Weekend Mathematics／問題／問題79

７９．サイコロの問題

(1)サイコロを１回または２回ふり、最後に出た目の数を得点とするゲームを考える。 １回ふって出た目を見た上で、２回目をふるか否かを決めるのであるが、 どのように決めるのが有利であるか。

(2)上と同様のゲームで、３回ふることも許されるとしたら、２回目、３回目をふるか否かの決定は、 どのようにするのが有利か。

解答・その1

（ペンネ−ム：リナライ）

解答1:サイコロ1回振った時の得点の期待値を求めると

1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6＝21/6＝7/2＝3.5

となります
なので、期待値以上、つまり4以上出たら、そこでストップするのが賢いやり方だと思います

解答・その2

（ペンネ−ム：kiyo）

(1)　　４以上ならやめる。
(2)　　２回目の判断　５以上ならやめる。
　　３回目の判断　４以上ならやめる。

解答・その3

（ペンネ−ム：teki）

答え

（１）　１回目の目が３以下なら２回目を振り、４以上なら２回目を振らない。
（２）　１回目の目が４以下なら２回を振り、２回目で４以上が出れば３回目は振らない。

＜理由＞

（１）は比較的簡単です。
１回目で４以上が出た場合、それより大きい目（５、６）の出る確率は、1/3
一方、それより小さい目（１、２、３）の出る確率は、1/2となり、小さい目が出る確率の 方が大きくなるからです。

（２）は、ちょっと複雑です。
１回目に４が出た場合、次の２回の内、１回でも４以上が出る確率は、１-3/6*3/6＝3/4 ですので、この場合は次を振る方がより大きな目になる確率の方が大きくなります。
次に２回目ですが、これは、（１）と同様の考え方をすれば、２回目で３以下であれば、 ３回目を振る方が、確率は上がります。

解答・その4

（ペンネ−ム：杖のおじさん）

(1)２回目を振るかの判断は１回目の出た目の数が期待値より大きい時にはやめる、期待値未満の時は２回目を振ることになります。
１回目に出る確率は次の通りとなります。

期待値は、

サイコロの目	１	２	３	４	５	６
確率	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6
期待値	1/6	2/6	3/6	4/6	5/6	6/6
合計期待値	3.5

期待値=1×(1/6)+2×(1/6)+3×(1/6)+4×(1/6)+5×(1/6)+6×(1/6)=3.5

従って、１回目４，５，６のときは期待値より大きいのでやめる。
１，２，３のときは期待値より小さいのでもう１回振る。
そして１または２がでたら残念でしたということになります。

(2)３回目まで振ることができる場合、３回目に出る目の確率は、

サイコロの目	１	２	３	４	５	６
確率	1/12	1/12	1/12	1/4	1/4	1/4
期待値	1/12	2/12	3/12	4/4	5/4	6/4
合計期待値	4.25

期待値=1×(1/12)+2×(1/12)+3×(1/12)+4×(1/4)+5×(1/4)+6×(1/4)=4.25

従って１回目５，６のときは期待値より大きいのでやめる。
１，２，３，４のときは期待値より小さいので２回目を振ります。
２回目に４，５，６のときはそこでやめる。
１，２，３のときは３回目を振ります。
１または２が出たら、残念でしたということになります。

因みに、３回目に出る目の確率は次のとおりです。

　　１〜３までは、　(1/6)×(1/6)×3=1/12
　　４〜６までは、　(1/2)×(1/6)×3=1/4　となります。

解答・その5

（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん）

サイコロの目はどれも同じように出るとします。
サイコロをふってｋの目が出たとします。（ｋは１から６の整数）このあとｎ回サイコロをふって１回でもｋよりも大きな目が出る確率ｐを考えます。これはｎ回続けてｋ以下の目が出る事象の余事象ですから、ｐ＝１−（ｋ／６）ⁿ　です。ｐの値を計算すると次の表のようになります。この表より４回以上サイコロをふれば１回は６の目が出ることが１／２以上の確率で起こることが分かります。

