Weekend Mathematics問題/問題80



80.高校野球の問題

高校野球の季節になりました。今年も地方大会を勝ち抜いた49校が全国大会に出場します。 ご存知の通り、トーナメント方式で優勝チームを決めていきます。そこで問題です。

(1)試合数はいくつですか?
(2)1回戦から出場したとして、何試合勝てば優勝できますか?
(3)高校野球のトーナメントの組み方は、何チームかを1回戦免除とし、2回戦以降は、半分、半分となって 決勝戦に至ります(1回戦調整方式と呼びましょう)。この場合、1回戦を免除される(不戦勝となる)チームは何チームになりますか?
(4)最初から2チームずつ対戦させ、半端がでたときだけ1チーム不戦勝という組み方(途中調整方式と呼びましょう)をすると、試合を免除される(不戦勝となる)チームはのべ何チームになりますか?

激戦区神奈川大会では、今年198校が出場し、甲子園への切符を争いました。 同じように神奈川大会の場合も考えてみてください。









答えと解説





答えと解説

解答・その1

(ペンネ−ム:やなせ)

1)ですが1試合で1チームが消えます。49チーム参加で優勝するのは1チームで すから

  49−1=48で答えは48試合

2)一回勝ってベスト32、二回勝ってベスト16この調子で8。4.2,1ですか ら少なくても6回勝てば優勝ですね

3)トーナメント方式の場合、きっちり行くなら2.4.8.16.32.64チー ム参加ですね
ところが49チームなのでこれを32チームまでに絞らなくてはなりませんから 49−32=17で17試合一回戦を行わなければなりませんので、 試合数の倍のチームが一回戦を行わなくてはなりません。 つまり34チームが一回戦に参加残りの15チームは免除ですね。 答えは15チームです。

4)一回戦は49÷2=24・・・1
  二回戦は(24+1)÷2=12・・・1
  三回戦は(12+1)÷2=6・・・1
  四回戦は(6+1)÷2=3・・・・1
  五回戦は(3+1)÷2=2・・・・0(笑)   決勝戦は2÷2=1・・・・・0(爆笑)

この結果、のべチーム数ですので各式の余りを合計した物が答えですね 4チームじゃないかな



解答・その2

(ペンネ−ム:巷の夢)

(1) 1試合やると必ず1チームが消えていきます。因って優勝者からみれば自分以外の48チームが消えてくれれば良いので、49−1=48試合

(2) 決勝の方から溯り、残りのチーム数を考えると、

決勝準決勝準々決勝ベスト16ベスト32
2チーム4チーム8チーム16チーム32チーム

出場チーム数は49なので32になる前に不戦勝調整をしていると分かる。即ち一回戦から出場するチームは上記表に更に一回戦いが加わるので6試合となる。

(3)今、一回戦から出場するチーム数をX、不戦勝チーム数をYとすると、

   X+Y=49、(X/2)+Y=32

の連立方程式が成立する。これよりX=34、Y=15
即ち、求める不戦勝チーム数は15である。

(4)以下の様に表解してみると、 

試合参加チーム実戦チーム不戦勝チーム勝利チーム
一回戦494825
二回戦252413
三回戦1312
準々決勝
準決勝
決勝

これより求めるものは4チームとなる。
これですと(1/49)×(1/25)×(1/13)×(1/7)という現実には起こらない確率で、くじ運が良ければ一回も戦わずに準決勝まで勝ち上がれるのですね。この様な方式を取らない理由が分かりました。非常に勉強になりました。

【おまけの問題】
神奈川大会も上記と全く同様にして

(1) 197
(2) 8
(3) 58
(4) 4   出場チーム数に関係なく4回?計算してみます。
私も神奈川県に住んでおりますので198校の頂点である横浜商大付属高校には頑張ってもらいたいし、エールを送ります。




解答・その3

(ペンネ−ム:桂おとこ)

