Weekend Mathematics／コロキウム室／1998.7〜12／NO.31

コロキウム室

NO.238 　　　 '98 12/22 　　Junko 　　　 三角錐と四角錐（２）

合同な正三角形を張り合わせるのですから、 当然その面はなくなるわけで
５＋４−２＝７かと思いきや・・・。 それではおもしろくないですよね？　 でも、側面がつながるようにも思えないので、半信半疑・・・。 模型を作ってみました。
正三角錐の方は、別名正四面体ですから、正三角形を４つつなげます。 正四角錐は正方形のまわりに正三角形を４つ配します。
模型を作ってみてびっくり、まさにぴったり重なるのです。 ５＋４＝５でした。

さて、それでは正三角錐と正四角錐の合同な面を張り合わせた時に、 側面がつながってしまうことの裏付けをしてみます。

まず正三角錐の隣り合う２つの面がなす角度αを求めてみます。
左図のように、辺ＢＣの中点をＥとすると、 線分ＡＥと、辺ＢＣは直交します。
また頂点Ａから面ＢＣＤに垂線を下ろし、 その足をＦとすると、点Ｆは三角形ＢＣＤの重心です。
線分ＡＥと線分ＥＦのなす角がαというわけです。
(面と面のなす角を調べる時は、両者に垂直な第３の面で切ります。)


次に正四角錐の隣り合う側面の２つの面がなす角度βを求めてみます。
辺ＡＣの中点をＨとします。 線分ＢＨと線分ＤＨは、辺ＡＣと直交します。
∠ＢＨＤ＝βとなります。

次に、αとβが補角の関係(和が１８０ﾟ)にあることを示します。


従って、正三角錐と正四角錐の合同な面を張り合わせると、 側面がぴったりつながってしまうのです。




NO.239 　　　 '98 12/22 　　Junko 　　　 三角錐と四角錐（３）

正四角錐の両側に正三角錐をぴったりくっつけることができることが わかりました。
面の数は、４＋５＋４＝５です。
さらにその両側に正三角錐をくっつけたらどうなるのだろうかと、考えました。 やってみると、残念ながら段差ができてしまいます。 そこで、そのことを証明しようと思いました。

下図のように、正四角錐の底面(正方形の部分)と側面(正三角形の部分)との なす角γを求めます。
辺ＢＣの中点をＦとすると、線分ＡＦとＢＣは直交します。
また、頂点Ａから正方形ＢＣＤＥに降ろした垂線の足をＧとします。 ＦＧとＢＣも直交します。
従って、∠ＡＦＧ＝γとなります。



正四角錐と正三角錐を重ねた時に、底面の部分にできる角は、 (α＋γ)です。
ですから、次にこの角について調べてみます。



ここまで計算して、はっと気づきました。
正三角錐ではなく、正四角錐ならぴったりだと！！
さっそく正四角錐の模型をもう１つ作り、つけてみると まさしくぴったりとはまりました。

cos(α＋γ)の値とcosγの値が異符号であることから、 角(α＋γ)と角γは補角の関係にあります。
(証明は、NO.238で同じようなことをしているので省略します。)


つまり、正四角錐と正三角錐を交互に並べていくと、 三角柱の両端を斜めに切ったような立体(面の数は５つ)ができます。
これは、私が作った模型の写真です。 グリ−ンが正四角錐、イエロ−が正三角錐です。




NO.240 　　　 '98 12/26 　　水の流れ　 　　　 年号と西暦の関係（１）

西暦１９９９年と平成１１年は共に素数です。 過去このように、西暦と年号がともに素数であった年は キリストが生まれた西暦元年から何回あったでしょう。 また、この次に来るのは平成の年号が変わらないとして、 西暦何年でしょうか。
ちなみに、１９９９は２から数えて３０３番目の素数です。



