２００３＜４５　より、ｎ＝２２
つまり、２００３は、４３^２＝１８４９＜２００３＜４５^２＝２０２５　にある。状況は次図の通り。

上図より、求める周の長さは
４４＋４５＋４５＋２３＋１＋２２＝１８０（�p）…（答）

（４）　色を塗られた部分が上図のようなとき、長方形または正方形になるまで方眼を１つ塗ると、元の図形の周の長さをｘ（�p）とすると、周の長さは　ｘ＋２−２＝ｘ（�p）　のままであり、色を塗られた部分が長方形または正方形のとき、方眼を１つ塗ると、周の長さは　 ｘ＋３−１＝ｘ＋２（�p）　となる（下図）。

よって、方眼を２００３個塗った図形と周の長さが同じになるのは、方眼を １９８１個塗ったときから２０２５個塗ったときまでである。

∴　最も小さい数：１９８１　，　　最も大きい数：２０２５　　…（答）

　

解答・その９

（ペンネ−ム：kirkland）

Ａ君	「早速ですが、15個ぐらいだったら描いた方が早いんじゃないですか？」
先生	「まぁ、そういうことだ。あとは、一人で考えなさい。」
Ａ君	「図形描画ツールと、表を挿入するのと、どっちが楽ですかね？」
先生	「まぁ、似たようなもんじゃないの？好きにしなさい。」
Ａ君	「図形描画だと、少しずれてしまいましたね。数えると、(１)は、16cmですね。」
先生	「どうやって数えたの？」
Ａ君	「先生、僕を馬鹿にしてます？16ぐらいまでの数は知ってますよ！」
先生	「いやぁ、そのまま数えると、(３)なんて無理だろうよ。」
Ａ君	「はははっ、そんなもんは気合いで解決ですよ！」
先生	「面倒なことは好かん。ヒントをあげよう。ア〜エの矢印の方向からそれぞれ見てごらん。あとは、一人で考えなさい。」
Ａ君	「アの方から見て、見える長さは４cm(黄線)。イも同様。ウの方から見ても４cmですね（赤線）。エも同様。」
先生	「まぁ、そういうことだ。あとは、一人で考えなさい。」
Ａ君	「角が欠けていても、結局４×４の正方形の周りの長さと同じなんですね。ということは、(２)は、13〜16個ですね。 12個にしてしまうと、出っ張っている部分がなくなって長方形になってしまいますもんね。」
先生	「まぁ、そういうことだ。あとは、一人で考えなさい。」
Ａ君	「(３)で、2003個のときの図形より少し大きな正方形を考えると、45×45(＝2025)の正方形です。2003個のときの図 形の周りの長さは、この正方形の周の長さと同じだから45×４＝180cmですね。」
先生	「まぁ、そういうことだ。あとは、一人で考えなさい。」
Ａ君	「出っ張っている部分がなくなって長方形になっちゃダメで、45×44＝1980個の図形はダメなんだから、 (４)は最小が1981個で、最大が2025個ということになりますね。」
先生	「まぁ、そういうことだ。」
Ａ君	「先生、今日は何か、サボってません？」
先生	「二日酔いで頭が痛いんだよ。」
Ａ君	「職務怠慢ですね。減給するよう、校長先生に直訴してきま〜す！」

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

解答・その10

（ペンネ−ム：マセがき）

図形の周の長さが変化するのは、元の図形が正方形か長方形だったときに、ひとつだけ飛び出した形となるときのみで、この場合周の長さが３ｃｍ増えて、１ｃｍ減るため、差し引き２ｃｍ増加します。その他の場合は、周の長さが２ｃｍ増えて、２ｃｍ減ることとなるため、差し引き、増減は無い状態となります。

ここで、図形が正方形となるのは、ｎを自然数として、方眼のマスの数がｎ^２となるときなので、１・４・９・１６・２５・・・・個塗ったときになります。また、長方形となる場合は、ｎ^２＋ｎ個を塗ったときとなるので、２・６・１２・２０・３０・・・個塗ったときになります。

