Weekend Mathematics／問題／問題94

９４．計算結果の問題

あるきまりに従って、式を作っていきます。

1+2=3,　4+5+6=7+8,　9+10+11+12=13+14+15,　･･･

上の各式の「計算結果」は、3,15,42,･･･です。
2004が含まれる式の「計算結果」を求めなさい。

解答・その1

（ペンネ−ム：ヘドニックCVM）

答え　８８１１０

解き方
1段階　１+２＝3　　項数の合計　３　（全部で３項からなる等式という意味）
２段階　４+５+６＝７+８　項数の合計　５　３+５＝８
３段階　９+１０+１１+１２＝１３+１４+１５　項数の合計　７　３+５+７＝１５

１，２，３，４・・・という数列なので，ある段階の最後の項は，その項までの式の 項数の合計となっている

項数の合計の数列は３，５，７，という３から始まる奇数になっているので

　　　　

となり，ｋ段階目における，それまで登場した項の総計となっている

これを用いると，
４３段階目で登場した項の総計１９３５
４４段階目で登場した項の総計２０２４
となり２００４が含まれる等式は44段階目であることが分かり，その形は

　　　　１９３６+・・・・+１９８０＝１９８１+・・・・+２０２４

左辺の項数４５　右辺の項数４４となる
ここで、　　を用いて（ここでは右辺）
２０２４（２０２４+１）/２ー１９８０（１９８０+１）/２＝８８１１０

解答・その2

（ペンネ−ム：ＦＩＶＥＩＬＡＮＤ）

答　88110

解き方
　1＋2＝3
　4＋5＋6＝7＋8
　9＋10＋11＋12＝13＋１４＋15
したがってＮ番目の式は

Ｎ×Ｎ＋……＋（Ｎ×Ｎ＋Ｎ）＝（Ｎ×Ｎ＋Ｎ＋1）＋……＋（Ｎ×Ｎ＋Ｎ＋１＋Ｎ-１）

　　　　　Ｎ＋1個の式　　　　　　　　　　　　　　Ｎ個の式

ところで2004の平方根は44.76606……であるので上の式のＮに44代入すると

44×44＋……＋（44×44＋44)＝（44×44＋44＋1）＋……＋(44×44＋44＋1＋44−1）

　　　　　45個の式　　　　　　　　　　　　　　　　44個の式

左辺の和は

　　　　　45÷2×｛1936×2＋（45−1）｝＝88110

右辺の和は

　　　　　44÷2×｛1981×2＋（44−1）｝＝88110

解答・その3

（ペンネ−ム：Mr.X）

n²＜2004≦n²+2n より　n＝４４

式　44²+・・・・・・・・・・・・・+44²+44=44²+45+・・・・＋２００４＋・・・・・＋44²+88
　　=８８１１０
　　　　（44²=44×44=1936)

数式がきれいですね。

　

解答・その4

（ペンネ−ム：teki）

答え　８８１１０

面白い性質ですね。
１からの連続数を足し算すると、２個と１個、３個と２個・・・・ｎ個とｎ-１個の 合計が等しくなるんですね。今まで気がつきませんでした。 で、解法は、各式の最初の数に着目しました。
各式の最初の数は、ｎ²になります。（これも当たり前とはいえ、驚きですが）
で、 ４４²＝１９３６、４５²＝２０２５　ですので、 ２００４の含まれる式の最初の数は、 １９３６、その足し算の個数は、４４+１で４５個、 つまり、１９３６〜１９８０までの足し算となります。

解答・その5

（ペンネ−ム：三角定規）

　1＋2＝3　　　を第1式
4＋5＋6＝7＋8　を第2式
　　　……………………
と呼ぶことにする。

数2004が第n式に含まれるとすると，この式の先頭の項がn² ，項数がn＋1だから

　　

　　

　　

式の値 f (n) は，

　　

　　

