Weekend Mathematics／コロキウム室／1999.1～3／NO.40

コロキウム室

NO.325　　　　'99 2/4 　　 Idaho Potato 　　　漸化式
　　

No.317の水の流れさんの投稿が実話に基づくものかどうか測りかねますが、似たような話題として、私が高校時代に実際に経験した話を紹介します。

高校3年の「微分･積分」の試験に、次のような問題が出されました。

次の漸化式で与えられる数列の極限を求めよ。
a₁ = 1 , a_n+1 = ( 3a_n - 4 ) / ( a_n - 1 )

この試験を受けた200人ほどの生徒の大部分は、 数列 { a_n } の一般項を求めたうえで、「極限は2である」と解答したのです。それどころか、その解答に対して「正解」として点数が与えられたのです。
このことについて、皆さんはどうお考えになりますか?

(この問いかけの意味がわからない方は、上の漸化式によって a₂ を求めてみてください…)

NO.326　　　　'99 2/5 　　みや　　　２円の交点を通る直線（６）
　　

NO.327　　　　'99 2/8 　　浜田　明巳　　　２円の交点を通る直線（７）
　　

２円の交点を通る直線について問題の直線は，２円の根軸と呼ばれているものです．
根軸とは，

２円が２点で交わる場合，その２点を通る直線．
２円が外接する場合，その共通内接線．
２円が内接する場合，その共通接線．
２円が共有点を持たない場合，その共通外接線の接点を結ぶ線分の中点を通り，２円の中心を結ぶ直線に垂直な直線．のことです．

ただし，一方の円が他方に含まれる場合，根軸は存在しません．この場合も，２円の方程式から直線の方程式が求めることができるので（同心円の場合を除く），これは例外と考えざるをえません．

実際に計算で求めてみます．
一方の円を単位円（ｘ²＋ｙ²＝１）
他方を(ｘ－ａ)²＋ｙ²＝ｒ²（ｒ＞０，ａ＞０）
としても，一般性は失われません．

原点をＯ，Ａ(ａ,０)とし，共通外接線と２円との接線をそれぞれＢ，Ｃとします．
Ｏから直線ＡＣに垂線ＯＤを下ろします．

これは２円の方程式から，２次の項を消去してできる直線の方程式に一致します．
ちなみに，３円には，３本の根軸が存在します．その３本の根軸は１点で交わり，その点を根心といいます．三角形の５心と同様に，非常に興味深いものです．以前この根心に関するプログラムを作ったことがあります．見事に３本の根軸が１点で交わる様はきれいでした．数学をやっていてよかった，と思う瞬間です．ただし，このプログラム（N88BASIC）は，ここで発表するには長すぎるので，またの機会にしたいと思います．

NO.328　　　　'99 2/9 　　水の流れ　　　ナプキンの問題（１）
　　

太郎さんのお子さんは、中学校へ１２×９の升目模様が入った給食用ナプキンを持って行きました。ところが、悪いことに、図のような１×８の升目の位置が汚れて、切り取るはめになりました。泣く泣く、帰ってきたお子さんにお父さんは、心配するなすぐに直してやると言って、升目にそって２つに切り取り縫い直して、今度は正方形のナプキンに仕上げました。太郎さんは、一体どのように、切り取り縫い直したのでしょうか？お教えてください。

NO.329　　　　'99 2/11 　　水の流れ　　　極と極線（１）
　　

太郎さんには、高校に通っているお子さんがいます。ある日、お子さんに、
「点Ｐ（３，２）から、円：ｘ^２＋ｙ^２＝１６に引いた２つの接線と円の接点を通る直線の方程式を求めよ。」
という問題を質問されました。
太郎さんは、極と極線の関係を知っていましたから、
答え　３ｘ＋２ｙ＝１６　と言ってにっこりしました。
ところが、お子さんは
「でも、お父さん、この点Ｐから、円に対して接線を引くことができないのだけど、一体どんな直線を求めたことになるの？」
と言われました。太郎さんに変わって、誰か教えてください。

NO.330　　　　'99 2/12 　　水の流れ　　　三角形の面積（１）
　　