よって、周の長さが変化するのは、ｎ^２＋１個とｎ^２＋ｎ＋１個塗ったときのみとなります。

では、ｘ個のマスを塗ったときの周の長さを求めてみましょう。まず、ｘの正の平方根より小さい最大の整数を求めて、これをａとおきます。このａが今の形に塗る直前の最も大きい正方形の一辺の長さになります。次に、ａが求められたら、ａ^２＋ａとｘを比較します。ここで、ｘがこの値より大きい場合は、直前で最大であった正方形の次にできる長方形も、既に塗り終えていることになります。

よって、ｘ個のマスを塗ったときにできる図形の周の長さは、ｘ＞ａ^２＋ａのときは、４ａ＋４となり、ｘ≦ａ^２＋ａのときは、４ａ＋２となります。

最後にｘ個のマスを塗ったときと周の長さが同じになる範囲を求めてみましょう。ｘ＞ａ^２＋ａのときは、既に長方形は塗り終えているので、このまま塗り進めていくと、一辺の長さが（ａ＋１）の正方形ができ、そこまで塗ったとき、すなわち、（ａ＋１）^２個が周の長さが同じになる最大値となります。また、最小値は最後に塗り終えた長方形を塗った次に、一つ飛び出したところとなるため、ａ^２＋ａ＋１個となります。ｘ≦ａ^２＋ａのときは、長方形と正方形が逆になるため、最大値はａ^２＋ａ個となり、最小値がａ^２＋１個となります。

解答
１５個塗った図形の周の長さ　　１６ｃｍ
１５個塗った図形の周の長さと同じになる個数　　 １３個、１４個、１６個
２００３個塗った図形の周の長さ　　１８０ｃｍ
２００３個塗った図形の周の長さと同じになる最小の個数　　１９８１個
２００３個塗った図形の周の長さと同じになる最大の個数　　２０２５個

塗った数	ａの値	周の長さ	最小値	最大値
2003	44	180	1981	2025

解答・その11

（ペンネ−ム：三角定規）

(1) 方眼を15個塗った図形は右図の水色の部分である。
その周（青線部）の長さは，　　　 16 　………　　　 ［答］

(2) 周長が16になるのは，塗った数が　13，14，(15)，16　…［答］

(3)(4) 図より方眼を塗った数N (N≧2)が

(�@)n²＋1≦N≦n(n＋1)　のとき周長は　2(2n＋1)
(�A)n(n＋1)＋1≦N≦ (n＋1)² のとき周長は　4(n＋1) （n＝1，2，… ）

解答・その12

（ペンネ−ム：理一郎坊ちゃん）

一辺がｋの正方形をＫと呼び、一辺が一の正方形をＭと呼ぶ。Ｋの周囲は４＊ｋ、Ｍの周囲は４。 ＫにＭを１個加えると、４辺が加わることになるが、ＫとＭの１辺ずつが重なり図形の中に含まれてしまうので、４−２＝２辺増える。ｋ^２＋２個目からｋ^２＋ｋ個目までは、Ｍを１個加えるとＫと直前のＭの１辺ずつが重なり図形の中に含まれてしまうので、 ４−２−２＝０となり、辺の数は増えない。これらの現象が繰り代えされることになる。 ＫにＭが１個からｋ個加わるとき、周囲は４＊ｋ＋２。ここまででこの図形は、一辺が、ｋとｋ＋１の長方形になる。 ｋ^２＋ｋ＋１個目のＭを加えると、周囲は２増えて４ｋ＋４。以後Ｍを（ｋ＋１）^２個になるまで加えても、周囲は４＊ｋ＋４。

（１）１６ｃｍ。ｋ＝３とすると、３^２＜３^２＋３＜１５＜１６より。
（２）１３，１４，(１５)，１６個。３^２＋３＋１から（３＋１）^２まで。
（３）１８０ｃｍ。４４^２＝１９３６、４４^２＋４４＋１＝１９８１＜２００３＜４５^２＝２０２５より、一辺４５の正方形と等しい。
（４）１９８１，２０２５。（３）と同様。

解答・その13

（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん）

以下のように色を塗る順番に自然数をつけていきます。

表１のように「１」を中心に上下左右に１つずつ正方形を大きくしていきます。すると正方形の左上は｛１，９，２５，４９，・・・｝のように奇数の平方数です。
表２のように「１２３４」を中心に上下左右に１つずつ正方形を大きくしていきます。すると正方形の右下は｛４，１６，３６，６４、・・・｝のように偶数の平方数です。
さて、図３のように凹型６角形の状態で数を増やすとき面積は１平方センチメートル増えますが周の長さは変わりません。図４のように長方形の状態で数を増やすとき周の長さは２センチメートル増えます。
つまり表５の太線で囲まれた数が長方形から飛び出す数で周の長さを２増やします。

