コロキウム室

	１	７
×		４
	６	８
＋	２	５
	９	３

プログラムで解析したところ

17 x 4 = 68
68 + 25 = 93

が唯一の解のようです。

途中までの結果
(ab) x (c) = (de)を満たす回答は

(a,b,c,d,e)=
(1,2,7,8,4)
(1,2,8,9,6)
(1,3,4,5,2)
(1,3,6,7,8)
(1,4,7,9,8)
(1,6,3,4,8)
(1,7,2,3,4)
(1,8,2,3,6)
(1,8,3,5,4)
(1,8,4,7,2)
(1,9,2,3,8)
(1,9,3,5,7)
(1,9,4,7,6)
(2,6,3,7,8)
(2,7,3,8,1)
(2,9,3,8,7)
(3,4,2,6,8)
(3,8,2,7,6)
(3,9,2,7,8)
(4,3,2,8,6)
(4,8,2,9,6)

とりあえず、エクセルの解答マクロだけを紹介しておきます。
このやり方です と、無駄な計算を一切せずに解答を表示してくれます。

Sub Macro1()
    '  AB
    'x  C
    '----
    '  DE
    '+ FG
    '----
    '  HI
    Dim A As Integer
    Dim B As Integer
    Dim C As Integer
    Dim D As Integer
    Dim E As Integer
    Dim F As Integer
    Dim G As Integer
    Dim H As Integer
    Dim I As Integer
    Dim j(9) As Integer
    Dim k As Integer
    Dim kosuu As Integer
    For B = 1 To 9: j(1) = B
      For C = 1 To 9: j(2) = C
        If dame(2, j()) = 0 Then
          E = (B * C) Mod 10: j(3) = E
          If dame(3, j()) = 0 Then
            For A = 1 To 9: j(4) = A
              If dame(4, j()) = 0 Then
                D = A * C + (B * C) \ 10: j(5) = D
                If dame(5, j()) = 0 Then
                  For G = 1 To 9: j(6) = G
                    If dame(6, j()) = 0 Then
                      I = (E + G) Mod 10: j(7) = I
                      If dame(7, j()) = 0 Then
                        For F = 1 To 9: j(8) = F
                          If dame(8, j()) = 0 Then
                            H = 9
                            For k = 1 To 8: H = H + k - j(k): Next k
                            j(9) = H
                            If H = D + F + (E + G) \ 10 Then
                              kosuu = kosuu + 1
                              Cells(1, kosuu).Value = 10 * A + B
                              Cells(2, kosuu).Value = C
                              Cells(3, kosuu).Value = 10 * D + E
                              Cells(4, kosuu).Value = 10 * F + G
                              Cells(5, kosuu).Value = 10 * H + I
                            End If
                          End If
                        Next F
                      End If
                    End If
                  Next G
                End If
              End If
            Next A
          End If
        End If
      Next C
    Next B
End Sub
Private Function dame(ByVal m As Integer, ByRef j() As Integer) As Integer
    Dim k As Integer
    If j(m) < 1 Or j(m) > 9 Then
      dame = 1
    Else
      dame = 0
      k = 1
      While dame = 0 And k < m
        dame = -(j(k) = j(m))
        k = k + 1
      Wend
    End If
End Function

行きつ戻りつの問題は、 Idaho Potatoさんの言う通りパラドックスなんですね。 言われるまで気づきませんでした。
振り返って走るポチ君が振り返る時間がないとすると（ここが数学の特徴？） どちらを向いているか？ということに答えは無いんですね。
あきら君が少しでも動くとポチ君も必ず動いてなければならなりません。 （振り返る時間が無いから）
もし、家に着いたときに家の方を向いているとすると、振り返る時間がないので、 駅の方を向いていても良いことになります。 また、駅の方を向いていると同じように家のほうを向いても良いとこになるはずです。
結局この問題は 解答にあるとおり無限等比級数なので答えは近似値と言うことで実際の答えではないんですね。

第６５回数学的な応募問題

太郎さんは、本を読んでいて大変素数に興味を持っています。 ある合成数が何個の素数の積でできているかなどです。 例えば、１桁の自然数の場合は、８＝２×２×２　で素数３個から合成されています。 素数の個数としてはこの８が最大です。
２桁の自然数の場合は、６４＝２^６で２という素数６個から合成されています。 他に６個の素数からできている合成数は、９６＝２^５×３　があります。 これが２桁の自然のとき素数の個数は最大です。

さて、サイコロの目の積の目を通してみます。 「１の目」は素数０個、「２の目、３の目、５の目」は素数１個、 「４の目」は４＝２×２で２個、「６の目」は６＝２×３で同じく２個から成り立っています。

