Weekend Mathematics／問題／問題85



８５．２００４年の問題

１２×１６７の長方形を、できるだけ数が少ない正方形に分割してください。





問題の出典（改題）


パズルより面白い中学入試の算数
ピーター・フランクル著
講談社




答えと解説





答えと解説

解答・その1

（ペンネ−ム：Hiro）

答え　２０個




解答・その2

（ペンネ−ム：kiyo）

12*167=2004=(12*12)*13+(8*8)*1+(4*4)*2+(3*3)*4
13+1+2+4=20

20個。




解答・その3

（ペンネ−ム：巷の夢）

正方形
　　１２×１２→１３個
　　８×８→１個
　　４×４→２個
　　３×３→４個
　

因って全部で２０個の正方形に分割するのが最小個数となります。



解答・その4

（ペンネ−ム：匿名希望）

正方形の数が少ない方がいいのでまず、一辺が１２センチの正方形で縦に分割します。
　　　167÷12＝13あまり11　　次は、横に一辺１１センチの正方形で分割。
　　　12÷11＝1あまり1　　　　もう一度縦に一辺１センチの正方形で分割。
　　　11÷1＝11
と、すると小さい正方形がたくさんできてしまうので、一辺が１センチの正方形を作らない工夫を すれば良いと考えて、一辺１２センチの正方形で分割した後の縦１２センチ横１１センチの長方形を ３×３の正方形４個と８×８の正方形１個と４×４の正方形２個に分割します。
つまり、13+4+2+1で２０個・・・かなァ？



解答・その5

（ペンネ−ム：teki）

答え　１２×１２が１３枚、８×８が１枚、４×４が２枚、３×３が４枚　計２０枚

１２×１２をできるだけ多く切り取り、残った１２×１１を最小個数で分割 する方法を考えました。
１２×１１から、８×８を１個切り取り、残ったL字型の部分を４×４が２枚と３×３ が４枚に分割すれば、計７枚で分割できますね。



解答・その6

（ペンネ−ム：Ｎと〜）

　１２×１２の正方形・・・・・・・１３個
　　８×　８の正方形・・・・・・・　１個
　　４×　４の正方形・・・・・・・　２個
　　３×　３の正方形・・・・・・・　４個

の合計２０個が最小かなぁと思っています。
でも、証明もできていませんし、反例を見つけようと思っても見つけられ ません。みなさんの証明を楽しみにしています。 とりあえず送っておきますね。



解答・その7

（ペンネ−ム：小学名探偵）

答え　20個

最初に12＊12の正方形を切り取っていくのは同じですが、次に残った 11＊12の正方形の処理が違います。
@8＊8の正方形を切り取る（左上）
A4＊4の正方形を切り取れるだけ切り取る（@の下）
B残った部分を3＊3の正方形で埋める

すると答えは13+1+2+4の20個となります　　

解答・その8

（ペンネ−ム：杖のおじさん）

答え２０個です

最初は２５個と思いましたが、できるだけ数が少ない正方形に分割してください、 と問題が出ていますので手計算で やって見ました。その結果２０個だと判明しました。最後まで、見てください！

間違いのやり方
　　６１７／１２＝１３．９１６６…　　１３と余り　６１７−（１２＊１３）＝１１
　　１２／１１＝１．０９…　　　　　　　１と余り　　１２−（１１＊１）＝１
　　１１／１＝１１　　　　　　　　　　１１と余り　０
従って１３＋１＋１１＝２５個です

今回もCASIO(カシオ)　FX―８７０P　 CASIO(カシオ)　FX―８９０P　のポケットコ ンピューター（ポケコン）でプログラムを作ってみました。

プログラムは次の通りです。

１０　ＰＲＩＮＴ“セイホウケイ　ニ　ブンカツ　プログラム”
２０　ＩＮＰＵＴ“ヨコ”；Ａ
３０　ＩＮＰＵＴ“タテ”；Ｂ
４０　Ｔ＝０
５０　ＩＦ　Ａ＞Ｂ　ＴＨＥＮ　Ｃ＝Ａ：Ａ＝Ｂ：Ｂ＝Ｃ
６０　Ｙ＝Ｂ／Ａ：Ｚ＝ＩＮＴ　Ｙ：Ｂ＝Ｂ−Ａ＊Ｚ：Ｗ＝Ｙ−Ｚ
７０　Ｔ＝Ｔ＋Ｚ
８０　ＩＦ　Ｗ＞０　ＴＨＥＮ　５０
９０　ＢＥＥＰ：ＰＲＩＮＴ“セイホウケイ　ハ”；Ｕ；“コ　デス”
１００　ＧＯＴＯ　２０