左上に増える数｛２，１０，２６，・・・｝は、奇数の平方数に１を加えた数です。
左下に増える数｛３，１３，３１，・・・｝は、上の数に図６のように奇数を加えた数です。
右下に増える数｛５，１７，３７，・・・｝は、偶数の平方数に１を加えた数です。
右上に増える数｛７，２１，４３，・・・｝は、上の数に図７のように偶数を加えた数です。まとめると、

左上の数は（２ｎ−１）2＋１	＝４ｎ2−４ｎ＋２
左下の数は（２ｎ−１）2＋１＋（２ｎ−１）	＝４ｎ2−２ｎ＋１
右下の数は（２ｎ　　）2＋１	＝４ｎ2 　　 ＋１
右上の数は（２ｎ　　）2＋１＋（２ｎ）	＝４ｎ2＋２ｎ＋１

となります。

（１）方眼を１５個塗ったときの周の長さは、１６個のときと同じです。
１６個のときは、１辺が４センチメートルの正方形です。
だから求める周の長さは、４×４＝１６センチメートルです。

（２）１３，１４，(１５)，１６個のときが同じ長さです。

（３）上の式で２００３に近いものを探します。このとき見当をつけるには、
３番目の式　４ｎ²＋１＝２００３　をおおざっぱに　ｎ²＝５００ とすると良いと思います。

n	22	23
左上　 ４ｎ2−４ｎ＋２	1850	2026
左下　 ４ｎ2−２ｎ＋１	1893	2071
右下　 ４ｎ2 　　　＋１	1937	2117
右上　 ４ｎ2＋２ｎ＋１	1981	2163

この表より次のようになっていることが分かります。

方眼を２００３個塗ったときの周の長さは、２０２５個のときと同じです。
２０２５個のときは、１辺が４５センチメートルの正方形です。
だから求める周の長さは、４×４５＝１８０センチメートルです。

（４）１９８１と２０２５です。

解答・その14

（ペンネ−ム：巷の夢）

(1) 方眼15個を塗った図形の周の長さは16個塗った正方形と同じだから16ｃｍ

(2) 正方形や長方形から一つ飛び出す毎に周の長さが変わるので、(1)を考慮すると、15個塗ったのと同じ周長となるのは13,14,16個塗った時である。

(3) 順次塗る方眼の数を増やしていくと、以下の様になる。

方眼数	周長	方眼数	周長	方眼数	周長	方眼数	周長	方眼数	周長
１	４	３	８	７	１２	１３	１６	２１	２０
２	６	４	８	８	１２	１４	１６	２２	２０
		５	１０	９	１２	１５	１６	２３	２０
		６	１０	１０	１４	１６	１６	２４	２０
				１１	１４	１７	１８	２５	２０
				１２	１４	１８	１８	２６	２２
						１９	１８	２７	２２
						２０	１８	２８	２２
								２９	２２
								３０	２２

これより各列の方眼数の増加と共に周長の同じ物が2,3,4,5と増えていくことが分かる。因って各列の周長を平均で以下の様に表す。

方眼数の差	平均周長
２	５
４（上の表の６と２の差）	９
６（上の表の12と６の差）	13
８（上の表の20と12の差）	17
２Ｎ	４Ｎ＋１

これより、方眼数の差を加えていけば最終的に塗られた方眼数となるから、2003は Σ２Ｎ＝Ｎ(Ｎ＋１)より、Ｎ＝44と45の間にあることが分かる。又、Ｎ＝44で塗られた方眼の最大数は1980であるから2003はＮ＝45に属することが分かる。因って平均周長は４Ｎ＋１であるから181となる。この値は180と182の平均である。以上より2003個塗った方眼の周長は180ｃｍである。

(4)(3)より周長180ｃｍの塗られた方眼数の最初は1981、最後は45番目であるから44を加え2025となる。これらは最も小さい数と最も大きい数に対応しているので、これらが求めるものである。