ここで、問題です。大きさの異なる３つのサイコロを同時に投げて、 出た目の積をＰとする。Ｐを素因数分解したとき、素数の個数で分類すると、 目の積は何通りあるか。全部で６×６×６＝２１６通りを順に考えてください。

問題１：素数が１個からなっているＰの出方は何通りですか。

問題２：素数が２個からなっているＰの出方は何通りですか。

問題３：素数が３個からなっているＰの出方は何通りですか。

問題４：素数が４個からなっているＰの出方は何通りですか。

問題５：素数が５個からなっているＰの出方は何通りですか。

問題６：素数が６個からなっているＰの出方は何通りですか。

問題７：　次のある考え方をすると、鮮やかに上の問題の答えを導いてくれます。 これを考えてください。

問題８：さらに、大きさの異なる５つのサイコロを同時に投げて、出た目の積をＰとする。 Ｐを素因数分解したとき、素数の個数を数えたら、８個になりました。 こんなＰの出方は何通りですか。勿論、６^５＝７７７６通り中での分類になります。

素数がi個からなっているでかたをＰ(i)通りとします。
忘れかけているEXCELのVBAで簡単なプログラムを組んでみました。

Sub ボタン1_Click()
'*****************
'素因数分解における素数の個数
Dim A(1 To 6) As Integer
A(1) = 0
A(2) = 1
A(3) = 1
A(4) = 2
A(5) = 1
A(6) = 2
'*****************
'P(i)の初期値
Dim i As Integer
Dim P(7) As Integer
For i = 0 To 6
  P(i) = 0
Next i
'*****************
'サイコロをふる
Dim S As Integer
Dim j As Integer
Dim k As Integer
For i = 1 To 6
  For j = 1 To 6
    For k = 1 To 6
      S = A(i) + A(j) + A(k)
      P(S) = P(S) + 1
      S = 0
    Next k
  Next j
Next i
'******************
'表示
For i = 0 To 6
Cells(11 + i, 3).Select
Cells(11 + i, 3) = P(i)
Next i
End Sub

結果は以下の通りです。

Ｐ（0)	= 1
Ｐ（1)	= 9
Ｐ（2)	=33
Ｐ（3)	=63
Ｐ（4)	=66
Ｐ（5)	=36
Ｐ（6)	= 8

フジＴＶ（あるいはその系列？）で放映中のＴＶ番組で、 「やまとなでしこ」というのがあります（来週が最終回だそうです）。 ストーリーはどうでもいいのですが、その中で気になる発言がありました。
　主人公は数学者になる希望に燃えていた３０代の男性です。 フィールズ賞を取ろうと頑張っていたのでしょうが（※）、 夢破れて、潰れかけている家業の魚屋を継ぐ事になりました。 その時にこういう発言が誰かからあったのです。 「数学をやめて、魚屋になってよかったね。」
主人公は真面目な男性で、この発言を黙って聞いていました。 ここで、私は疑問に思ったのです。何故数学者がだめで、魚屋がいいのでしょうか？　 職業として魚屋がどうのこうの、とは思いませんが （どちらかというと魚が好きな方ではありませんが）、 少なくとも職業として数学者より魚屋がいいとは思えません。 どちらが金が儲かるか、という面では、軍配は魚屋に上がるのかも知れません。 しかしそれも努力と運次第でしょう。 一般的に、数学者や数学に対して偏見があるからなのでしょうか？　それとも？　 皆さんはどうお考えでしょうか。
最後に主人公の母親は、一人息子に対して、 「数学をやりたかったら、魚屋をやめてもいいのよ。」と言っていました。 息子の気持ちを一番分かっているのでしょう。
　たとえフィールズ賞を取れなくても、職業としての数学者はそれなりに意味のあるものです。 正直言って、私も出来れば数学者になりたかったのに、能力不足と勉強不足、 努力不足のせいでなれませんでした。今は中学・高校で数学を教えています。 いつも生徒が数学を好きになってくれれば、と思っているのですが、なかなかうまくいきません。

(※)フィールズ賞は、数学のノーベル賞に当たる賞ですが、ノーベル賞と違って、 ４０歳までが受賞対象、４年に１回です。 何故数学にノーベル賞がないかというと、その昔ノーベルさんの恋敵が数学者で、 その為にノーベルさんが一生独身だったとか？　まったく関係ない話ですみません。