解答・その6

（ペンネ−ム：ＳＯＵ）

1+2=3　を一番目、
4+5+6=7+8　を二番目、
・・・・
のように名前をつけていく。

このとき、各等式の左辺第1項目は自然数の２乗になっている。 　そこで、2000が何番目にはいっているのかを大まかに調べると、

　n²　＜　2000　＜　(n+1)²

　⇔　n　＜　20√5　＜　n+1

　⇔　n　＜　約44.6　＜　n+1

　⇔　n　＝　44

となる。44²は1936で、44番目の等式は次のように書ける。

1936+19379+・・・＋1980=1981+・・・＋2024

2004は44番目の右辺に含まれることがわかった。 44番目の左辺の項数は45なので、左辺の合計は次のように書ける。 45/2*(1936+1980)=88110 これが求める答え。

解答・その7

（ペンネ−ム：kiyo）

規則
　　１） 左辺の初項をn、項数をm
　　２） 右辺の初項をn+m、項数をm-1

１）、２）から　
m=1+sqrt(n)

n=k²とすると、m=k+1　となる。

A(k)=k*(k+1)*(2*k+1)/2

k=44, n=1936,m=45,A(44)=88110
1936+・・・・・・+1980=1981+・・・・・+2004+・・・+2024

答え　88110。

解答・その8

（ペンネ−ム：スモークマン）

　　n² + (n² +1) + (n² + 2) + ．．． + (n² + n) = (n² + n + 1) + (n² + n + 2) + ．．． + (n² + n + n)

となっている。

左辺＝n²*(n+1)+n(n+1)/2=n³+3n²/2+n/2
右辺＝n²*n+n²+n(n+1)/2=n³+3n²/2+n/2　より明らか。

44²<2004<45² なので、n=44 のときとわかる。 計算結果＝44³+3*44²/2+44/2=88110

解答・その9

（ペンネ−ム：午年のうりぼう）

解答・その10

（ペンネ−ム：aa）

　1+2=3
　4+5+6=7+8
　9+10+11+12=13+14+15
ですからもうちょっと続けてみると、
　16+17+18+19+20=21+22+23+24
　25+26+27+28+29+30=31+32+33+34+35

どうも、左辺、右辺とも１項づつ増えていきそうです。
で、左辺は、
　始まりの数字は、n²
　個数は、n+1
　終わりの数字は、n*(n+1)
同様に右辺は、
　始まりの数字は、n*(n+1)+1
　個数は、n
　終わりの数字は、(n+1)²-1

左辺の合計は、(n+1)*(n²+n*(n+1))/2=n*(2n²+3n+1)/2
右辺の合計は、n*(n*(n+1)+1+(n+1)²-1)/2=n*(2n²+3n+1)/2
で等しくなる

44²=1936
45²=2025
だから、n=44のときの数式に含まれる。
よって計算結果は、n=44をn*(2n²+3n+1)/2に代入して、88110

解答・その11

（ペンネ−ム：杖のおじさん）

式の始めを見ると

　　１，４，９，１６，２５、・　・　・　となっており

これは

　　１^２，２^２，　３^２，　４^２　，５^２　・　・　・　N^２　

の数列です。 N番目の式の始めの数字はN^２で、その式の項数はN+1項です。 従って２００４が含まれる式は次のように求めます。

　　２００４^０．５＝４４．５６７４３・・・

従って４４番目の式で、 最初の数字は　４４^２＝１９６３で、

　　１９３６＋１９３７＋１９３８＋・　・　・＋１９８０＝１９８１＋１９８２＋・　・＋２０２４

左の数列は初項１９３６で項数４５です。右の数列は初項１９８１で項数４４です。
左の式の計算結果は次の計算式で計算する。

　　４５＊（１９３６＋（１９３６＋４４））／２＝８８１１０

右の式の計算結果は次の計算式で計算する。

　　４４＊（１９８１＋（１９８１＋４３））／２＝８８１１０

ＣＡＳＩＯ　FX−８７０P　と　FX−８９０P　で次のようにBASICプロラムを作成し計算しました。

１０　PRINT“ケイサン　ケッカノ　モンダイ”
２０　INPUT“フクマレル　スウジハ”；Ａ
３０　Ｂ＝INT　ＳＱＲ　Ａ
４０　PRINT　Ｂ；“バンメ　ノ　シキ”；
５０　Ｃ＝（（Ｂ＋１）＊（２＊Ｂ＾２＋Ｂ））／２
６０　PRINT“ケイサンケッカ　ハ”；Ｃ；“デス”
７０　A=０
８０　GOTO　２０