解答・その15

（ペンネ−ム：水の流れ）

最初は規則性を見るために　順に数えていきます。
１ｃｍの方眼の個数をｋ（自然数）個とし、図形の周をＬｃｍとする。

（１）長方形が完成されたとき、横の長さをｎｃｍとすると、縦は（ｎ−１）ｃｍとなる。
（２）正方形が完成されたとき、２辺の長さをｎｃｍとする。

ｋ＝１のとき、	Ｌ＝４
ｋ＝２のとき、	Ｌ＝６
ｋ＝３のとき、	Ｌ＝８
ｋ＝４のとき、	Ｌ＝８
ｋ＝５のとき、	Ｌ＝１０
ｋ＝６のとき、	Ｌ＝１０
ｋ＝７のとき、	Ｌ＝１２
ｋ＝８のとき、	Ｌ＝１２
ｋ＝９のとき、	Ｌ＝１２
ｋ＝１０のとき、	Ｌ＝１４
ｋ＝１１のとき、	Ｌ＝１４
ｋ＝１２のとき、	Ｌ＝１４
ｋ＝１３のとき、	Ｌ＝１６
ｋ＝１４のとき、	Ｌ＝１６
ｋ＝１５のとき、	Ｌ＝１６
ｋ＝１６のとき、	Ｌ＝１６
ｋ＝１７のとき、	Ｌ＝１８
・・・・・・

（１）ｋ＝ｎ×（ｎ-１）のとき、
　　　　２辺の長さが横ｎｃｍ、縦（ｎ−１）ｃｍの長方形を表し、周の長さＬ＝（４ｎ−２）ｃｍ

（２）ｋ＝ｎ×ｎのとき、
　　　　２辺の長さをｎｃｍの正方形で、周の長さがＬ＝４ｎ　ｃｍ　

したがって、これをｋで分類すると、（１≦ｎの自然数）

（１）（ｎ-１）・（ｎ−１）＜ｋ≦ｎ（ｎ−１）　のとき、Ｌ＝４ｎ−２
（２）ｎ（ｎ−１）＜ｋ≦ｎ・ｎのとき、　　　　　　　　 Ｌ＝４ｎ

問題１は　４×３＜ｋ＝１５≦４×４　より　Ｌ＝４・４＝１６ｃｍ

問題２は、Ｌ＝１６＝４・４から、４×３＜ｋ＝１５≦４×４だから
　　　　　　よって、ｋ＝１３，１４，１５，１６

問題３は、2003前後の平方数を見つけると　４４・４４＝１９３６
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　４５・４４＝１９８０
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　４５・４５＝２０２５
よって、４４×４５＜ｋ＝２００３≦４５×４５　から　Ｌ＝４・４５＝１８０　ｃｍ

問題４は、４４×４５＜ｋ＝２００３≦４５×４５　から
　　　　ｋの最小値は１９８１（個）　、　ｋの最大値は２０２５（個）　　終わり

解答・その16

（ペンネ−ム：柿本　浩）

まぁ、まずはロジックを考えてみましょ。 それが分かれば１５も２００３も同じです。

まず、図１の様に考えてゆくと、問題の手順で方眼を塗りつぶしてゆく途中で
　　●ｎ×ｎの正方形
　　●ｎ×（ｎ＋１）の長方形
　　　　　　※ｎは全ての自然数
を形づくるパターンがある事が分かる。　・・・　共通解

次に、塗りつぶす方眼が１マス増えた時の周の長さの変化を考えると 図２の様に『塗りつぶすマスの上下左右４箇所のマスが既に塗りつぶされているかど うか』によって変わってくる事が分かる。

●パターン１：４箇所とも空の場合（＋４ｃｍ）
　　→　最初のマス（Ａ）を塗りつぶす時のみ、それ以降は隣接するマスを塗っていく ため有り得ない。
●パターン２：３箇所空の場合（＋２ｃｍ）
　　→　問題文のケースでは、四角形（共通解１の正方形・長方形）が出来た次の１マ スがこれに当たる。
●パターン３：２箇所空の場合（±０ｃｍ）
　　→　問題文のケースでは、パターン１・２以外は全てこれに当たる。
●パターン４：１箇所空の場合（−２ｃｍ）
　　→　問題文のケースでは有り得ないパターン。
●パターン５：４箇所とも塗られていた場合（−４ｃｍ）
　　→　問題文のケースでは有り得ないパターン。