プログラム解説
２０行、３０行でタテ、ヨコを入力します。 ５０行でタテ、ヨコを小さい順に並べ替えていますので２０行でどちらでも先に入力して良いのです。
Ｔは正方形の総合計をカウントする変数です。Ｚは正方形がいくつ出来るか計算しています。
Ｗは正方形を作ったときのあまった部分です。８０行で余った部分があると判断されると ５０行に飛んで余った部分でいくつ正方形が出来るか計算を行います。
９０行でＢＥＥＰ音を鳴らしＰＲＩＮＴ文で結果を出します。
プログラムの作り方いろいろありますので作って見ると面白いです。
このプログラムを実行すると
ヨコ？　と聞いてきますので１６７と入力します。
次にたて？と聞いてきますので１２と入力します。
ＥＸＥキーを押すと１秒後　セイホウケイハ　２５　コ　デス　と　　結果を出します。
タテ　、ヨコ　、適当に入力して見てください。
ヨコ１２３４５６７８９０、タテ１２３４５を入力して見ました。
同じく１秒後、１００４１８個と出ました。

間違いと気づいてやり直したもの

ちょっと待てよ！この答えでは問題の主旨であるできるだけ数が少ない正方形に分割してくださいとい う言葉が反映されていないな！それでは手計算でやってみよう！

最初の正方形は
１６７／１２で１３個出来る。
従って１２＊１３＝１５６　残り１１×１２に正方形が幾つ出来るか考えればいい
縦　３×３　の正方形　４個
右に８×８　の正方形　１個
下右側に４×４　の正方形　２個

合計　２０個です






解答・その9

（ペンネ−ム：やなせ）

まず最初に１２×１２の正方形を横に１３個作ります。
残りの１２×１１を８×８＝１個と４×４＝２個　３×３＝４個でしたかね。
つまり２０個でしたか？






解答・その10

（ペンネ−ム：寺脇　犬）

まずは　１２×１２の正方形を１３個とると　１２×１１の長方形が残ります。
次にその１２×１１の長方形を縦１２、横１１として一番大きい１１×１１の正方形から順番に 左の上の隅にとって残ったスペースから何個かの正方形を切り出していきました、そうすると 左上隅に８×８の正方形をとったときが　１２×１１を最小の７個で分割出来ました。
つまりはこうです、図がなくて分り難いとおもいますが　
左上隅に8×8が１個、其の下に４×４が２個、右隅には上から下へ　３×３が４個並びまして 計７個で最初の１３個と足して　２０個の正方形に分割出来ました。



解答・その11

（ペンネ−ム：Toru）

なるほど１２x１６７＝２００４というわけですね。

１２x１２を１３個、８x８を１個、４x４を２個、３x３を４個とすると計２０個でで きます。

これより少ない数でできるかどうか検討しなくてはいけませんが、まず、１２x１２ を使わないとすると、１９個以下ではできないので、少なくとも一つは使う。これを 端へもってきて切り離すと、１２x１５５を１８個以下でできるか検討ということに なりますが、ここでまた１２x１２を使わないとすると、と同じように考えていくと （２３x１１のあたりは、最初ほど簡単ではありませんが）結局、１２x１１が６個以 下でできるかということになるかと思います。この長方形の１２の辺の片側に正方形 を２つ並べる場合、３つ並べる場合というようにいろいろ検討しても、結局６つ以下 ではできそうもないので、２０個が最小のように思われます。



解答・その12

（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん）

答は、２０個です。
１２×１６７の長方形を、できるだけ数が少ない正方形に分割する場合、 まず一番大きな１辺１２の正方形をなるべく多く取ります。 １６７÷１２＝１３余り１１なので、初めに１３個取ります。
次に、残った１２×１１の長方形について考えます。 残りの長方形で取りうる正方形の１辺の長さで場合分けをして実際に書いてみます。 すると次のような結果になります。表の中の数は、正方形の個数です。

正方形の１辺111098 7654321正方形の個数正方形の面積計
図１1　　　　　　　　　1112132
図２　1　　　　　　　51218132
図３　　1　　　　　36　10132
図４　　　1　　　24　　7132
図５　　　　1　13　229132
図６　　　　　22　　228132


図４の場合が一番個数が少なくなり、１３＋７＝２０個です。




解答・その13

（ペンネ−ム：三角定規）

2004＝12×167 ＝12×(12×13＋11)
であるから，長方形の一端から12×12の正方形を13個とり，残りの12×11の部分を正方形に分割する。
右図の4つの場合を調べれば十分でしょう。結果は，＜図２＞ の7個が最小。
上の13個とあわせて　　［答］20 個





解答・その14

（ペンネ−ム：kirkland）

Ａ君「ふっか〜〜つ!!全国２億7000万人の皆さん、お待たせしました〜〜！」
先生「別に誰も待ってないぞ。しかも、日本の人口はそんなに多くないぞ。」
Ａ君「さぁて困ったことに、今月は問題文がシンプルすぎてボケようがありません。困った、困った。長くなりそうなので、 早速いきます。まずは12×12の正方形が13個できますね。残った12×11の長方形を分けるわけですが、ここで調 子に乗って11×11の正方形をつくってしまうと、11×１の長方形が残ってまたまた困っちゃうわけですよ。 これだと１×１の正方形を11個つくるしかないわけだから、個数が多くなってしまいます。人生あんまり欲張らず に、少し控えの方がよろしいようです。」
先生「別に人生を語るほどの問題では無いと思うが、12×11の長方形をどのように分けるかだね。」
Ａ君