さて、何回でもサイコロをふってもよいのならば、当然６が出るまでふります。
あと１回だけしかふれないならば今サイコロの目が｛１，２，３｝ならばもう１回ふり、｛４，５，６｝ならふらないのがよいと思います。出る目の平均は、

（１＋２＋３＋４＋５＋６）／６　＝　３．５

だから、それより目が小さければ、もう１回ふると得することを期待できるからです。

難しいのはあと２回ふることを許されるときです。
今サイコロの目が｛４｝のとき、あと２回ふればそれより大きな目｛５，６｝が少なくとも１回出る確率は、２０／３６＝５／９＝0.5555・・・・　です。もしあと２回のうち１回目に｛（５），６｝が出ればよいのですが、そうでなかったとき、もう１回を一連の試行（あと２回ふること）の後半として思い切ってふるのか、あと１回だけふるとき出る目の平均値が３．５なので４より小さいと考えて自粛するのでしょうか。このあたりをどうするかはそのときの運とか流れによるのではないでしょうか。

解答
（１）１回目に｛１，２，３｝が出ればもう１回ふり、｛４，５，６｝が出れば止める。
（２）１回目に｛１，２，３，４｝が出ればもう１回ふる。
（「あと２回ふると｛５，６｝の出る確率が１／２より大きい」ことに期待して）
２回目は｛１，２，３｝が出ればもう１回ふる。（あと１回サイコロをふったときの平均値は３．５なので４以上が出ればふらない。１回目に「あと２回ふると・・・」と期待したことを修正する）

大勝ちを狙うより、負けないことでよしとする程度にしておく方が多くの勝負をするときには良いというのが実感です。

解答・その6

（ペンネ−ム：yokodon）

期待値で考えればいいですね。
ゲームの得点を確率変数と見て、これを X とし、X ＝ k となる確率を P(k) とし ます。

(1)この場合は、１回目までの得点 X の期待値 E(X) をさいころの出た目と比較す れば良いですね。
　　P(k) ＝ 1/6 (k ＝ 1, 2, ..., 6) ですから、E(X) ＝ 7/2
よって、さいころの目が 1〜3 の時には２回目に進み、4〜6 の時にはそこでやめ るのが最適ということになります。

(2)２回目に関しては、問（1）で考えたので、３回目のみ考察します。
問（1）から、１回目の数字が 1, 2, 3 の時には必ず２回目に進むと考えて、
　P(k) ＝ (3/6)・(1/6) ＝ 1/12　(k ＝ 1, 2, 3)
他方、X = 4, 5, 6 となるのは、１回目が 4〜6 の時と、１回目が 1〜3 で２回目 が 4〜6 のときの２つの場合があるので、その和事象を考え
　P(k) ＝ 1/6 ＋ (3/6)・(1/6) ＝ 1/4　(k ＝ 4, 5, 6)
となります。これを用いて得点の期待値を計算すると、E(X) ＝ 17/4 で
これより、２回目のさいころの目が 1〜4 の時には３回目に進み、5 又は 6 の時 にはそこでやめるのが最適と言うことになります。

解答・その7

（ペンネ−ム：巷の夢）

（１）サイコロを一回振った場合の得点期待値は(1+2+3+4+5+6)/6=3.5となる。
因って一回目が3以下なら二回目を振り、一回目が４以上なら二回目は振らない。

（２）上記の行動を行ったとすると、サイコロを振った二回目までの得点期待値は以下のような考え方から4.25となる。

一回目	二回目	得点
1	1	1
	2	2
	3	3
	4	4
	5	5
	6	6
2	1	1
	2	2
	3	3
	4	4
	5	5
	6	6
3	1	1
	2	2
	3	3
	4	4
	5	5
	6	6
4		4
5		5
6		6

