コロキウム室

図から，求める領域は，ＯＡ，ＯＢを接線とする放物線と， ＯＡとＯＢで囲まれる部分であることが分かる
（どうして放物線か？　とは聞かないで下さい）．
ＡＢをｘ軸，ＡＢの中点Ｍを原点，ＭＯをｙ軸，Ｏはｘ軸より下側に， Ａはｙ軸より右にあるとして，方程式をたてる．
ＡＢ＝２であるから，Ａ(１，０)となるので，直線ＯＡの方程式は，
　　ｙ＝√３(ｘ−１)
放物線の方程式を
　　ｙ＝ａｘ²＋ｂ（ａ＞０，ｂ＜０）………(1)
とすると，
　　ｙ'＝２ａｘ
接点Ａ(１，０)における接線の傾きは，ｘ＝１を代入して，
　　２ａ＝√３
　　∴ａ＝√３／２
(1)に代入すると，
　　ｙ＝√３ｘ²／２＋ｂ………(1)'
Ａ(１，０)を通るので，
　　０＝√３／２＋ｂ
　　∴ｂ＝−√３／２
(1)'に代入すると，

故に求める面積は，

NO.1024の解答にもある通り初項１、第 ２項が２のフィボナッチ数列の奇数項Ｆ（2ｋ-１），Ｆ（2ｋ＋１）が解となりま す。
証明はＦ（ｎ）^２＝Ｆ（ｎ-１）Ｆ（ｎ＋１）＋（-１）^ｎ-１　という有名 な性質を使えば出来ます。

「３，３，４人の３グループに分けた時にどのグ ループの人も、同じグループ内の人とは知り合いで、かつ違うグループの人とは知り 合いではないと考えられるので、この時３＋３＋６＝１２組の知り合いが必要であ る。故に１１組しかいないことから、鳩ノ巣原理より１グループ内に知り合いではな い２人が必ず存在することが分かる。よって、お互いに知り合いではない４人が存在 する。（これはピーター先生の解答を私なりに解釈したものです。）」

NO.1027 の命題の証明

F(1)＝1、F(2)＝2 から F(3)＝F(1)＋F(2)＝3
このとき (左辺)＝ F(2)² ＝ 4
　　　　 (右辺)＝ F(1)F(3)＋1 ＝ 4
となり、n = 2 で成立する。
ある自然数 k での命題の成立を仮定すると、
F(k)² ＝ F(k+1)F(k-1)＋(-1)^(k-1)
このとき、

F(k+2)F(k)	＝ {F(k+1)＋F(k)}・F(k)
	＝ F(k+1)F(k) ＋ F(k)2
	＝ F(k+1)F(k) ＋ F(k+1)F(k-1) ＋ (-1)(k-1)
	＝ F(k+1)・{F(k)＋F(k-1)} ＋ (-1)(k-1)
	＝ F(k+1)2 ＋ (-1)(k-1)

従って、以下を得る。
F(k+1)² ＝ F(k+2)F(k) ＋ (-1)^k
これは、n = k+1 でも、件の命題が成り立つことを示している。
よって命題の主張は成立する。

でも、NO.1024 の主張は、当方今のところまだ数値実験でいくつか確認しただけで す（恥ずかしながら）。(^^;
フィボナッチ数列って、いろいろ面白いことがあるもんですねぇ。 まだまだ、いろいろ遊べそうですね。

「工夫力」

生徒に一枚、ペーパーを与えてください。多くの場合、それが、Ｂ５版 あるいはA4版コピー用紙などであるとしましょう。
それでは、この用紙を使って正方形を作って下さい。
出来ましたか？ここまでは小学生でも出来ると思います。 （長いほうの辺に短いほうの辺の長さを取り、その点で折ればよい）
次に、この正方形の面積を１として、その面積の１/2となる正方形を つくってください。
　　

どうしますか？
四隅を中心点に合わせる様に折る。（小学生でも出来るかもしれません）
それでは、その一辺となった長さを考えて見ましょう、√２/２（２分の √２）となっていることが判ります。そうです面積が1/2となっているわ けですから、その一辺の長さは√１/2=√２/２となるわけですね。
では面積を1/2にする方法はこれだけなのでしょうか？
多くの方法がありますので工夫してください、どの様に見つけるのか、 プロセスによっては、中学生、高校生向けのテーマとなります。
　

では、１/3となる正方形はどうでしょう、少し難しくなってきます。
１/4は？これは簡単に出来そうですね、ある方法は小学生でも出来るかも 知れません、然し他の方法はどうでしょうか？
順次、１/5 1/6・・と進めてください。
更に高度なテーマとしてこのA4版紙の面積の１/3となる正方形をつくってください。
一枚のペーパーを手に実感しながら「工夫する力」を高める事になります。
次に、それらの辺を、図形として、あるいは計算値として求め確認します。

Help: ブルーバックス「折る紙の数学」

No.1026の浜田さんへの大きなお世話です。 私も、題意の領域の外形線は放物線だと思います。

まず正三角形の明らかな対称性から、RQは図-1のように動くと思います。 図-1では計算しにくいですが、適当な１次変換で図-2の状態に移れるはずです。 ここでO'A'＝O'B'＝1とします。 0≦δ≦1です。O'B'，O'A'方向にx軸とy軸を立てれば、直線R'Q'は、

y＝−(1−δ)/δ･x＋(1−δ)

となり、δ＝0も考慮すれば、

(1−δ)x＋yδ＝δ(1−δ) (1)

