Weekend Mathematics／コロキウム室／1998.7〜12／NO.20

 

コロキウム室

NO.150　　　　 10/1 　　水の流れ 　　　 サイコロ回転体（１）

右の図のような、１辺の長さが３の立方体ＯＡＢＣ−ＤＥＦＧがある。 この立方体を、直線ＯＦのまわりに回転して得られる立体Ｔの体積を求めよ。





NO.151　　　　 10/2 　　水の流れ 　　　 日本シリーズ

　さて、横浜ベイスターズの優勝も確実になってきました。 そこで、来る日本シリーズ（先に４勝した方が優勝）に向けて、 問題です。ただし、引き分けは除外します。

  1. この日本シリーズの勝敗の方法は何通りあるでしょう。
    たとえば、４勝３敗という場合その勝敗の順序の起こり方のことです。
    ○○×○××○の並び方です。
  2. この日本シリーズの試合数の期待値です。 私は事前に何枚のキップを購入しておけば、良いでしょうか？ 整数の場合とそうでない場合を考えてください。
  3. 今年で、４９回の日本シリーズになりますが、 今までに勝敗の順序で起こっていない場合があります。
    たとえば、××○○×○○となった年はないとかです。 これは、過去を調べてみれば、分かりますが、 現実に、４８回も戦っていますが、あります。 どんな順序の勝敗でしょうか？
    ＊　私は、以前に調べましたので、分かりますが。




NO.152　　　　 10/4 　　Idaho Potato 　　　 じゅうたんの問題・その後（１）

「じゅうたんの問題」の「答えと解説」について、気になる点があります。
タック社長の考え方は、数学の議論としては全く短絡的であって、 そのような考え方を「問題に対する答え」として要求するのは、 数学の問題としては、あまりに不適当ではないか、ということです。
「答えと解説」の「まとめ」には、

内側の円に外接している弦の長さだけがわかっているときに、 リングの面積を出すような公式が存在しているのだろう。 言い換えれば、弦の長さを変えなければ、 どんな半径の２つの円でもかまわないということだ。
とありますが、たぶん、タック社長がこの考えに至った理由は、 シャープ氏が「公式」の存在をほのめかしたことにあるのでしょう。 しかし、タック社長の考え方が「正しい結果を導く」ということを 主張するためには、シャープ氏のいう「公式」がいかなるもので、 さらに、それが数学的に正当であるかどうかを、 検証しなければなりません。したがって、
シャ−プさん、どうもありがとう。 でもあなたも、あなたの公式もいらないことがわかりましたよ。
というタック社長の態度は、とうてい「数学的」とはいえません。 タック社長の考えの正当性は、シャープ氏の考察があってこそ 保証されるものだからです。

『求める面積は、内円に接する弦の長さにのみ依存して定まる』 という事実は、あくまで、ピタゴラスの定理を用いた議論の帰結として、 はじめて得られるものです。 その「議論」の部分を無視して、結果のみを先取りすることを、 あたかも是とするような論調には、強い抵抗を感じます。



NO.153 　　　 10/4 　　Junko 　　　 じゅうたんの問題・その後（２）

確かにご指摘の通りです。
タック社長は、 「内側の円に外接している弦の長さだけで面積を求めることができる」 という仮定に基づいて考えているわけですから、 それを検証する必要はあるわけです。



NO.154 　　　 10/4 　　Junko 　　　 日本シリ−ズ（２）

「１．日本シリーズの勝敗の方法は何通りあるでしょう。」 を考えてみました。
先に４勝した方が勝ちで、引き分けはなしとします。 何試合で、決着したかによって分類しました。

  1. 試合数４
    これは、「○○○○」しかありません。
    １通り。
  2. 試合数５
    「□□□□○」となります。
    ５試合目は必ず○で、４つの□の中に３個の○と１個の×が入ります。
    従って、4Ｃ1＝４通り
  3. 試合数６
    「□□□□□○」となります。
    ６試合目は必ず○で、５つの□の中に３個の○と２個の×が入ります。
    従って、5Ｃ2＝１０通り
  4. 試合数７
    「□□□□□□○」となります。
    ７試合目は必ず○で、６つの□の中に３個の○と３個の×が入ります。
    従って、6Ｃ3＝２０通り
以上のことから、１＋４＋１０＋２０＝３５通りとなります。



NO.155 　　　 10/5 　　水の流れ 　　　 日本シリ−ズ（３）

さて、日本シリーズの１の別解があります。 まず７回まで戦うと仮定します。
そこで、どの４つを勝つ方法は、 組み合わせ7Ｃ4＝３５で、あっさりでてきます。 戦っていないところは負けと考えてもよいのです。