例えば得点1の期待値は（1/6）×（1/6）×3＝1/12となる。得点2,3も全く同様である。
得点4については（1/6）+（1/6）×（1/6）×3＝3/12=1/4となる。得点5,6も全く同様である。
因って得点の期待値は (1+2+3)/12 +(4+5+6)/4=17/4=4.25
以上より、一回目が5以上なら二回目は振らない。一回目が4以下なら二回目を振り、二回目が3以下なら三回目を振る。二回目が4以上なら三回目を振らない。

解答・その8

（ペンネ−ム：SOU）

(1)
1〜6の目でだと、期待値は3.5なので、一回目が1〜3のとき は振るべき。4〜6の時は振らないべき。

(2)
(1)と同様、1〜3だったら振るべき。ただ、一回触れる回数 が増えているので、4〜6で振るべきポイントがないかどうか、 考える。

イ)
1回目に4の時、その後5または6になる確率を考える。
2回目で5または6が出る確率は
　1/3
2回目で4以下が出て、3回目で5または6が出る確率は
　2/3*1/3 = 2/9
以上のことから、
　1/3+2/9 = 5/9
となり、一回目が４の時は振るべき。
ロ)
1回目が5の時は、同様に考えると1/2を下回るので振るべきでない。
ハ)
2回目の振り方については、(1)と同様。

解答・その9

（ペンネ−ム：Y.M）

(1)
1回サイコロを振ったときの出た目の期待値は、

　　(1/6)*(1+2+3+4+5+6)=3.5　ですから、

一回目の目の値が1,2,3であった→もう一度振り直す
一回目の目の値が4,5,6であった→そのままでやめておく

(2)
2回目の目が1,2,3であったら3回目投げる
2回目の目が4,5,6であったら投げない
とする。

• 2回目の目が1,2,3のとき、3回目に1〜6の目が出る確率は(3/6)*(1/6)=3/36で、期待値は
  
  　　(3/36)*(1+2+3+4+5+6)=(3/6)*3.5
  
  
• 2回目の目が4,5,6のとき、3回目は投げないから、期待値は
  
  　　(1/6)*(4+5+6)=2.5
  
  

解答・その10

（ペンネ−ム：高橋　道広）

(1)　期待値を求めます。
(1+2+3+4+5+6)/6=7/2であるから　平均して3.5が出るので　１〜３までのときは もう一度振って　4,5,6のときは　振らない。

(2) ２回振った後での得点の期待値は1回振ったあとと状況が同じだから
その結果が１〜３までのときはもう一度振って　4,5,6のときは　振らない。
１回振った後でどうするかが　大問題です。
しかし　２回振った後の期待値を求めて比較するとよいのです。
もし２回目のさいころを振ったときに1〜３まででたら　得点の期待値は3.5
4,5,6のときは３回目を振らないので　得点は4,5,6
よって２回振ったときの得点の期待値は　(3.5×3+4+5+6)/6=4.25
よって１回目に1〜4までなら２回目を振る　5,6なら振らない
２回目を振ったときに1〜3なら３回目を振る　4〜6ならふらない。

うまく説明できていませんね。日本語は難しい…。
２回振った時の期待値を求めるのがみそですね(^.^)