です。式(1)をδについて整理すると、

δ²＋(−x＋y−1)δ＋x＝0 (2)

で、直線R'Q'の掃く領域ですから、(2)が0≦δ≦1となる任意の解δを持てば良いはずです。 その必要十分条件は、(2)の左辺をf(δ)としたとき、

�@： f(0)＝x ≧0 （題意を満たす）

�A： f(1)＝y ≧0 （題意を満たす）

�B：

Ｄ	＝(−x＋y−1)2−4x
	＝x2＋y2＋1−2xy−2y＋2x−4x
	＝x2−2xy＋y2−2x−2y＋1
	＝(x−y)2−2(x＋y)＋1
	≧0

となります。�@〜�Bは、式(2)が0≦δ≦1に２実解を持つ条件です。
１実解の場合は、題意のx≧0とy≧0より除外されます。
条件�Bが、問題の放物線になるはずです。

(x−y)²−2(x＋y)＋1≧0 (3)

例によってα＝x−y，β＝x＋yと基底変換すれば、(3)は、

α²−2β＋1≧0

となり、確かに放物線です。図-1 → 図-2（x-y系）→ α-β系の変換は、 いずれも正則１次変換なので、あとは任意の正則一次変換で、 放物線は放物線に写ることを言えれば良い（これって、もしかして明らかですか？）。
放物線の標準形を、

y＝x²＋γ (4)

とした場合、放物線(4)は任意の一次変換で、

ax'＋by'＝(cx'＋dy')²＋γ (5)

の形に写りますが、式(5)には常に、式(5)を、

px"＋qy"＝rx"²＋γ

qy"＝rx"²− px"＋γ

の形に移す直交変換が存在する。cx'＋dy'＝定数の直交方向の単位ベクトルと、 それに直交する単位ベクトルとを、新しい基底に選べば良い。 従って、一次変換はベキ乗の次数を変えないという理由から、ok!。

面積1/3の正方形の折り方について、考えてみました。

まず半分に折って、折り目ＥＦを得ます。（図１）

頂点ＤがＥＦに重なるようにおります（Ｈ）。（図２）

更にＨＣ、ＨＢに折り目をつけます。これで正三角形ＨＢＣができました。
正方形の１辺の長さを１とすると、ＨＦ＝√３/２となります。（図３）

三角形ＨＢＣの中線を折ることで、その交点Ｇを得ます。 これは三角形ＨＢＣの重心になります。
従って、ＨＧ：ＧＦ＝２：１（図４）

更に、ＨＧを折ることでその中点Ｉを得ます。
ＨＩ＝ＩＧ＝ＧＦ＝(√３/２)・(１/３)＝√３/６
ＩＦ＝√３/３（図５）

Ｉで、ＡＤとＢＣが平行になるように折ることで、ＩＦの長さをＡＢ上にとります。
これ(長さ√３/３)を１辺とする正方形を作れば、その面積がちょうど１／３です。

面積1/5の正方形の折り方については、問題５０　面積５分の１の問題 が参考になると思います。

うちは家族全員懸賞マニアです． もうじきコ○コー○製品の懸賞の締め切りが近づいていますので， 無理のない範囲で応募シールを集めています．
ここで，次の疑問が浮かんできました． １枚の申込用紙（葉書）で，１口から３口までの申し込みが出来るのです． １枚で１口だけなら，その用紙を無作為に選ぶだけで，公平な抽選が出来ると思います． しかし，２口や３口の用紙から選ぶにはどうすればいいのでしょうか． まさか２口，３口の用紙から，１口の用紙と同様に選ぶのは，不公平であり，詐欺です．
実際にどのように抽選されているのか，ご存じの方がいらしたら，是非お教え下さい． お願いします．非常に気になる問題なのです．
私なりに考えてみた結果，次のようにすれば公平なのではないか，と思います．
まず１口，２口，３口の用紙の枚数をそれぞれ数えます． 確率計算によって，１口用の当選者数，２口用の当選者数，３口用の当選者数をそれぞれ決定し， その数の分だけ抽出するのです．
例えば，次のようになります．１口分が１０００人の応募数， ２口分が２０００人の応募数，３口分が３０００人の応募数だったとします．すると全部で，
　　１×１０００＋２×２０００＋３×３０００＝１４０００
口の応募があったことになります．
当選者数が２５０名だとすると，１口分の応募者の中から，
　　１×１０００×２５０／１４０００＝１７.８………≒１８
２口分の応募者の中から，
　　２×２０００×２５０／１４０００＝７１.４………≒７１
３口分の応募者の中から，
　　３×３０００×２５０／１４０００＝１６０.７………≒１６１
分の用紙をそれぞれ抽出すればいいことになります． 四捨五入の関係で誤差が出る場合は，その分を適当に割り振ります．
本当のところはどうなんでしょうか．これでいいんでしょうか． それとも，大きな声では言えませんが，もっと適当にやっているんでしょうか．

正方形の頂点を左上からA,B,C,D,とします。
はじめに辺ADの中点BCの中点を結ぶ折り線を作ります。
続いて辺BCをBを起点に折り、頂点Cが先に作った 折り線に重なる様にします。
このときに作られた折り線と辺CDとの交点をEとすると 長さCEは１/√３となります。
ほかにも方法があります。
HELP：ブルーバックス「折る紙の数学」

NO.1034渡部　勝さんの折り方を図にしてみました。
∠ＥＢＣ＝３０°になりますので、確かにそうですね、とってもシンプル！　素晴らしいです。

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