「いろいろと実験してみたのですが、右図のようにすると７個に分けられます。 これが答えだと思うんですけど。あっ、それぞれの正方形の中にある数字は一辺の長さですよ。」

先生「えらく手抜きな展開だな。もう少し丁寧にやった方がいいんじゃないの？」
Ａ君「いや、今回はここからが長いんですよ。というのも、本当にこれより少なくならないんですか？ 分け方を工夫したり、一辺を分数にしたりすると、もっと少ない場合もあるかもしれませんよ。」
先生「う〜ん、それも一理あるねえ。では、６個以下に分けることのできる長方形の縦横の比を片っ端から調べてみよう。 まずは、２個の正方形に分けることのできる長方形の縦横の比は？」
Ａ君「これは簡単。１：２の長方形ですよね。２：１でも同じ事ですけど。」


先生「では、３つの正方形に分けることのできる長方形の場合は？」
Ａ君「下図のように１：３と２：３の長方形です。」


先生「４つは？」
Ａ君「またまた図を描きます。１：４と３：４と２：５と３：５ですね。」


先生「そろそろ規則性に気付いたかな？５つの場合は？」
Ａ君「４つの正方形でできた長方形の縦か横に正方形をさらに１つ付け加えればいいのだから……。ａ：ｂの長方形に正方 形を１つくっつけると、ａ：(ａ＋ｂ)とｂ：(ａ＋ｂ)の２種類の長方形ができます。例えば、１：４の長方形に正方 形を１つくっつけてできる１：５の長方形と４：５の長方形はともに５つの正方形に分割することができるはずで す。これなら、いちいち図を描かなくてもいいですね。」
先生「いいんじゃないの。」
Ａ君「というわけで、５つに分けられるのは１：５、４：５、３：７、４：７、２：７、５：７、３：８、５：８の ８パターンですね。」
先生「君もまだまだだねぇ。５＝４＋１だけか？５＝３＋２っていう場合もあるだろうに。」
Ａ君「あっそうか！３つに分割可能な長方形と２つにに分割可能な長方形をくっつけてもいいわけか。 すると、下図のような５：６と６：７の長方形も５つに分割できますね。」


先生「さて６つだ。」
Ａ君「６＝５＋１のパターンは簡単。まず、１：５から１：６、５：６がつくれます。おっと、５：６は５つでできるんだ った。４：９、５：９、３：10、７：10、４：11、７：11、２：９、７：９、５：12、７：12、３：11、８：11、 ５：13、８：13、５：11、６：11、６：13、７：13ですね。６＝４＋２のパターンは図を描けば分かりやすいんだ けど面倒なので、９：10と10：11。６＝３＋３のパターンはダメ。こんなもんでどうでしょう？といっても、こん な数字の羅列ばかりじゃぁ、誰もちゃんと読まない気がしますが。」
先生「ふふふっ、少々インチキ臭いが、下図のようにすると11：13も６つでＯＫなんだよ。」


Ａ君「………。まあ、いずれにせよ11：12の長方形は６個以下の正方形には分割できないということですね。と言うわけで、初めの予想通り20個が最少ですね。」
先生「正方形を１つずつ加えていくパターンは東工大の問題にあるんだけど、あれなら小学生でも解けると思うよ。」
Ａ君「トーコー大？投降大って捕虜ばっかり？はたまた、頭光大ってハゲばっかり？」
先生「やめなさいって。苦情がくるよ！」
Ａ君「では、こんな感じで投稿！」




正解者

kiyo teki 杖のおじさん
三角定規 巷の夢 Hiro
Toru 夜ふかしのつらいおじさん 寺脇　犬
やなせ kirkland 匿名希望
Ｎと〜 小学名探偵





まとめ

2004年の年がスタートしたかと思ったら、あっという間にもう１ヶ月が過ぎてしまいました。
今月の問題は、１２×１６７の長方形をいかに少ない正方形で分割できるかという問題です。 もちろん正方形の１辺の長さはすべて同じである必要はありません。 パズルのような問題ですね。 答えは「２０個」ですが、厳密にいえば、 これが最小であるということの検証（証明）が必要になります。 可能性は高々有限個ですから、 もれのないように検証していけばいいと思います。 何人かの方が実際に検証していただいています。
ほとんどの方が、最後に残った１２×１１の長方形をどう分けるかというアプローチをしているのに対して、 A君のアプローチはちょっとユニークですね。正方形個数に注目をして、 １２：１１を実現できるか、と考えてくれました。





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