Weekend Mathematicsコロキウム室/NO.139

コロキウム室



NO.1183 2002.4.1.Wasmath続々・どちらが大きい?(1)

63.続・どちらが大きい?の不等式を少し厳しくして,

nが自然数のとき n2n と (2n) ! ではどちらが大きいでしょうか?

なんていうのはいかがでしょうか。



NO.1184 2002.4.1.yokodon桁数は?(1)

63.続・どちらが大きい?を考えていて、 以前のどこぞの大学入試で、こんなのがあったのを思い出しました。

=問題=

10210/(1010 + 3) の整数部分の桁数と1の位の数字を求めよ。
但し、321 = 10460353203 であることを用いて良い。

初めて見たときには「こんなのアリ?」とか思ったもんですが、今にして思えば面 白いパズルにも見えます。



NO.1185 2002.4.1.teki桁数無制限電卓

前回の問題 の関係でいろいろ探して見たところ、 「桁数無制限電卓」なるものを発見しました。 1000桁程度の計算はしてくれる(桁数が大きくなると時間がか かりますが)ようです。



NO.1186 2002.4.1.水の流れ正方形の辺に色を塗る

第95回数学的な応募問題

さて、ここに1つの正方形とn色のペンキがあります。 この4つの辺にn色のどれかのペンキを塗ります。 ただし、回転して同じになる塗り方は同一とみなします。 ただ、反転して同じになる虚像体(一方を鏡に映した像が他方になるもの)は別のものと考えます。 このとき、全体で何種類の色つき正方形ができるでしょう。
順に、設問にそって考えてください。

設問1:1色のペンキのとき。

設問2:2色のペンキのとき。

設問3:3色のペンキのとき。

設問4:4色のペンキのとき。

設問5:最後に、全体で何種類の色つき正方形ができるか。




NO.1187 2002.4.1.teki超累乗(1)

今月の問題の「超累乗」ですが、
の計算順序がよくわかりません。
(n とするのか   とするのかによって計算結果が全く 変わります。
今月の問題の解釈は多分後者だと思いますが、数学的にはどういう規約 になっているのでしょうか?



NO.1188 2002.4.2.こざっぱ超累乗(2)

n=2(つまりこの問題の場合)では、 たまたま、と(2が同じ(=16)になりますね。この問題に限っては どちらの解釈でも答えは同じです。実際には、添字の上の方から順番に行うが正解だと思っていた のですが、実際にはどうなのでしょうか。。。。



NO.1189 2002.4.3.Junko超累乗(3)

「超累乗」  ですが、これは、  になると思います。
(nの場合は、このようにカッコをつけるべきだと思います。
ちなみに指数法則によれば、 (n =n(n・n)になるかと思います。



NO.1190 2002.4.3.Junko続々・どちらが大きい?(2)

n2n と (2n) ! の大小関係ですが、 n2n > (2n) ! と予想し、これを証明します。

63.続・どちらが大きい?の時と同じ 発想でアプローチします。以下のような不等式が成り立ちます。

n2n (2n) !
n×n(2n-1)×1
n×n(2n-2)×2
・・・
n×n(n+1)×(n-1)
nn
n2n


従って、最後の不等式を何とかすればいいので、右辺の2を一番上の不等式(2者の差が一番大きい) に持っていき、

  n>2(2n−1)

を証明します。

−2(2n−1)
−4n+2
(n−2)−2>0  (n≧4ならば)

というわけでn≧4についてはOK。
残りは調べてしまうことにします。
実際、n=1のとき、1 < 2!
n=2のとき、2 < 4!

n>3のとき、3 >6 ! 

以上をまとめますと、

  n≦2のとき、n2n < (2n) !      n≧3のとき、n2n > (2n) ! 



NO.1191 2002.4.6.Wasmath続々・どちらが大きい?(3)

自然数nに対して、n2nと(2n)!の大小を比較する。
k=1,2,・・・,n−2に対して

     n>n−k=(n+k)(n−k)

であるから、辺々かけあわせて

    

    ∴2(2n−1)n2n−2>(2n)!     ・・・(*)

ところで、n≧4ならば

    n−2(2n−1)=(n−2)−2>0

であるから、(*)と合わせて

    n≧4  →  n2n>(2n)!

n=1,2,3については直接調べると、

    n=1のとき 1<2!
    n=2のとき 2=16、4!=24、2<4!
    n=3のとき 3=729、6!=720、3>6!

以上をまとめて

    n=1,2のとき n2n<(2n)!、 n≧3のとき n2n>(2n)!




NO.1192 2002.4.13.Junko桁数は?(2)

a=10210/(1010 + 3)とします。

log10a=log10(10210/1010 + 3)
<log10(10210/1010)
=log1010200
=200


一方、321=10460353203 より、1010+3<321 従って、

log10a=log10(10210/1010 + 3)
>log10(10210/321)
=log10(1010/3)21
=21(10-log103)
>21(10-0.5)
=199.5
>199


これにより、199<log10a<200 なので、
10199<a<10200 であり、従ってaの整数部分は200桁。







E-mail 戻る