実行すると画面には

　　ケイサン　ケッカノ　モンダイ　フクマレル　スウジハ？　

と表示されますので　２００４と入力　EXEキーを押すと

　　４４バンメ　ノ　シキ　ケイサンケッカ　ハ　８８１１０デス　

と表示されます。いろいろ数字を入れてみてください！

２０行目でAの前に；にすると、？　が表示されるのです。 ３０行目のSQR　Ａ　を　A^0.5 又は　A^(1/2)　としても同じです。 ７０行目でA=０としているのは間違って入力しないでEXEキーを 押したとき、０と表示させるためです。 いろいろ式を作って見てください。

エクセルのユーザーフォームでも作りました。次のフォームです。

このフォームの作り方は私のホームぺージで解説いたします。

答え　計算結果は　８８１１０　です。

解答・その12

（ペンネ−ム： 浜田　明巳）

　それぞれの等式の左辺をｎからｎ＋ｋ−１までの項数ｋの和の式とすると，右辺はｎ＋ｋからｎ＋２ｋ−２の項数ｋ−１の和の式となる．
　　∴ｋ{ｎ＋(ｎ＋ｋ−１)}／２＝(ｋ−１){(ｎ＋ｋ)＋(ｎ＋２ｋ−２)}／２
　　∴ｋ(２ｎ＋ｋ−１)＝(ｋ−１)(２ｎ＋３ｋ−２)
　　∴２ｋｎ＋ｋ^２−ｋ＝２ｋｎ−２ｎ＋３ｋ^２−３ｋ−２ｋ＋２
　　∴ｎ＝ｋ^２−２ｋ＋１＝(ｋ−１)^２………(1)

　条件から，ｎ≦２００４≦ｎ＋２ｋ−２
　(1)を代入すると，(ｋ−１)^２≦２００４≦(ｋ−１)^２＋２ｋ−２
　　∴(ｋ−１)^２≦２００４………(2)　　　ｋ^２≧２００５………(3)
　(2)において，ｋ−１≧０から，ｋ−１≦２００４^１／２………(2)'
　４４^２＝１９３６＜２００４＜４５^２＝２０２５から，４４＜２００４^１／２＜４５
　(2)'とｋ−１は整数である事から，ｋ−１≦４４
　　∴ｋ≦４５………(2)''
　同様にして，４４＜２００５^１／２＜４５
　(3)とｋは整数である事から，ｋ≧４５………(3)'
　(2)''と(3)'から，ｋ＝４５
　このとき，ｎ＝(ｋ−１)^２＝１９３６
　故に求める等式は，
　　１９３６＋………＋１９８０＝１９８１＋………＋２０２４
　この式の値は，
　　４５{２×１９３６＋４５−１)／２＝８８１１０………(答)

　エクセルのマクロでも解いてみました．

Option Explicit 'n+...+j1=(j1+1)+...+j2

Sub Macro1()

    Sheets("Sheet1").Select

    Cells(1, 1).Value = 0 '式の個数

    Dim n As Long

    Dim j1 As Long

    Dim j2 As Long

    Dim wa1 As Long

    Dim wa2 As Long

    n = 1

    While n <= 2004

      j1 = n + 1

      wa1 = n + j1

      j2 = j1 + 1

      wa2 = 0

      While wa1 > wa2

        wa2 = j2

        While wa1 > wa2

          j2 = j2 + 1

          wa2 = wa2 + j2

        Wend

        If wa1 = wa2 Then

          Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + 1

          Cells(Cells(1, 1).Value, 2).Value = shiki(n, j1) + "=" + shiki(j1 + 1, j2)