これより問題の図形の外周の長さは 最初の１個は＋４ｃｍ（０→４ｃｍ）で、それ以降は 四角形（共通解１の正方形・長方形）が出来た次の１個を塗る時のみ ＋２ｃｍとなり、それ以外のパターンでは変わらない事が分かる。 つまり、マス目を塗りつぶして四角形以外の形になった場合は そのまま塗り進めて次に出来る四角形と外周の長さが同じになる。　・・・　共通解 ２ （図３参照）

これより

（１）
面積は当然１５ｃｍ²の図形であり、これは
１２個目：３×４＝１２ｃｍ²の長方形と
１６個目：４×４＝１６ｃｍ²の正方形の間に出来る形である。
よって共通解２より、この図形の外周の長さは４×４の正方形と同じである事が分かり 周の長さは４（ｃｍ）×４（辺）＝１６ｃｍとなる。

（２）
（１）の解と共通解２より、１３個目（１２個目の長方形＋１）から １６個目の正方形までは外周の長さが同じである事が分かる。
これより、１５個の図形と周の長さが一致するのは、１３、１４、１６個を塗りつぶ した時である。

（３）
面積は当然２００３ｃｍ²の図形であり、これは
１９８０個目：４４×４５＝１９８０ｃｍ²の長方形と
２０２５個目：４５×４５＝２０２５ｃｍ²の正方形の間に出来る形である。
よって共通解２より、この図形の外周の長さは４５×４５の正方形と同じである事が 分かり周の長さは、４５（ｃｍ）×４（辺）＝１８０ｃｍとなる。

（４）
（３）の解と、共通解２より、１９８１個目（１９８０個目の長方形＋１）から ２０２５個目の正方形までは外周の長さが同じである事が分かる。
よって２００３個の形と外周の長さが同じになる最も小さい数は１９８１個で 最も大きい数は２０２５個を塗りつぶした時である。

解答・その17

（ペンネ−ム：モルモット大臣）

規則性から塗られた方眼の全体個数NがK²(K≧2)個の時、その外周は4K cmである。 (K+1)²-K²=2K+1であり、その個数NがK²+1≦N≦K²+Kの場合、その外周は4K+2 cm その個数がK²+K+1≦N≦(K+1)²の時は4(K+1)=4K+4 cmである。 以上から

(1) N=15の時は3²＜15＜4²であるから3²+3+1=13＜15＜16より、前述の式でK²+K+1≦N≦(K+1)²の時は4(K+1)=4K+4 cmにおいてK=3の時、よってその外周は4×3+4=16 cm

(2) 外周が20 cmの場合の全体個数Nは(1)より3²+3+1≦N≦4²だから該当するNはN=13,14,15,16　よって求める答は13,14,16

(3) N=2003の時は44²=1936＜2003＜45²=2025であり、1936+44=1980＜2003から前述の式、K²+K+1≦N≦(K+1)²の時は4(K+1)=4K+4 cmでK=44の時、よってその外周は4×45=180 cm

(4) 外周が180 cmの場合の全体個数Nは(3)よりK²+K+1≦N≦(K+1)²におけるK=44の時である。該当するNは44²+44+1≦N≦45²から1981≦N≦2025 よって外周180 cmとなるNの最小と最大の数はそれぞれ1981, 2025である。

解答・その18

（ペンネ−ム：杖のおじさん）

この問題を解くため、公式を次の様に作ります。方眼は１cm角なので図形１個の面積は１cm²となります。

図形の面積をSとすると次の式が成り立ちます。
nを求める。n=√S　の整数部となる。
Excelで計算する場合、

　　n=INT(SQRT(S))