トーナメント(すなわち勝ち抜き)方式だと、引き分けがないから試合があれば必ず其の試合での負けチームがある、すなわち試合には負けたチームが1対1に対応している。それで敗退するチーム数は、出場全校の中から優勝校を除いたチーム数となる。すなわち 出場チーム数をNとすれば、N−1が優勝チームが決定するまでの総試合数です。
ところで、出場チーム数が2の累乗の場合だと 2チームを一列に並べて端から2つずつ組を作っていく次に其の勝ち残ったチームを また端から順に2つずつ組を作っていく、これを繰り返していくと最後に1チームが勝ち残って優勝するまで一度も 不戦勝を作らんですむ。
出場チームが2の累乗でない場合には不戦勝を作ることになるが、第2回戦以降に不戦勝が出ないようにするには 第1回戦で勝ち残るチーム数を2の累乗にする必要があるわけで、そこで出場チーム数 N に対して

  N>2

である最大の2を選ぶと

    N−2=P

でPが第1回戦試合数で、2ーPが 第1回戦の不戦勝チーム数となる。
で、第2回戦出場チーム数は、P+2ーPから2 であり、 この後試合数は 半分、半分に減っていくから
  第2回戦試合数は  2n−1
  第3回戦試合数は  2n−2
  ・・・・・・・・・・ 
でもって 総試合数 S は
 
=P+2n−1+2n−2+・ ・ ・+2+1
=N−2+2n−1+2n−2+・・・・・+2+1
    但し n=0,1,2,3、・・・・
そこで T=2n−1+2n−2+・・・・・・+2+1 とおいて
両辺に 2を掛けて  辺々引くと T=2TーT=2−1 となるから
 
=N−2+(2−1)
=N−1   となるわけです。

そこで49校が出場するトーナメントの総試合数は  49−1=48 で   48試合
49>2を満たす最大のnは 5だから
49−2=17
−17=15となって
17が第1回戦試合数、15が第1回戦不戦勝チーム数
次に  S=17+2+2+2+2+2 から
  第1回戦 17試合
  第2回戦 16試合
  第3回戦  8試合
  第4回戦  4試合
  第5回戦  2試合
  第6回戦  1試合
となって第6回戦が決勝戦になるから、6回勝てば優勝です

次に途中調整方式を考える
49校で各回戦ごとに  2つずつ組を作っていくと  試合数は、
  第1回戦は  49÷2=24   余り1が不戦勝
  第2回戦は  25÷2=12   余り1が不戦勝
  第3回戦は  13÷2=6    余り1が不戦勝
  第4回戦は  7÷2= 3    余り1が不戦勝
  第5回戦は  4÷2=2
  第6回戦は  2÷2=1
となって 不戦勝は合計4で  延べ4チームが免除されるわけです。

同様に 198校出場の神奈川大会を考えてみると
198−1=197
198>2       n=7で  2=128
198−128=70       128−70=58
S=70+2+2+2+2+2+2+2より 第8回戦まであるから、8回勝って優勝
そして 58が不戦勝チーム数ですな
次に途中調整方式では
  198÷2=99
  99÷2=49 +不戦勝 1
  50÷2=25
  25÷2=12 +不戦勝 1
  13÷2=6  +不戦勝 1
  7÷2 =3  +不戦勝 1
  4÷2=2
 2÷2= 1      となって不戦勝数は やっぱり 4
  



解答・その4

(ペンネ−ム:リナライ)

解答(1):これは、全部の試合数を言えば良いのですよね?
1試合終わる毎に1チーム敗退し、最終的には1チームが優勝するので、出場チーム数-1試合あります
49-1=48試合

神奈川:198-1=197

(2):一回戦終わる毎にチームが半分に減ります

よって、26>49>25なので、6試合勝てば優勝できます
神奈川:28>198>27なので、8試合勝てば優勝できます

(3):2nにすれば、そのあと半端なく試合が進むので (2)より49から25=32にするには17校が敗退しなければいけません
なので、34チームが参加すればいいわけですから49-34=15チームが一回戦不戦勝になります

神奈川:(2)より198から27=128にするには70チームが敗退しなければいけません
なので、140チームが参加すれば良いわけですから198-140=58チームが一回戦不戦勝になります

(4):方法より2で割りつづけて奇数になった時に-1して最終的に1にすればいい
この場合、-1した場合は割った後に+1しなければなりません
不戦勝は、一チーム一回までとした時、-1した回数=不戦勝になったチーム数となります
49⇒25⇒13⇒7⇒4→2→1(⇒の時-1したとする)
4回半端が出たので、4チームが不戦勝となりました