          Cells(Cells(1, 1).Value, 4).Value = wa1

          Range("D" & Cells(1, 1).Value).Select

          n = j2 + 1

        Else

          j1 = j1 + 1

          wa1 = wa1 + j1

          j2 = j1 + 1

          wa2 = 0

        End If

      Wend

    Wend

End Sub

Private Function shiki(ByVal m As Long, ByVal n As Long) As String

    Dim j As Integer

    shiki = strr(m)

    Select Case n - m

      Case 1

        shiki = shiki + "+" + strr(n)

      Case 2

        shiki = shiki + "+" + strr(m + 1) + "+" + strr(n)

      Case Is > 2

        shiki = shiki + "+...+" + strr(n)

    End Select

End Function

Private Function strr(ByVal n As Long) As String

    strr = Right(Str(n), Len(Str(n)) - 1)

End Function

解答・その13

（ペンネ−ム：ビームアンドロメダ）

各式の先頭の数は平方数になっています．
2004は平方数で挟み込むと，1936(44×44)＜2004＜2025(45×45)となりますので， 2004は先頭の数が1936となっている式に含まれていることがわかります．

この式の計算結果ですが，式に含まれる値をすべて足したものの半分になっていま す．よって，

　　　　{(2024-1936+1)/2 　×　 (1936+2024) } /2 = 88110

含まれる数でできるペア　1ペアの和
ということで，答えは88110です．

解答・その14

（ペンネ−ム：巷の夢）

１＋２＝３
４＋５＋６＝７＋８
９＋１０＋１１＋１２＝１３＋１４＋１５

これらの式より、ｎ番目の式を考えると、左辺の最初の数字はｎ^２であることは明らか、又加算される数字の個数はｎ＋１であることも明らかである。
同様にしてｎ番目の式を考えると、右辺の最後の数字は(ｎ＋１)^２−１、加算される数字の個数はｎである。 以上よりｎ番目の式の和を考えると、

　　　　ｎ^２＋(ｎ^２＋１)＋・・・・＝ｎ(ｎ＋１)(２ｎ＋１)／２

となる。そこで２００４が何番目の式に含まれるかを調べると、 ｎ^２≦２００４≦(ｎ＋１)^２よりｎ＝４４を得る。
この４４を先程の和に代入して８８１１０を得る。因って求めるものは８８１１０である。

解答・その15

（ペンネ−ム：小学名探偵）

答え：８８１１０

解説：
式の規則を見ていくと、
ｎ番目の式において、左辺の最初の項＝ｎ×ｎ
右辺の最後の項＝（ｎ+1）×（ｎ+1）-1
項の個数＝２×ｎ+1
です。

４４×４４（＝１９３６）＜２００４＜４５×４５−１（＝２０２４）、
２×４４+１＝８９
を使って、
（１９３６+２０２４）×８９÷２÷２＝８８１１０
が答えになります。

解答・その16

（ペンネ−ム：蜘蛛の巣城）

等式群をピラミッド型に表示します。

ｎ段目の等式が成立し、かつ一般性を有することは簡単に確認できます。 左辺の第１項の中から第2項以降の各項にｎを1つずつ放り込んでやれば、右辺が得られますから。 さて、ｎ段目の「計算結果」Ｓ_ｎ は以下のように求めることができます。

　　　　

「計算結果」を求めるべき段数は以下の不等式を解けば判るのですが、適当な整数ｎで実験するのが早いでしょう。

　　　　ｎ^２≦2004≦(ｎ＋１)^２

ｎ＝44です。ついでにいえば2004は右辺の左から24番目の位置にあります。

　　　　Ｓ₄₄＝88110

算数段階の子供達はどうするのでしょう。44×44と45×45の間に2004があることを発見し1936から2024まで89個の数を足すのでしょうか。ガウス少年の方法ですか。

　　　　４Ｓ=（1936＋2024）×89

解答・その17

（ペンネ−ム：高橋　道広）

自然数を次のように群に分けます。

　　（1,2,3),(4,5,6,7,8),(9,10,11,12,13,14,15)...