出た目が１〜５までなら　もう一回振ったほうが有利になるのはこの試行を何回 以上くりかえすときなんでしょうか。

解答・その11

（ペンネ−ム：kirkland）

Ａ君	「直感ですが、(１)は、１回目が４以上だったらそこでストップ。（２）は、１回目が５以上だったらストップ、 ２回目が４以上だったらストップですね。」
先生	「正解だが、その根拠は？」
Ａ君	「だって、そもそも２分の１の割合で４以上の目が出ますよね。１〜３か４〜６の２通りなんだから。 （１）は２回振るんだったら、２回のうち１回ぐらいは４〜６の目が出そうじゃないですか。だから、１回目で３以下の場合は再チャレンジです。理屈の上では、２回目には４〜６の目が出るはずです。」
先生	「ほうほう」
Ａ君	「同じ理屈で、５以上の目は３分の１の割合で出るはずです。１〜２、３〜４、５〜６の３通りですから。３回に１回 の割合で５以上の目が出ますよね。だから、（２）で１回目は４以下は強気で再チャレンジです。理屈の上では残り の２回のち１回は５以上の目が出るはずですから。しかし、ちょっと小心者の僕は、ビビって２回目は４しか出なく ても妥協してしまうわけです。」
先生	「強気とか弱気とかはあまり関係ないだろ、数学の問題なんだから。（２）で２回目の判断は、あと２回まで振ること ができるということで（１）と同じじゃないか。」
Ａ君	「なるほど。こんな簡単な考え方でいいんですか？」
先生	「厳密にはちゃんと計算した方が、スッキリいくんだろうが。ところでカーニバルの問題は覚えてるかい？」
Ａ君	「もちろん。小島先生に怒られちゃって、もうけ損ねました。う〜ん、残念！」
先生	「全然反省してないな！また怒られるよ！」
Ａ君	「理論上の平均値を考えるんですね。と、話をそらしつつ」
先生	「そうそう。１回サイコロを振ったら平均してどれくらいの目が出る？」
Ａ君	「理屈の上では、６回振ったら１〜６の目が１回ずつ出るんだから、平均して（１＋２＋３＋４＋５＋６）÷６＝3.5 ですね。というわけで、（１）だと、２回目に平均して3.5の目が出るはずから、１回目が平均以下だと再チャレン ジなのですね。」
先生	「そのとおり。さて、（１）の戦略でいくと、平均してどれくらいの目が出るんだろう？」
Ａ君	「１回目でやめてしまう場合と、２回振る場合があって計算がややこしそうですね。」
先生	「まぁ、実験してみよう。」
Ａ君	「は〜い、振ってみま〜す！あっ、４ですね。もちろん、ここで終了ですね。」
先生	「本当に終了でいいのかなぁ〜、次に６が出るかもしれないよ〜。ファイナルアンサー？」
Ａ君	「ファイナルアンサーですよ！」
先生	「じゃあ仕方ないなぁ。４なんだね。最終結果は４にしておこう。ところで、２回目の目は気にならない？」
Ａ君	「う〜ん気になりますね。２回目も振ってみます。あっ、先に言っておきますけど、僕は４でストップしたので、２回 目に３以下が出ても４はキープですよ、絶対！試しに振ってみるだけなんですからね！」
先生	「ＯＫ、ＯＫ。まぁ、試しに振ってみなさい。」
Ａ君	「えいっと。ぎぇ〜〜！６が出た〜〜！」
先生	「なぁ、言った通りだろ！でも、君は４をキープしたので４だよ〜！ざまぁ〜！」
Ａ君	「こんな不幸な〜！とほほ……。んっ、分かりましたよ！１回目が４〜６だと勿論ストップなんですが、これをキープ しておいて２回目の目も確かめればいいんですよ！そうすれば、一喜一憂ありますが、いつも２回振ることになって 計算が楽そうです。う〜んと、表に整理すると下のようになります。」

　　

先生	「よくぞ気付いたね！」
Ａ君	「え〜と、合計36通りの目の出方があって、１になるのは３通り、２になるのも３通り……。平均すると、4.25です ね。」
先生	「その通り。これで、（２）もできただろ。」
Ａ君	「はい。３回まで振ることのできる場合、２回目と３回目の２回を（１）のような戦略でいくと平均して4.25の目を 出せるから、１回目は４以下だと再チャレンジなのですね。」
先生	「はい、じゃあ今月はここまで。さようなら〜」
Ａ君	「ところで、先生。４回まで振ってもいい場合とか、５回まで振っていい場合とかはどうなるんですかね？」
先生	「君もしつこいねぇ。計算が面倒なので、辞めだ辞めだ。誰かが計算してくれるよ、きっと。結論だけ言っておくと、 ４回も５回もそんなに変わらないよ。６回まで振っていい場合で初めて、１回目が５以下で再チャレンジだ。 では、本当にさようなら〜〜。」