神奈川:198→99⇒45⇒23⇒12→6→3⇒2→1
4回半端が出たので、4チームが不戦勝となりました




解答・その5

(ペンネ−ム:夜ふかしのつらいおじさん)

49校の場合

(1)48試合です。

トーナメント方式の場合、最後まで負けないチームが1つ残ります。試合数は 他のチームが1回ずつ負ける回数となります。つまり参加チーム数から1を引い た数です。

(2)6試合です。
決勝戦から1回戦にさかのぼっていくと、チーム数が倍々に増えます。チーム 数は、初項1、公比2の等比数列になるので{1,2,4,8,16,32,6 4,128,256,・・・}となります。優勝に必要な勝利数は、項の間のカ ンマ”,”を数えていき初めて参加チームを越えるときです。

(3)15チームです。
1回戦調整方式で1回戦を免除されるチームは、(2)の等比数列でチーム数 を越える最小の項から参加チーム数を引いた値です。つまり64−49=15で す。残りの49−15=34チームは1回戦を戦って半数の34÷2=17チー ムとなります。1回戦免除の15チームと1回戦を勝ち上がった15+17=3 2チームで2回戦を行います。

(4)4チームです。
参加チーム数を2で割っていくとき余りが出た回数が試合を免除される回数で す。商と余りを加えてこの計算を繰り返していき最後に商が1になるまでに余り が何回出たかを数えます。
 1回戦:49÷2=24・・・1  2回戦:25÷2=12・・・1
 3回戦:13÷2= 6・・・1  4回戦: 7÷2= 3・・・1
 5回戦: 4÷2= 2      6回戦: 2÷2= 1


198校の場合

(1)197試合です。
(2)8試合です。
(3)256−198=58チームです。
(4)4チームです。

 1回戦:198÷2=99  2回戦:99÷2=49・・・1
 3回戦: 50÷2=25  4回戦:25÷2=12・・・1
 5回戦以降は49校の場合と同じなので、あと2チーム増えることが分かりま す。




解答・その6

(ペンネ−ム:Y.M)

(1)

1試合するごとに1チーム負けていくわけであり、 最後に残った1チームが優勝するので、

   49-1=48

Ans.48試合

(2)



自分:赤とします。 勝ち進むのは、自分のチームです。
@→2チームのうち、1チーム勝ち上がる。
A→上に上がれるのは4チームのうち1チーム。
Bでは8チーム中1チーム。Cでは16チーム中1チーム。・・・とやっていけば、
Dでは32チーム中1チーム。(32<49)
Eでは64チーム中1チーム。(49<64)
即ち、5試合では優勝には不十分、6試合目まで勝ち続ければ良いということになります。

Ans.6試合

(3)



優勝の1チームから順に増やしていきます。
単純に2倍、2倍していって最大32チーム。
1回戦の2チームのうち1チームをシードさせて48チーム。
1チーム分をどこかに補い49チーム。
このとき1回戦免除のチームは、15チーム。

Ans.15チーム

(4)

32チームは完全に端数を出すことなく戦えるので、 残り17チームで考えてみました。



よってのべ4チーム

Ans.4チーム



解答・その7

(ペンネ−ム:柿本 浩)

<ケース1:甲子園49チームの場合>

1.
“トーナメント形式”の基本的な運用について考えてみると
「グスン(T_T)。うちの学校、試合してないのに脱落しちゃったよ。」
『おいおいそんなハズないだろ。試合で負けない限り脱落はないよ。』

「今日の試合は負けちゃったけど、また明日頑張ればいいよね。」
『おいおい何言ってんだよ。負けたらそこでおしまいじゃんか。』

つまりは
  “1試合行われる毎に1チームずつ脱落していく”
  “ある1チーム以外の全てのチームが脱落すると優勝チームが決まる”

と考えられるので
  総試合数=総チーム数−1 と見なせる。
甲子園でのバトルはもちろん48試合行われた時点で48チームが脱落し 最後に残った1チームが優勝となる事が分かる。