素数が０個のときは
（１，１，１）　のみ・・・　１通り

素数１個のとき
（１，１，２）、（１，１，３）、（１，１，５）の三種類
これの入れ替えがあるので・・・　　３×３＝９　　　９通り

素数２個のとき
同じ数字を２個使うもの
（１，１，４）、（１，１，６）、（１，２，２）、（１，３，３）、（１，５，５）の５種類
同じように入れ替えがあるので・・・　　５×３＝１５
同じ数字を使わないもの
（１，２，３）、（１，２，５）、（１，３，５）の３通り
今度の入れ替えは３！だから・・・　　３×３！＝１８
よって　　　　１５＋１８＝３３　　　　　３３通り

素数３個のとき
同じ数字だけで作る
（２，２，２）、（３，３，３）、（５，５，５）の３種類
同じ数字が２つつかう
（２，２，３）、（２，２，５）、（３，３，２）、（３，３，５）、（５，５，２）、（５，５，３）の６種類
入れ替えで・・・　　　６×３＝１８
同じ数字を使わない。
（１，２，４）、（１，２，６）、（１，３，４）、（１，３，６）、（１，５，４）、（１，５，６）、（２，３，５）の７種類
入れ替えで。。。　　７×３！＝４２
よって　　　　３＋１８＋４２＝６３　　　　　　６３通り

素数４個のとき
同じ数字２つ
（１，４，４）、（１，６，６）、（２，２，４）、（２，２，６）、（３，３，４）、（３，３，６）、（５，５，４）、（５，５，６）の８種類
いれかえで。。。　　　８×３＝２４
同じ数字をつかわない
（１，４，６）、（２，３，４）、（２，３，６）、（２，５，４）、（２，５，６）、（３，５，４）、（３，５，６）の７種類
入れ替えで。。。　　７×３！＝４２
よって・・・　　　　２４＋４２＝６６　　　　６６通り

素数５個のとき
同じ数字２つ
（２，４，４）、（２，６，６）、（３，４，４）、（３，６，６）、（５，４，４）、（５，６，６）の６種類
入れ替えで。　　　　６×３＝１８
同じ数字をつかわない
（２，４，６）、（３，４，６）、（５，４，６）の３種類
いれかえで・・・　　　３×３！＝１８
よって・・・　　　　１８＋１８＝３６　　　　３６通り

素数６個のとき
同じ数字で作る
（４，４，４）、（６，６，６）の２種類
同じ数字を２つ使う
（４，４，６）、（６，６，４）の２種類
入れ替えで・・・　　　２×３＝６
よって・・・　　　　２＋６＝８　　　　　　　　８通り

整理すると
０→１通り
１→９通り
２→３３通り
３→６３通り
４→６６通り
５→３６通り
６→８通り
全２１６通りということになります。

何個同じ数字を使うかということでまとめて見ました。 それによって並べ方がかわるのでなにかあるかな〜とおもったのです。 （同じ数字３こ→１通り、２個→３通り、１個→６通り） ここから規則性というものは見えてきませんでした。（自分には・・・） もう少し考えてみようと思います。

私にも規則性が見えてこないのですが・・・。
先に問題８（５つのサイコロを同時に投げて、出た目の積をＰを素因数分解する。 素数の個数が８個になる出方は何通りあるか。）を考えてみました。
０，１，２のうちの５つを組み合わせて８を作り出せばいいわけです。 次の２通りに分類されると思います。

• ２＋２＋２＋２＋０＝８
  ｛｛４，６｝，｛４，６｝，｛４，６｝，｛４，６｝，１｝
  従って、５×２^４＝８０
  
  
• ２＋２＋２＋１＋１＝８
  ｛｛４，６｝，｛４，６｝，｛４，６｝，｛２，３，５｝，｛２，３，５｝｝
  従って、_５Ｃ_２×２^３×３^２＝７２０
  
  

一般の場合をどのようにして求めるかですが、ヒントは多項式の展開として、 係数の中に生まれてきます。

多項式ということで、思いついたのがこれです。
(1+3x+2x²)³

「mathematica」に展開してもらいました。その結果、
(1+3x+2x²)³=1+9x+33x²+63x³+66x⁴+ 36x⁵+8x⁶　　

となりました。ばっちりです。なーるほど。
この多項式を手で展開することを想定してみると、サイコロの積の問題と同じことをしていることに気づくと思います。

そこで今度はサイコロ５個に挑戦。
(1+3x+2x²)⁵= 1+15x+100x²+390x³+985x⁴+1683x²+1970x⁶+ 1560x⁷+800x⁸+240x⁹+32x¹⁰
という結果になりました。従って、問８の答えは、x⁸の係数ということで８００です。

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