でも、入学試験なので試験場にはパソコンを持ち込めませんので暗算ですね。
n²は正方形の面積で、Ｓの面積から引くと周囲の方眼の数が出ます。
周囲の方眼の面積（ＣＤＥＦＧＨ）をyとすると、

y=s-n²

(A)y-n＞0の時は、

周囲の長さは、4(n+1)
周囲の長さが同じになる個数は、最小　n(n+1)+1、最大(n+1)²となります。

(B)y-n＜＝0の時は、

周囲の長さは、2(2n+1)
周囲の長さが同じになる個数は、最小　n²+1、最大n(n+1)となります。

(1)√15=3.872･･　　　n=3
y=15-9=6、6-3=3なので(A)より　4(3+1)=16cm

(2)(A)により、13,14,(15),16個塗ったとき同じ周囲の長さとなります。

(3)√2003=44.7548･･　　　n=44
y=2003-1936-67、67-44=23なので　(A)より　4(44+1)=180cm

(4)(A)により、最小は　44×45+1=1981個、最大は　45×45=2025個

解答・その19

（ペンネ−ム：小学名探偵）

（1）16ｃｍ （2）13、14、16 （3）180 (4)最大2025　最小1981

単位正方形（一辺の長さ１ｃｍの正方形）の数をＸとします。
一辺の長さ２の正方形となるまで（１＜Ｘ＜＝４）、周の長さは　　２，２，０
一辺の長さ３の正方形になるまで（４＜Ｘ＜＝９）、周の長さは　　　　２，０，２，０、０　
一辺の長さ４の正方形になるまで（９＜Ｘ＜＝１６）、周の長さは　　　　　　　２，０，０，２，０，０，０
と増えます。同様にして
一辺の長さｎ＋１の正方形になるまで（ｎ^２＜ｘ＜＝（ｎ＋１）^２）、
周の長さは、前のｎ個が（Ｘの範囲［ｎ^２＋１，ｎ^２＋ｎ］のとき）＋２で、４＊ｎ＋２となり、
後のｎ＋１個が（Ｘの範囲［ｎ^２＋ｎ＋１，（ｎ＋１）^２］のとき）更に＋２で、４＊（ｎ＋１）となる。

（１）　Ｘ＝１５は［１３，１６］の範囲にあるので、周の長さ４＊４＝１６cmです。
（２）　上より、１３，１４，（１５）、１６です。
（３）　２００３は、［４４^２＋４５，４５^２］の範囲にあるので、周の長さ４＊４５＝１８０になりました。
（４）　４４^２＋４５＝１９８１，４５^２＝２０２５
　　　　　　　　　　　　　

解答・その20

（ペンネ−ム：Toru）

一辺がk cm（k=1,2,3-----）の正方形、すなわちk²個塗ったところから考える。 この時、周の長さは4k cm、ここから１個塗ると、周の長さは2cm 増えて4k+2 cm、その 後k個（全体でk²+k=k(k+1)個：k、k＋１の長方形）までは、周の長さは変わらず、 つぎの１個でまた2 cm増えて4k+4=4(k+1) cmとなり、これは１辺が（k+1）cmの正方 形（（k+1）²個）になるまで続く。以下、同じくり返し。 よって

（１）3×3＜3×4＜15＜4×4 より、k=3のところで考えて4×(3+1)=16

（２）3×4+1から4×4までで　13,14,(15),16

（３） 44×44＜44×45＜2003＜45×45 (44×45=1980, 45×45=2025)よりk=44の場合 を考えて、4×(44+1)=180

（４）44×45+1から45×45までで　最小は44×45+1=1981,最大は45×45=2025

解答・その21

（ペンネ−ム：teki）

１　１６ｃｍ
２　１３、１４、(１５)、１６
３　１８０ｃｍ
４　最小：１９８１　最大：２０２５

面白い規則性がありますね。
塗る個数をＮとすると、周の長さＬとの間には以下の関係があります。
（ｎ-1）²＜Ｎ≦ｎ²-ｎ　のとき、Ｌ＝４×ｎ-２・・・�@
ｎ²-ｎ＜Ｎ≦ｎ²　のとき、Ｌ＝４×ｎ・・・�A

１は、Ｎ＝１５（ｎ＝４）の時で、�A式が適用され、Ｌ＝１６となります。
２は、ｎ＝４のとき、ｎ²-ｎ＝１２　となるので、該当する数は１３〜１６ です。
３は、４４²＝１９３６、４５²＝２０２５、４５²-４５＝１９８０　より、Ｌは４５×４＝１８０　となります。
４は、３でも述べたとおり、１９８１〜２０２５まではＬ＝１８０ですので、 最小は１９８１、最大は２０２５　となります。