2.
これに関しては、試合数の調整方式、不戦勝の扱いによって 変わってくるかもしれませんので先に3番、4番を解いちゃいましょう。

3.
決勝に残るのは2チーム、準決勝に残るのはその2倍で4チーム 準々決勝に残るのは更にその2倍で8チーム・・・ と考えていくと、チーム数が2のn乗(nは自然数)であった場合 不戦勝による試合数の調整を行う必要がない事が分かる。
となると、最初にいるのが49チームだから 49以下で2のn乗となる最大の数字は・・・2=32である事が分かり 1試合目が終わった時点で32チーム残っていれば それ以降は不戦勝による調整の必要がない事が分かる。
ここで問1の解答の「試合数=減るチーム数」を思い出すと 1回戦で17試合行われれば、49−17=32で 2回戦にちょうど32チーム残る事が分かり 17試合行う → 17×2=34チームが試合を行う事が分かり 1回戦で不戦勝となるチーム数は49−34=15チームである事が分かる。

4.
現在残っているチーム数をもとに 次の試合数、不戦勝チーム数、試合結果の残りチーム数を考えると

【現在のチーム数が偶数であった場合】
次の試合数=現在のチーム数÷2
不戦勝チーム数=0
試合結果残りチーム数=現在のチーム数−次の試合数=現在のチーム数÷2

【現在のチーム数が奇数であった場合】
次の試合数=(現在のチーム数−1)÷2
不戦勝チーム数=1
試合結果残りチーム数=現在のチーム数−次の試合数
となる事が分かるので、49をこの規則に当てはめて計算すると
 試合数不戦勝数残りチーム数
1回戦2425
2回戦1213
3回戦
4回戦
5回戦
6回戦

の表が得られるため、第6試合が終わった時点で1チーム残り(優勝し) 第1〜第4試合で1チームずつ、のべ4チームが不戦勝扱いとなる事が分かる。

ここで問2に戻って考えて見ると、問3のルールで行った場合は
 試合数不戦勝数残りチーム数
1回戦171532
2回戦1616
3回戦
4回戦
5回戦
6回戦

この表が得られるため「1回戦から出場した」という条件では 6試合すべてに勝利した時点で優勝できる事が分かる。

しかし、問4のルールで試合を行った場合は
 試合数不戦勝数残りチーム数
1回戦2425
2回戦1213
3回戦
4回戦
5回戦
6回戦

となり、2回戦〜4回戦でも不戦勝のチームが1チームずつあるため 「1回戦から出場」したとしても、2〜4回戦で運良く不戦勝になれば 3試合に勝利しただけで優勝、といったケースも考えられるのである。 つまり解答は 3、4、5、6試合のいずれかとなる。

<ケース2:神奈川大会198チームの場合>

1.
これは甲子園のケースと同様に考えられ、197試合となる。

3.
198以下で2のn乗となる最小の値は 2=128 すなわち、1試合目が終わった時点で128チーム残っていれば良いので 198−128=70 で、1回戦で70試合が行われれば(=140チームが戦え ば)ちょうど2回戦では128チーム残るので 198−140=58 で58チームが1回戦で不戦勝となる。

4.
甲子園のケースと同様に考えると
 試合数不戦勝数残りチーム数
1回戦9999
2回戦4950
3回戦2525
4回戦1213
5回戦
6回戦
7回戦
8回戦

で、のべ4チームが不戦勝となる。

2.
1回戦調整方式の場合は
 試合数不戦勝数残りチーム数
1回戦7058128
2回戦6464
3回戦3232
4回戦1616
5回戦
6回戦
7回戦
8回戦

で、1回戦から出場したなら8試合勝てば優勝となる。

途中調整方式の場合は
 試合数不戦勝数残りチーム数
1回戦9999
2回戦4950
3回戦2525
4回戦1213
5回戦
6回戦
7回戦
8回戦

1回戦から出場しても、2・4・5・6回戦で不戦勝となれば 4試合勝つだけで優勝となるケースも考えられるため 解答は 4、5、6、7、8試合のいずれかとなる。




解答・その8

(ペンネ−ム:aa)

(1)(引き分け再試合がない場合)1試合行うと、1校が敗退します。
48校敗退すると、残った1校が優勝です。
で、答えは、引き分け再試合などがない場合は、48試合。