n群には2n+1個の数が入っています。 n-1群の最後の数は

　　3+5+7+...+{2(n-1)+1}=1+3+5+...+(2n-1)　-１=n²-1

よってn群は

　　n²　n²+1　　...(n+1)²-1の

2n+1個の数から構成されています。 これをn+1個と　ｎ個に分けると n+1個の数の和は　　n²,　n²+1,　...　,n²+nですから

　　(n+1){n²+(n²+n)}/2=　(n+1)(2n²+n)/2=n(n+1)(2n+1)/2

n個の数の和は　　　n²+n+1,n²+n+2,　...　,(n+1)²-1　ですから

　　n{(n²+n+1)+(n²+2n)}/2=n(2n²+3n+1)/2=n(n+1)(2n+1)/2

このことから　n群を２つに分けたときに等式を作成することができることが確認されます。

2004がn群に属するとき
n²≦2004≦(n+1)²-1ですから　
n=40のとき　n²=1600　
n=45のときn²=2025　おっ近いっ
n=44のとき　n²=1936

44群に含まれる計算結果は...
44*45*89/2=88110

解答・その18

（ペンネ−ム：Toru）

N²と(N+1)²の間(N=1,2,3,----)（両端含まず）には2N個の整数があるので、これ をN個ずつ前半分と後半分にわけると、後半は各々前半に、Nをたした数字が並ぶ。す なわち（後半の総和）＝（前半の総和）＋N²となり、N²を前半に含めれば、題意のような式が出来上がる。
ということで、あるきまりというのは、

N²+(N²+1)+-----+(N²+N)=(N²+N+1)+(N²+N+2)+-------+(N²+2N)　 (N=1,2,3,----)

とすると、44²=1936＜2004＜2025=45²より2004はN=44のところに含まれて、この時、計算の結果は

1936+1937+------+1980=1981+1982+-------+2024=88110 -----答え

16から始まる次の式として16+17+18+19+20=21+22+23+24以外の可能性もないかなと思っ て、ちょっと計算してみました。たとえば、ただ数字が並んで、和が等しいというだ けの条件とすれば、

16+17+---------------+54=55+56+--------+75=1365
16+17+---------------+77=78+79+--------+108=2883

などなども可能なことがわかりました。いつもながら、整数の問題は美しいですね。

解答・その19

（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん）

この式を書いていくと、次のようになっています。
　　　［1］ 1+2=3
　　　［2］ 4+5+6=7+8
　　　［3］ 9+10+11+12=13+14+15
　　　　・・・
　　　［n］ n²+(n²+1)+・・・+(n²+n)=(n²+n+1)+(n²+n+2)+・・・+(n²+2n)

［n］番目の式の左辺は(n+1)個、右辺はn個の数があります。
左辺の最初の項(n²)を次のようにして、左辺の2番目以降の項に1つずつ分配し ていくと右辺になります。

　　　n²=n*n=n+n+n+・・・+n　(n個のnの和)

［n］番目の式に現れる最大の自然数は、(n²+2n)です。
［n-1］番目の式に現れる最大の自然数は、(n²-1)です。
1から(n²+2n)までの自然数の和は、

	1/2*(n2+2n)*(1+n2+2n)
=	1/2*n*(n+1)2*(n+2)　・・・・・・（Ａ）

1から(n²-1)までの自然数の和は、

	1/2*(n2-1)*(1+n2-1)
=	1/2*(n-1)n2*(n+1)　・・・・・・（Ｂ）

だから、［n］番目の式に現れる全部の自然数の和（左辺と右辺の和）は、

	(Ａ)−(Ｂ)
=	1/2*n*(n+1)2*(n+2)-1/2*(n-1)*n2*(n+1)
=	1/2*n*(n+1)*((n+1)*(n+2)-(n-1)*n)
=	1/2*n*(n+1)*(4n+2)
=	n(n+1)(2n+1)