NO.156 　　　 10/8 　　Junko 　　　 日本シリ−ズ（４）

NO.153の 「１．日本シリーズの勝敗の方法は何通りあるでしょう。」に対する 答えとして、私が考えたNO.154と、 「水の流れ」さんがかっこよく解いた NO.155 の別解との間には次のような等式が成り立ちます。

「１＋4Ｃ1＋5Ｃ2＋6Ｃ3＝7Ｃ4」


更に、先に５勝したほ方が勝ちとして、同じように式をたてると、


「１＋5Ｃ1＋6Ｃ2＋7Ｃ3＋8Ｃ4＝9Ｃ5」


一般に、先にＮ勝した方が勝ちとすると、



「１＋NＣ1＋N+1Ｃ2＋N+2Ｃ3＋･･･＋2N-2ＣN-1＝2N-1ＣN」
となります。

これを証明します。

nＣrに関する次の２つの性質を使います。
  1. nＣr＝nＣn-r
  2. n-1Ｃr-1＋n-1Ｃr＝nＣr
(左辺)＝１＋NＣ1＋N+1Ｃ2＋N+2Ｃ3＋･･･＋2N-2ＣN-1
　　　＝NＣ0＋NＣ1＋N+1Ｃ2＋N+2Ｃ3＋･･･＋2N-2ＣN-1　　(NＣ0＝1より)
　　　＝(NＣ0＋NＣ1)＋N+1Ｃ2＋N+2Ｃ3＋･･･＋2N-2ＣN-1
　　　＝N+1Ｃ1＋N+1Ｃ2＋N+2Ｃ3＋･･･＋2N-2ＣN-1　　（性質２より）
　　　＝(N+1Ｃ1＋N+1Ｃ2)＋N+2Ｃ3＋･･･＋2N-2ＣN-1
　　　＝N+2Ｃ2＋N+2Ｃ3＋･･･＋2N-2ＣN-1　　　　　（性質２より）
　　　＝(N+2Ｃ2＋N+2Ｃ3)＋･･･＋2N-2ＣN-1　
　　　＝N+3Ｃ3＋･･･＋2N-2ＣN-1　　　（性質２より）
　　　＝・・・
　　　＝(2N-2ＣN-2＋2N-2ＣN-1)
　　　＝2N-1ＣN-1　　（性質２より）
　　　＝2N-1ＣN　　（性質１より）
　　　＝(右辺)
「・・・」のところは、本来なら数学的帰納法ですかね？

ところで、性質１を使うと次のような形に書き換えることができます。
(おもしろい式だと思うのですが・・・。)

先にＮ勝した方が勝ちとして、

    

  1. N=4の時
    
「3Ｃ3＋4Ｃ3＋5Ｃ3＋6Ｃ3＝7Ｃ3」

    

  2. N=5の時
    
「4Ｃ4＋5Ｃ4＋6Ｃ4＋7Ｃ4＋8Ｃ4＝9Ｃ4」

    

  3. 一般には
    
「N-1ＣN-1＋NＣN-1＋N+1ＣN-1＋N+2ＣN-1＋･･･＋2N-2ＣN-1＝2N-1ＣN-1」

更に、nＣrの定義に基づいて、次のような形に変形 することもできます。






NO.157 　　　 10/10 　　水の流れ 　　　 日本シリ−ズ（５）

ベイスターズ優勝おめでとう。３８年ぶりの悲願達成。 横浜市民は嬉しいことでしょう。

日本シリーズ勝敗の起こり方資料室
（先に４勝した場合優勝）

＊　もし７回戦を戦ったとして、何回戦の試合で４つ勝つかだから、 組み合わせの記号から、
Ｃ（７，４）＝７×６×５÷３×２×１＝３５通りあります。
ただし、引き分けは除外します。 西暦で表し、下２桁で記述します。