(2)
(I)回戦数を最小にする組み合わせ
これは、シード校を極力少なくすること。
最後の1校(優勝校)を決めるためには、2校による戦いが必要。
2校の戦いのためには、4校による試合が必要というように考えて、
参加できる校数は、1−2−4−8−16−32−64となるから、
6回試合勝てば優勝できる。

(II)回戦数を最大にする組み合わせ
シード校を最大にすると、

-----+
    +---+
-----+   +---+
---------+   +---+
-------------+   +---
-----------------+

のように、最初の1試合だけが1回戦となる。 このようなトーナメント表で1回戦から出場すると、48回勝たないと 優勝できない。 よって、求める試合数は、6〜48試合でしょうか?
(これは、A君を意識した回答です。(笑い))

(3)1回戦が終わった段階で32校が残っている状態にしたいから、 1回戦で49−32=17校を敗退させる必要がある。 17校敗退のためには、34校による試合が必要なので、1回戦免除は、 49−34=15校。

(4)実際に計算してみると、

n回戦全体のチーム数不戦勝勝ち残ったチーム数
4924
2512
13

よって、4チーム。



解答・その9

(ペンネ−ム:杖のおじさん)

高校野球49校の場合
 (1) 試合数は          49−1=48   48試合です
 (2) 1回戦から出て何試合勝てば優勝か        6勝です
 (3) 不戦勝は                    15チームです
 (4) 途中調整方式  不戦勝となるチーム数は  4チームです

神奈川大会198校の場合
 (1) 試合数は     198−1=197     197試合です
 (2) 1回戦から出て何試合勝てば優勝か       8勝です
 (3) 不戦勝は                   58チームです
 (4) 途中調整方式  不戦勝となるチーム数は  4試合です

今回もCASIO(カシオ) FX―870P  CASIO(カシオ) FX―890P のポッ ケトコンピューター(ポケコン)でプログラムを作り調べました。

プログラムは次の通りです

10 INPUT“トチュウチョウセイー1,トーナメントー2”;M
20 IF M=1 THEN 120
30 INPUT“チーム スウ”;A
40 FOR L=1 TO 10
50 IF 2^L=>A THEN 70
60 NEXT L
70 PRINT“シアイ スウ”;A-1
80 PRINT“フセンショウチームスウ”;2^L−A
90 PRINT”ユウショマデノ シアイスウ”;L
100 IF INKEY$=“” THEN 100
110 GOTO30
120 PRINT“トチュウチョウセイ”
130 D=0:C=0:B=0:INPUT“チーム スウ”;A
140 IF A=1 THEN PRINT“イレナオシテクダサイ”:GOTO 130
150 B=A
160 IF B=<1 THEN PRINT“ユウショウマデ”;D;“シアイーフセンショウチームスウ”;C
    :GOTO 130
170 PRINT B;
180 IF FRAC(B/2)>0 THEN B=INT(−(B/2)*(−1):
    C=C+1:D=D+1:GOTO 200
190 B=B/2:D=D+1
200 GOTO 160

このプログラムを実行します
トチュウチョウセイー1,トーナメントー2 と 聞いてきますので2と入力して EXE を押し実行します。
チーム スウ? と聞いてきますので 高校の場合なので 49 と入力します。
瞬時に答えが次のように出ます。
    シアイ スウ    48
    フセンショウチームスウ  15
    ユウショウマデ ノ シアイスウ  6

EXEを押すと チーム スウ? と聞いてきますので 神奈川大会の場合なので198 と入力します
瞬時に答えが次のように出ます。
    シアイ スウ    197
    フセンショウチームスウ  58
    ユウショウマデ ノ シアイスウ   8

次に最初から2チームを組むとどのようになるか調べます
トチュウチョウセイー1,トーナメントー2 と 聞いてきますので1と入力して EXE を押し実行します。

チーム スウ? と聞いてきますので 高校の場合なので 49 と入力します。 瞬時に答えが次のように出ます。
49 25 13 7 4 2   ユウショウマデ6シアイーフセンショウチーム スウ4 と表示されます

チーム スウ? と聞いてきますので 神奈川大会の場合なので 198 と入力 します。
瞬時に答えが次のように出ます。
199 99 50 25 13 7 4 2 ユウショウマデ8シアイーフセン ショウチームスウ4 と表示されます