すると、「計算結果」は2で割って、

　　　　1/2*n(n+1)(2n+1)　・・・・・・（Ｃ）

さて、2004=44²+68 なので、［44］番目の式に2004が現れます。

　　　　［44］44²+(44²+1)+(44²+2)+・・・・・・(44²+44) =(44²+45)+(44²+46)+(44²+47)+・・・+(44²+68)+・・・+(44²+88)

「計算結果」は（Ｃ）にn=44を代入して「88110」です。

解答・その20

（ペンネ−ム：kirkland）

先生	毎月の事ながら時間がない。とっとと解きなさい。
Ａ君	先生が毎晩飲んでばっかりいるから、いつも締め切りぎりぎりになっちゃうんですよ！　とりあえず書き出すと、 １＋２ ＝ ３ ４＋５＋６ ＝ ７＋８ ９＋10＋11＋12 ＝ 13＋14＋15 16＋17＋18＋19＋20 ＝ 21＋22＋23＋24 25＋26＋27＋28＋29 ＝ 30＝31＋32＋33＋34＋35 ・ ・ ・ ってな感じですよね。
先生	何か気付いたことは？
Ａ君	またまたもったいぶちゃって〜。時間がないんだから早くヒントを下さいな。
先生	算数の問題なんだからノーヒント！８年間も小学生をやってるくせにプライドっていうもんはないんか？
Ａ君	う〜ん、ハッスル、ハッスル！！分かりましたよ！等式のアタマの数字、１，４，９，16，25，…っていうのは、 平方数ですね！2004を平方数で挟めばいいんだから……。
先生	時間がないから電卓を使えば〜。
Ａ君	そんなインチキはダメですよ!!といいつつお言葉に甘えて……。 44の２乗が1936で、45の２乗が2025だから、2004は44段目の等式　1936＋1937＋…＝…＋2023＋2024 に含まれます。しかし、2004は＝の右側？左側？雰囲気的には右かな？
先生	またまた無意味なことを…。計算結果を出すだけだろ。＝の意味を知らんのか？
Ａ君	おおっ！1936から2024まで足して２で割ればいいんですな。電卓使っていいですか？
先生	時間がない！小６の算数の教科書にガウスの話があっただろ。
Ａ君	ありました、ありました。∫Ｅ・ｎds＝ｑ/εってやつですね。点電荷を囲む閉曲面を通って出ていく電気力線の本数は…(ボコッ)…痛っ、殴らなくてもいいじゃないですか〜。
先生	時間がないって言ってんだろ！そんなの算数の教科書に出ているわけないだろ!!
Ａ君	1936から2024までは数が89個あるから、（1936＋2024）×89÷２＝176220で、もう一発２で割ると88110ですね。 いや〜楽ですね。ガウス様々ですな〜。
先生	まあ正解だろ。そういえば昔、『800ガウス！』っていうＣＭがあったの知ってる？
Ａ君	先生も古いですね〜。磁束密度の単位は最近ではテスラを使うんですよ〜。
先生	……。

正解者

杖のおじさん	Mr.X	スモークマン
巷の夢	kiyo	teki
Toru	浜田　明巳	高橋　道広
蜘蛛の巣城	ビームアンドロメダ	夜ふかしのつらいおじさん
ＦＩＶＥＩＬＡＮＤ	三角定規	ＳＯＵ
aa	小学名探偵	kirkland
ヘドニックCVM	午年のうりぼう

自然数というのは、１，２，３・・・とただ並べただけなのに、こういう美しい性質を持っているのですね。 不思議な感じがしますが、でもToruさん、夜ふかしのつらいおじさんの 説明を読むと、なるほどと思い、あたりまえのように思えてくるから別な意味でまた不思議です。

計算結果を求めるのに、左辺、もしくは右辺を計算することもできますが、 実は、左辺、右辺合わせて、n²から(n+1)²ー1までの和を一気にたして、 ２で割るという手もあります。等式ですからね。左辺と右辺の値は同じです。
kirklandさんの会話の中にあるように、 「２００４」が左辺にあるか右辺にあるかも問題にはなりません。

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