Weekend Mathematics／コロキウム室／1999.1〜3／NO.35
NO.274 '99 1/12 月の光 １９９９年の問題（５）
NO.275 '99 1/12 Junko 定義域（２） 定義域というのは文字通り「定義」するものですから、自由に設定できるはずです。
従ってこの問題は最大限定義できる範囲と解釈することにします。
逆関数を考えて、その値域(Ｙのとりうる範囲)を求めればいいのでしょうか？
こちらの定義域は、ｘ＞０と考えられますから、
この時の値域を考えることにします。
NO.276 '99 1/12 月の光 四角形の最大値（１） 中心Oの円Ｏがあり、半径をｒとする。
円Ｏの周上の一点ａを中心とする円Ａと円Ｏが交わる２点を順にb、ｄとする。
次に、ａ，ｏを結ぶ直線と交わる点をcとする。
この時、四角形ａｂｃｄの最大値を求めよ。
円Ａの半径をｘとし、０＜ｘ＜２ｒとする。
左図のように∠oab＝θ、０＜θ＜(π/2)としてみてください。
これは、大学院の入試問題ですが、意外と簡単です。
NO.277 '99 1/13 水の流れ 1998倍数の問題（２） ２．１９９８＝２×９×１１１ で偶数なので、
等しい各位の数字は、２，４，６，８が考えられる。
ところが、２，４，８の３つの場合、
これらを並べた数が９の倍数でもあるので 最低９桁は必要です。
実際並べてみます。 ３．１９９８より大きい自然数Ｎを考えると、
組み合わせの記号ＮＣ1998は
２２２２２２２２２，４４４４４４４４４，８８８８８８８８８
は１９９８で割り切れない。
一方、６６６６６６６６６は１９９８で割り切れる。
さらに、６６６６，６６６６６，６６６６６６６，
６６６６６６６６は明らかに９の倍数でない。
６６６６６６は９９９の倍数でない。
したがって、 答え ６６６６６６６６６
ＮＣ1998＝
Ｎ(Ｎ−１)(Ｎ−２)・・・(Ｎ−１９９７)／１９９８！
ここで、左辺はＮ個のものから１９９８個とる組み合わせの数だから
自然数であり、これは右辺の分子が（連続する１９９８個自然数の積）
１９９８！で割り切れることを示しています。
よって、証明終わり。
「一般に連続するｎ個の自然数の積はｎ！で割り切れます。」
NO.278 '99 1/13 水の流れ 星形ｎ角形 正ｎ角形があります。
今、１つの頂点から出発し、等しい長さの対角線
を右まわりに連続して次々に引いていきとき、
何周かして元の点に戻るまでに、
すべての頂点を通過している場合があります。
こうして、これらの線によって１つの模様が出来ます。
この模様を星形ｎ角形と呼びます。
例えば、ｎ＝５のとき、皆さんがご存じの星形１個ができます。
ｎ＝６のとき、星形６角形は出来ません。
さて、ｎ＝７のとき、異なる星形７角形は何個できますか。
ｎ＝１０のとき、異なる星形１０角形は何個できますか。
ｎ＝１２のとき、異なる星形１２角形は何個できますか。
一般に、異なる星形ｎ角形は何個できるか、ｎで表してください。
NO.279 '99 1/13 Junko 定義域（３）
NO.280 '99 1/14 Idaho Poteto 分数の問題・その後（６） No.261で、マサボーさんは、
「分数の問題」に対する「数学的に正しい解答」とは何かを論じておられますが、
この点について、私はかなり異なる見解を持っています。
今回の問題は、「2/3, 4/5 を、相異なる単位分数の和で表せ」というものでしたが、
私は、問題文を読んで、単純に、
それを超える部分は、
あくまで、
それぞれの解答者による独自の拡張であって、
それはそれで大いに有意義なことではありますが、
問題に対する答としての「正しさ」とは別次元の話だと思います。
したがって、この問題の答としては、
少なくとも(たとえば)「2/3 = 1/2 + 1/6」「4/5 = 1/2 + 1/5 + 1/10」の2つの事実が述べられていれば、
それだけで完璧に「数学的に正しい」と考えます。
ついでに言うと、私は、
「1/2 + 1/6」「1/2 + 1/5 + 1/10」という具体的な解を「どうやって見つけたか」ということは、
その解答の「数学的な正しさ」とは無関係だと思っています。
つまり、たとえ「あてずっぽう」でそれらの解を見つけたとしても、
結果さえ正しければ、それは「数学的に正しい」、ということです。
このようなことを言うと、
見識高い「数学教育者」の皆さんのお叱りを受けるかもしれませんが、
数学一般において「正しい」とはそういうことである、
ということも、また事実なのです。
この問題が要求していることは、
2/3, 4/5 のそれぞれについて、
単位分数の和による表現を「少なくとも1通り」示すことである
と理解しました。
「すべての解を示せ」と明示的に要求していない以上、
このような解釈は、数学的に自然だと思います。
そして、その「拡張」の例として、たとえば
などがあるわけですが、
具体的に与えられた分数について、
単位分数の和による表現をもれなく検索するための手順を与える
ということもまた、その「拡張」のひとつとして評価されるべきだと思います。
もちろん、より一般性のある解法を示すほうが、
「より多くの拡張の可能性が生じる」という意味において有益であることは、
私も十分承知しています。
しかし、そのことと、
答としての「正しさ」とは、別の問題であると理解しています。
NO.281 '99 1/14 Idaho Poteto 分数の問題・その後（７） 前項に関連する問題提起です。
次のような問題を考えます。
この問題に対する解答例を2つ示します。
どちらのほうが、より「数学的に正しい」解答といえるでしょうか?
したがって、命題「x2 > 4 ならば x > 2」は正しくない。
したがって、命題「x2 > 4 ならば x > 2」は正しくない。
NO.282 '99 1/14 ３−６ 定義域（４）
NO.283 '99 1/14 Ｉ．Ｔ． 定義域（５）
NO.284 '99 1/14 水の流れ 定義域（６）
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