プログラム中180行のFRACは小数点以下の値を返す関数です。
したがって      FRAC(B/2)と B/2−INT(B/2)は同じ値が出ま す
小数点以下があるか、どうかで奇数、偶数の判断をしています。
MOD関数はエクセルにありますが割り算の余りを出します。2で割るので余りがある ことは奇数と判断します。
エクセルのユーザーフォームでプログラムを作る場合はB/2−INT(B/2)を 使うのが良いでしょう。
INPUTはVal(TextBox1.Text)で入力しPRINTはLabel1.Caption で出力します(VisualBasicでは TextBox1.Text はText1.text となります)
このプログラムをCommandButton1のコードに記述し実行します
今は、NEC PCー8201(ハンドヘルドコンピュータ)も総動員して問題に取り組んで います。



解答・その10

(ペンネ−ム:teki)

(1) 48試合
(2) 6試合
(3) 15チーム
(4) 4チーム

<考え方>
(1)は超有名な問題で、1試合行う度に1チームが負けて消えるので、優勝チーム を除いて、必ず1つ負けることになります。 よって、試合数は、参加チーム数−1となります。

(2)は、49チームでトーナメントを行った場合、1回戦からの参加だと、2=64 なので6試合行うことになります。
一般的には、参加チーム数をNとすると、2n-1<N=<2となるnが試合数です。

(3)は、1回戦終了時に32チームが残るような組合せとなるので、64−49=15 チームが1回戦不戦勝となります。
(逆の考え方で言うと、1回戦を全て行うのに必要なチーム数は64ですので、架空 の1回戦を行った時の架空の1回戦参加チーム数とも言えます。)

(4)は、49チームで実施した場合、最初に1、次に1、・・・のように数えてもできますが 2進法表記にすれば、もっと簡単にわかります。
49を2進法表記にすると、110001 となりますが、1と1の間にある0の数+1 が答えですね。(但し、1が1つしかない場合は0チームと考えます。)

神奈川県大会では
試合数は、197試合
1回戦から参加すると、8試合戦うことになります。
また、1回戦調整方式の不戦勝チーム数は、58チーム、途中調整方式の不戦勝
チーム数は、4チームですね。



解答・その11

(ペンネ−ム:Toru)

(1) 例によって、引き分けはないものとすると、一試合ごとに負けた一つのチー ムが対応し、優勝校だけが負けないので

   49―1=48

48試合となります。

(2)(3)の方式とすると2=32、2=64ですから

   49→32→16→8→4→2→1

と計6回勝つ必要があることになります。

(3) 一回戦の勝者と免除者をあわせて32となるようにするわけですから免除さ れるチーム数をXとして

   X+(49―X)/2=32

を解いて、X=15、あるいは幻のチーム64―49=15チームを加えて64チームと考えて、みんな一回戦をやると考えれば、幻チームと対戦するチームが不戦勝となりますから15チーム

(4) 49=24x2+1(25チーム残る、不戦勝は1チーム)以下同様に

 25=12x2+1 13=6x2+1 7=3x2+1 4=2x2 2=1x2

ということから不戦勝のチームはのべ4チームということになります。また(3)と同様に 奇数になったら必ず負ける幻のチームを1チームたすと考えた方がよいかもしれませ ん。

(5) 神奈川県大会の場合も同様に
 (1)197試合(2)8回(3)58チーム(4)4チーム

(6) 途中調整方式は以前似た問題があったような気がしますが、結局1を加える か、2で割るということになって、2進法で書くと見通しがよくなるようです。例え ば49を二進法では

   49=110001=100000-1111

から幻のチームが4チーム必要。

   198=11000110=100000000-111010

でやはり4チーム。




解答・その12

(ペンネ−ム:小学名探偵)

(1)1試合毎に1チーム消えていくので、49−1=48試合です。

(2)2>49>2から6試合です。

(3)2-49=15チームです。

(4)49=24*2+1,25=12*2+1,13=6*2+1,7=3*2+1, 4=2*2,2=1*2から+1の数である4チームです。

問い(4)について、
問い(3)から2-49=15となり、この15を2進数で表わすと、 1111となります。この1の数は4であり、4チームが不戦勝チームの 合計です。
第1ラウンドで1チームが不戦勝となり、 第2ラウンドでも1チームが不戦勝になりますが、このチームは2チームの勝ち上がりチームなので 2チームを不戦勝の機会が与えられたチーム=不戦勝候補チームと呼ぶとその数は2です。同様にして、 第3ラウンド、第4ラウンドの不戦勝チーム数はそれぞれ4、8チームとなります。 つまり、トーナメント表に書いた場合、1+2+4+8チームは、5回勝てば優勝できます。 その意味で1回戦調整方式の不戦勝チームの数15と同じです。