解答・その22

（ペンネ−ム：浜田　明巳）

エクセルのマクロで解きました。グラフィック画面もどきになっています。
(1) 16
(2) 13,14,16
(3) 180
(4) 1981,2025

Option Explicit
Sub Macro1()
    Sheets("Sheet1").Select
    Cells.Select
    Selection.Interior.ColorIndex = xlNone
    Selection.ClearContents
    '
    Dim x As Integer
    Dim y As Integer
    Dim muki As Integer
    Dim n As Integer
    Dim kosuu As Integer
    Dim max4 As Integer
    Dim min4 As Integer
    Dim j As Integer
    Sheets("Sheet2").Cells(1, 1).Value = 0
    For n = 0 To 100
      If n = 0 Then
        kosuu = 1
        x = 50
        y = 50
        Call choice(kosuu, x, y)
      Else
        If n = 1 Then
          muki = 2
        Else
          muki = (muki + 1) Mod 4
        End If
        For j = 1 To Int((n + 1) * 0.5)
          kosuu = kosuu + 1
          Select Case muki
            Case 0
              y = y + 1
            Case 1
              x = x - 1
            Case 2
              y = y - 1
            Case Else
              x = x + 1
          End Select
          Call choice(kosuu, x, y)
        Next j
      End If
    Next n
    '
    Sheets("Sheet2").Select
    Cells(1, 5).Value = Cells(15, 3).Value
    Range("E1").Select
    '
    n = 0
    For j = 1 To kosuu
      If j <> 15 And Cells(j, 3).Value = Cells(1, 5).Value Then
        n = n + 1
        Cells(2, 5 + (n - 1)).Value = Cells(j, 2).Value
      End If
    Next j
    Range("E2").Select
    Cells(3, 5).Value = Cells(2003, 3).Value
    Range("E3").Select
    '
    min4 = kosuu
    max4 = 0
    For j = 1 To kosuu
      If j <> 2003 And Cells(j, 3).Value = Cells(3, 5).Value Then
        If min4 > Cells(j, 2).Value Then
          min4 = Cells(j, 2).Value
        End If
        If max4 < Cells(j, 2).Value Then
          max4 = Cells(j, 2).Value
        End If
      End If
    Next j
    Cells(4, 5).Value = min4
    Cells(4, 6).Value = max4
    Range("E4").Select
    '
    Range("E1").Select
End Sub
Sub choice(ByVal kosuu As Integer, ByVal x As Integer, ByVal y As Integer)
    Range(Cells(x, y).Address(False, False)).Select
    With Selection.Interior
        .ColorIndex = 5
        .Pattern = xlSolid
    End With
    Cells(x, y).Value = 1
    Sheets("Sheet2").Cells(1, 1).Value = Sheets("Sheet2").Cells(1, 1).Value + waku(x, y)
    Sheets("Sheet2").Cells(kosuu, 2).Value = kosuu
    Sheets("Sheet2").Cells(kosuu, 3).Value = Sheets("Sheet2").Cells(1, 1).Value
End Sub
Private Function waku(ByVal x As Integer, ByVal y As Integer) As Integer
    Dim mawari As Integer
    Dim j1 As Integer
    Dim j2 As Integer
    mawari = 0
    mawari = mawari + Cells(x, y + 1).Value
    mawari = mawari + Cells(x - 1, y).Value
    mawari = mawari + Cells(x, y - 1).Value
    mawari = mawari + Cells(x + 1, y).Value
    Select Case mawari
      Case 0
        waku = 4
      Case 1
        waku = 2
      Case 2
        waku = 0
      Case 3
        waku = -2
      Case Else
        waku = -4
    End Select
End Function

たくさんの解答をどうもありがとうございました。図を添えてくださる方も多く、感謝いたします。
こういった問題は、Banyanyanさんのおっしゃる通り、簡単なところで実際にやってみて規則性を探すといいですよね。この問題の規則性はなかなかおもしろいと思います。正方形ｎ^２だけではなく、長方形ｎ(ｎ＋１)で状況が変わります。この状況を数学的に表現するために皆さんいろいろ工夫されていらっしゃいます。いつもながら、皆さんの解答を拝見して大変勉強になります。ありがとうございます。

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