解答・その12

（ペンネ−ム：Toru）

数学の問題ですから、やはり期待値で考えるのでしょう。

１） さいころを１回ふった時、でる目の数の期待値A(1)とすると、 A(1)=(1+2+3+4+5+6)/6=7/2 よって、１回あるいは２回ふるという場合は１回目の目 の数が7/2より小さければ２回目へ行く、7/2より大きければ終わりという戦略が有利 と考えられる。すなわち、１回目１、２、３ならもう一度ふる。４、５、６なら終わ りにする。

２） １）のような戦略で１回あるいは２回さいころをふる時の得点の期待値をA(2) とすると、A(2)=(4+5+6)/6+1/2xA(1)=51/12=4.25 つまり３回ふることを許される場 合は、１回目にこれより小さな目がでれば２回目以降へ進み、大きな数字が出ればそ こで終わりとするのがよい。２回目から３回目へ行くかどうかは1)と同じ。すなわち、 １回目５、６なら終わり。１、２、３、４なら２回目をふり、２回目が４、５、６な らそこで終わり。１、２、３ならさらに３回目をふる。

３） おまけ　2)の方法で1or2or3回ふった時の得点の期待値A(3)とすると
　　A(3)=(5+6)/6+2/3xA(2)=14/3<5同様にA(4)=(5+6)/6+2/3xA(3)=89/18<5,
　　A(5)=(5+6)/6+2/3 x A(4)=277/54>5
と５回ふるのを許されると初めて期待値が５を超えるから６回以上ふってよい場合は、６以外ではもう一度ふるのがよいと考えられる。６が最高点でこれ以上はない。

解答・その13

（ペンネ−ム：aa）

（1）サイコロを１回振って出る目の期待値は、(1+2+3+4+5+6)/6=3.5。
よって、１回目が１〜３のときは、２回目を振ったほうが期待値が上がる。
１回目が４〜６のときは、２回目を振らない。
このときの期待値は、(3.5+3.5+3.5+4+5+6)/6=4.25となる。

（2）（1）より、サイコロを２回振るときの期待値は、4.25であるから、
１回目が5,6のときは、２回目を振らない。
１回目が1〜４のときは、２回目を振る。３回目を振るか否かは、（1）と同じ。
このときの期待値は、(4.25+4.25+4.25+4.25+5+6)/6=4.666...

Excel使って期待値計算してみました。

振る回数	期待値
１回	3.500000000000000
２回	4.250000000000000
３回	4.666666666666670
４回	4.944444444444440
５回	5.129629629629630
６回	5.274691358024690
７回	5.395576131687240
８回	5.496313443072700
９回	5.580261202560590
10回	5.650217668800490
20回	5.943508200715050
30回	5.990876259027990
40回	5.998526464896180
50回	5.999762015854150
60回	5.999961564231800
70回	5.999993792408850
80回	5.999998997439370
90回	5.999999838080860
100回	5.999999973849160
110回	5.999999995776490
120回	5.999999999317880
130回	5.999999999889830
140回	5.999999999982210
150回	5.999999999997130
160回	5.999999999999540
170回	5.999999999999920
180回	5.999999999999990
184回	5.999999999999990
185回	6.000000000000000

185回目で計算精度から期待値が6.0になりました。
感覚的には、10回も振れば１回くらいは６が出そうですが、期待値としては、 5.65程度なんですね。

今回の問題はちょっとむずかしかったでしょうか？
数学的には、期待値を計算して出た目の数とそれとを比較して次のとるべき行動を決定すればいいということになります。まあ、人生はこう計算通りにはいきませんけれどね・・・。

高橋　道広さんの問いかけに、Toruさん、aaさんが答えてくださいました。Ａ君、わかったかな？
サイコロを最大６回まで振っていいとすると、 １回目に５がでても、それでやめないほうがいいということになります。 ６回に１回くらいは６がでると考えるとまあ妥当な線でしょうね。

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