解答・その13

(ペンネ−ム:高橋 道広)

(1)1試合ごとに1チームが敗退するので 48校が去るには48試合必要
神奈川大会は 197試合ですね。

(2)49より大きい最小の2nのやぐらを組むわけですから 32<49<64より 架空のチーム64-49=15チームを加え(架空のチームはかならず負けると 想定するのです) 15チームが2回戦から49-15=34チームが1回戦から 戦う事になります。64=26より 6試合します。
神奈川大会は 128<198<256なので 256=28から 8試合です

(3) (2)で書いたように架空のチームと戦うと想定した15チームが不戦勝となります
神奈川大会の場合は256-198=58より58チームが不戦勝です。

(4) 奇数の時は 架空の1チームを連れてきて対戦、偶数のときはそのまま 2チームづつ対戦するという風に考えるのですから 奇数のときは1を足して2で割り、偶数のときは2で割ることを繰り返します。

 49→25→13→7→4→2→1 となり

1より大きい奇数の個数は4つなので4試合が不戦勝となります。

別解
49(10進法)=110001(2進法)を1000...0(2進法)にするには  110001+1111=1000000なので4試合となります。 この方法について説明します。

<<1111の求め方について>>
すべての桁が1に成るには何を足すといいか考えます。 1110を足すことといいのですから(0の部分を1に 1の部分を0にする) +1して1111を得ます。

<<これで出る理由>>
1桁目が1回戦を表し ここでは奇数なので1チームを連れてき ます。するとはじめのチーム数は110010チームであるときを考えると いう事になります。
今度は2桁目が2回戦目でこのとき奇数チームになりますから1チーム 連れてくることになりチーム数は110100をかんがえることと同じ。 ...と同様に考えていくと、どの桁かが1となるとき、その桁に1を足す (1チーム連れてくる=不戦勝)ということになることがわかります。 それで1000...000の形になるといいことがわかります。この方法では 1111は 1回戦2回戦3回戦4回戦で架空のチームが必要(不戦勝)という こともわかります。

198校のときは
解1
198→99→50→25→13→7→4→2→1 より1より大きな奇数は4つなので4試合

解2
198(10進法)=11000110(2進法) 11000110+111010=10000000より 4試合と なります。
上と同様に、この111010の簡単な出し方は 11000110+111001=11111111という ようにすべて1と成るものを見つけ 111001+1=111010によって数を得ることで 出せます。
解3
上の解1と解2の方法を理解すると 次のように出す事ができることが わかります。
128<198<256より 256-198=58 58(10進法)=111010(2進法)より  4チームが不戦勝でそれは 2,4,5,6回戦目である。



正解者

teki 巷の夢 Toru
杖のおじさん やなせ aa
夜ふかしのつらいおじさん 桂おとこ 柿本 浩
高橋 道広 小学名探偵 リナライ
Y.M





まとめ

今年の夏の全国高校野球大会は、茨城県代表の常総学園の優勝で終わりました。 因みに常総学園の試合数は6試合でした。 神奈川県代表の横浜商大は残念ながら1回戦で負けてしまいました。残念! 
今回の問題は、キーワード、いやキーナンバーが「2」であることにお気づきでしょうか?
(4)については、チーム数と等しいかもしくは超える2の累乗(2)の中で最も小さい数からチーム数をひいた数、この問題の場合は、

   64−49=15

ですから15になります。これを2進数にした時に並ぶ1の個数が答えになります。
15というのは、Toruさんの解答にあるように幻のチーム数であり、この幻のチームと対戦するチームが不戦勝とを考えるとわかりやすいと思います。小学名探偵さんの解答も同様ですね。 高橋 道広さんの解答の中でも説明していただいていますので、参考になると思います。
トーナメント戦の組み方と2進法がつながるというのも、おもしろいですね!







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