＊過去の引き分け・・・５３年の第３試合、５７年の第４試合、６２年第３試合、 　　　　　　　　　　７５年の第１試合と第４試合、８６年の第１試合　　 

【４回戦で終了】 
１．○○○○・・・・・・ ５７年西鉄（三原）：巨人（水原）
    ＜５回＞     　　　　５９年南海（鶴岡）：巨人（水原）
　　　　　 　　　　　　　６０年大洋（三原）：大毎（西本）
　　　　　　　　　　　　 ７５年阪急（上田）：巨人（長島）
　　　　　 　　　　　　　９０年西武（森） ：巨人（藤田）　        
【５回戦で終了】 
２．○○○×○・・・・・・５１年巨人（水原）：南海（山本）
　＜５回＞　　　　　　　　６５年巨人（川上）：南海（鶴岡）
 　　　　　　　　　　　　 ７０年巨人（川上）：ロッテ（農人）
　　　　　　　　　　　　  ９５年ヤクルト（野村）：オリックス（仰木）
 　　　　　　　　　　　　 ９６年オリックス（仰木）：巨人（長島）
３．○○×○○・・・・・・７２年巨人（川上）：阪急（西本）
   ＜２回＞               ７７年阪急（上田）：巨人（長島）
４．○×○○○・・・・・・７１年巨人（川上）：阪急（西本）
　＜３回＞　　            ８８年西武（森） ：中日（星野）
                          ９７年ヤクルト（野村）：西武（東尾）
５．×○○○○・・・・・・７３年巨人（川上）：南海（野村）
【６回戦で終了】 
６．○○○××○・・・・・６７年巨人（川上）：阪急（西本）
７．○○×○×○・・・・・５２年巨人（水原）：南海（山本）
８．○○××○○・・・・・５０年毎日（湯浅）：松竹（小西）
　　＜３回＞　　　　　　　８２年西武（広岡）：中日（近藤）
　　　　　　　　　　　　　８５年阪神（吉田）：西武（広岡）
９．○×○○×○・・・・・６６年巨人（川上）：南海（鶴岡）
　　＜２回＞　　　　　　　６９年巨人（川上）：阪急（西本）
１０．○×○×○○・・・・なし
１１．○××○○○・・・・なし
１２．×○○○×○・・・・５３年巨人（水原）：南海（山本）
　　＜４回＞　　　　　　　５６年西鉄（三原）：巨人（水原）
　　　　　　　　　　　　　６１年巨人（川上）：南海（鶴岡）
　　　　　　　　　　　　　６８年巨人（川上）：阪急（西本）
１３．×○○×○○・・・・８７年西武（森）：巨人（王）
　　＜２回＞　　　　　　　９４年巨人（長島）：西武（森）
１４．×○×○○○・・・・７４年ロッテ（金田）：中日（与那嶺）
　　＜２回＞　　　　　　　８１年巨人（藤田）：日本ハム（大沢）
１５．××○○○○・・・・６２年東映（水原）：阪神（藤本）
【７回戦で終了】 
１６．○○○×××○・・・７６年阪急（上田）：巨人（長島）
１７．○○×○××○・・・９３年ヤクルト（野村）：西武（森）
１８．○○××○×○・・・５４年中日（天知）：西鉄（三原）
１９．○○×××○○・・・なし
２０．○×○○××○・・・８４年広島（古葉）：阪急（上田）
２１．○×○×○×○・・・なし
２２．○×○××○○・・・９１年西武（森）：広島（山本）
２３．○××○○×○・・・なし
２４．○××○×○○・・・６４年南海（鶴岡）：阪神（藤本）
　　＜２回＞　　　　　　　８３年西武（広岡）：巨人（藤田）
２５．○×××○○○・・・５５年巨人（水原）：南海（山本）
２６．×○○○××○・・・９２年西武（森）：ヤクルト（野村）
２７．×○○×○×○・・・６３年巨人（川上）：西鉄（中西）
２８．×○○××○○・・・なし
２９．×○×○○×○・・・７８年ヤクルト（広岡）：阪急（上田）
３０．×○×○×○○・・・なし
３１．×○××○○○・・・なし
３２．××○○○×○・・・７９年広島（古葉）：近鉄（西本）
３３．××○○×○○・・・８０年広島（古葉）：近鉄（西本）
３４，××○×○○○・・・なし
３５．×××○○○○・・・５８年西鉄（三原）：巨人（水原）　　
　　＜３回＞　　　　　　　８６年西武（森）：広島（阿南）
　　　　　　　　　　　　　８９年巨人（藤田）：近鉄（仰木）
以上、まとめると、４回戦で終了５回、５回戦で終了１１回、 ６回戦で終了１６回、７回戦で終了１６回です。 したがって、数学的確率による試合数の期待値は
（４×５＋５×１１＋６×１６＋７×１６）÷４８＝５．８９５８３・・・　 となります。
あなたがチッケットの枚数を買うのに参考にしてください。
今年度は横浜ベイスターズと西武ライオンズとなりました。 どんな戦いになり、どんなドラマがまっているのでしょう。 私としては、過去の勝敗の起こり方にない方法で決まってほしいです。 尚、セ・パを区別すれば、２×３５＝７０通りの決着の仕方があります。







E-mail 戻る