NO.241 　　　 '98 12/26 　３−６　 　　　 黄金比（２）

NO.237の１．「１を何回使ってもよいから黄金比を表現しなさい」ですが、 これは、連分数表示かな？とグラス片手に思いました。
Mathematicaで表してみました。


黄金比を連分数表示させて近似したものです。 実際の値は無限に続きます。



NO.242 　　　 '98 12/27 　Junko　 　　　 黄金比（３）






NO.243 　　　 '98 12/27 　 　みや　 　　　 クリスマスケ−キの問題（３）

問い１
ケーキを碁盤のマスのように９等分します。 これら９個のケーキを次のように分けます。

  • Aさん 角２つと真ん中１つ
  • Bさん 角１つと辺側２つ
  • Cさん 角１つと辺側２つ
問い２
同様に２５等分して１人に角の２個を配分し、 後は適当に分けるとうまくいきます。

問い３も３６等分して同様な方法で出来ます。

問い４ きっとｎ人でも大丈夫な気がしますが、 証明は自分には出来ません。 ７人までは実験済みです。



NO.244 　　　 '98 12/28 　 　Junko　 　　　 クリスマスケ−キの問題（４）

Ｎ人で分ける場合についても、同様に方法で分けられることを証明しましょう。 （ただし、ケ−キが細かく分割されるのはちょっとつらい気もしますが・・・。）

ケ−キをＮ×Ｎに分割すると、次の３種類のものができます。

  • 角・・・側面２つにチョコレ−トあり、全部で４つ
  • 横・・・側面１つにチョコレ−トあり、全部で４×(Ｎ−２)
  • 内・・・側面にチョコレ−トなし、全部で(Ｎ−２)２
これらの合計は、 
　４＋４×(Ｎ−２)＋(Ｎ−２)２
＝{２＋(Ｎ−２)}２
＝Ｎ２
これを１人あたりＮ個、チョコレ−トつきの側面４個になるように分配します。
    • １人め・・・角を２個と内を(Ｎ−２)個
    • ２人め・・・角を１個と横を２個と内を(Ｎ−３)個
    • ３人め・・・２人めと同様
    • ４人め・・・横を４個と内を(Ｎ−４)個
    • ・・・
    • Ｎ人め・・・同様
    合計を確認すると、
    • 角については、２×２＝４
    • 横については、２×２＋４×(Ｎ−３)＝４×(Ｎ−２)
    • 内については、(Ｎ−２)＋２×(Ｎ−３)＋(Ｎ−３)(Ｎ−４)＝(Ｎ−２)２
    ですから、ＯＫですね！

  2. １人の取り分はなるべくならつながった方がいいと考えると、 最初の１人が角２つというのがひっかかります。 おそらく、問１の「３人」で分けるというところからきているのだと 思いますが・・・。そこで分配に仕方を替えてみます。

    • １人め・・・角を１個と横を２個と内を(Ｎ−３)個
    • ２人め・・・１人めと同様
    • ３人め・・・１人めと同様
    • ４人め・・・１人めと同様
    • ５人め・・・横を４個と内を(Ｎ−４)個
    • ・・・
    • Ｎ人め・・・同様
    合計を確認すると、
    • 角については、４×１＝４
    • 横については、４×２＋(Ｎ−４)×４＝４×(Ｎ−２)
    • 内については、４×(Ｎ−３)＋(Ｎ−４)×(Ｎ−４)＝(Ｎ−２)２
    ですから、これでもいいわけですね！ ただし、全員がつながったケ−キを食べるというのは無理のようですね。

  3. それなら、これでもいいはず？

    • １人め・・・角を２個と内を(Ｎ−２)個
    • ２人め・・・１人めと同様
    • ３人め・・・横を４個と内を(Ｎ−４)個
    • ・・・
    • Ｎ人め・・・同様
    合計を確認すると、
    • 角については、２×２＝４
    • 横については、４×(Ｎ−２)
    • 内については、２×(Ｎ−２)＋(Ｎ−２)(Ｎ−４)＝(Ｎ−２)２









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